量子力學(xué)考研2021量子力學(xué)導(dǎo)論考研真題解析

量子力學(xué)考研2021量子力學(xué)導(dǎo)論考研真題解析考研真題解析0粒子在勢(shì)場(chǎng)（，）中運(yùn)動(dòng)，試用不確定關(guān)系估計(jì)基態(tài)能量。[中國(guó)科學(xué)院2006研]【解題思路】利用不確定關(guān)系求解哈密頓量的最小值問(wèn)題?！窘馕觥扛鶕?jù)不確定原理有即因?yàn)樗灾恍枰蠼獬龅淖钚≈稻涂梢怨烙?jì)基態(tài)的能量。令由得出所以基態(tài)能量為【知識(shí)儲(chǔ)備】若[F，G]＝0，則算符F和G有共同的本征函數(shù)系；其逆定理也成立。對(duì)易算符的性質(zhì)：在F和G的共同本征函數(shù)系中測(cè)量F和G，都有確定值。若[F，G]≠0，則有不確定關(guān)系或經(jīng)常使用的關(guān)系式21設(shè)粒子所處的外場(chǎng)均勻但與時(shí)間有關(guān)，即，與坐標(biāo)r無(wú)關(guān)，試將體系的含時(shí)薛定諤方程分離變量，求方程解的一般形式，并取，以一維情況為例說(shuō)明V（t）的影響是什么。[中國(guó)科學(xué)院2006研]【解題思路】理解記憶含時(shí)薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程，以及分離變量法在求解薛定諤方程時(shí)的應(yīng)用?！窘馕觥扛鶕?jù)含時(shí)薛定諤方程令帶入可得即上式左邊是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，右邊是關(guān)于坐標(biāo)r的函數(shù)，因此令它們等于常數(shù)s，得和所以對(duì)于令所以因此當(dāng)時(shí)，相對(duì)于一維自由平面波函數(shù)，使得波函數(shù)是自由平面波隨時(shí)間做改變的形式?！局R(shí)儲(chǔ)備】薛定諤方程：波函數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律由含時(shí)薛定諤方程給出當(dāng)U（，t）與t無(wú)關(guān)時(shí)，可以利用分離變量法，將時(shí)間部分的函數(shù)和空間部分的函數(shù)分開考慮，y（）滿足定態(tài)薛定諤方程此方程即是能量算符的本征方程。其中，整個(gè)定態(tài)波函數(shù)的形式為一般情況下，若所求解能量的本征值是不連續(xù)的，則最后的波函數(shù)寫成各個(gè)能量定態(tài)波函數(shù)的求和形式；如果能量是連續(xù)值，則相應(yīng)的寫成積分形式。【拓展發(fā)散】當(dāng)粒子所處的外場(chǎng)與時(shí)間和位置坐標(biāo)都有關(guān)，即，可以利用題解相同的方式去探索波函數(shù)的具體形式，并且和定態(tài)以及只與時(shí)間有關(guān)的兩種情形相比較，得出在這些不同情況下相應(yīng)的勢(shì)場(chǎng)函數(shù)的具體形式變化對(duì)波函數(shù)的影響。22設(shè)U為幺正算符，若存在兩個(gè)厄米算符A和B，使U＝A＋iB，試證：（1）A2＋B2＝1，且；（2）進(jìn)一步再證明U可以表示成，H為厄米算符。[中國(guó)科學(xué)院2006研]【解題思路】理解厄米算符和幺正算符的定義和物理含義，并注意辨析它們之間的區(qū)別，不要混淆。【解析】（1）因?yàn)閁為幺正算符，所以和，由可得由可得因此（2）因?yàn)?，所以算符A和算符B有共同的本征函數(shù)，即，。因?yàn)樗约此云渲?，?！局R(shí)儲(chǔ)備】①幺正算符S＋＝S－1②厄米算符23粒子在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，受到微擾的作用，求第n個(gè)能級(jí)的一級(jí)近似，并分析所得結(jié)果的適用條件。[中國(guó)科學(xué)院2006研]【解題思路】對(duì)于在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，可以通過(guò)定態(tài)薛定諤方程求解本征值和本征波函數(shù)，而在受到微擾后，可以直接利用定態(tài)非簡(jiǎn)并微擾理論求解修正的能量和波函數(shù)。【解析】在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子受到的勢(shì)能函數(shù)為所以利用定態(tài)薛定諤方程可得對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)和本征值分別為當(dāng)粒子受到微擾時(shí)，利用定態(tài)非簡(jiǎn)并微擾理可得一級(jí)修正為相應(yīng)的適用條件所以【知識(shí)儲(chǔ)備】①一維無(wú)限深方勢(shì)阱若勢(shì)能滿足在阱內(nèi)（|x|＜a），體系所滿足的定態(tài)薛定諤方程是在阱外（|x|＞a），定態(tài)薛定諤方程是體系的能量本征值本征函數(shù)②定態(tài)非簡(jiǎn)并微擾理論微擾作用下的哈密頓量H＝H0＋H′第n個(gè)能級(jí)的近似表示波函數(shù)的近似表示適用條件【拓展發(fā)散】在同樣的物理模型和情形下，改變微擾的具體形式，可以用同樣方式求解修正的能量和波函數(shù)，如果微擾是含時(shí)微擾，則可以用含時(shí)微擾理論求解躍遷幾率。24粒子以能量E入射一維方勢(shì)壘，，設(shè)能量，求透射系數(shù)T。[中國(guó)科學(xué)院2006研]【解題思路】對(duì)于已知?jiǎng)輬?chǎng)具體表達(dá)式的情況，明顯利用薛定諤方程求解本征波函數(shù)和本征值，在勢(shì)壘存在時(shí)，根據(jù)透射系數(shù)和反射系數(shù)的定義式求解相應(yīng)的結(jié)果?！窘馕觥繉?duì)于入射一維方勢(shì)壘的粒子，由定態(tài)薛定諤方程可得當(dāng)x＜0時(shí)，令得當(dāng)時(shí)，令得當(dāng)x＞a時(shí)，令得由波函數(shù)在x＝0處的連續(xù)性可得1＋B＝C1＋C2由波函數(shù)在x＝0處的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性可得由波函數(shù)在x＝a處的連續(xù)性可得由波函數(shù)在x＝a處的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性可得整理可得透射系數(shù)為【知識(shí)儲(chǔ)備】①定態(tài)薛定諤方程②方形勢(shì)壘在量子力學(xué)中，與經(jīng)典物理顯著不同的是，能量E大于U0的粒子有可能越過(guò)勢(shì)壘，但也有可能被反射回來(lái)；而能量E小于U0的粒子有可能被勢(shì)壘反射回來(lái)，但也有可能貫穿勢(shì)壘而運(yùn)動(dòng)到勢(shì)壘右邊x＞a的區(qū)域中去。當(dāng)E＞U0，透射系數(shù)D表示貫穿到x＞a區(qū)域的粒子在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)垂直于x方向的單位面積的數(shù)目，與入射粒子（在x＜0區(qū)域）單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)垂直于x方向的單位面積的數(shù)目之比。反射系數(shù)R表示反射波概率流密度與入射波概率流密度之比。有R＋D＝1，D和R都小于1。這說(shuō)明入射粒子一部分貫穿勢(shì)壘到x＞a區(qū)域，另一部分被勢(shì)壘反射回去。【拓展發(fā)散】對(duì)于粒子入射方勢(shì)壘的物理模型，分別假設(shè)E＞V和E＜V的情形，對(duì)比兩種情況得出的結(jié)果的異同點(diǎn)，并且和經(jīng)典物理相比較，分析量子力學(xué)和經(jīng)典物理在粒子入射方勢(shì)壘的物理模型中所表現(xiàn)的差異，再對(duì)一些參量作極限考慮，由量子力學(xué)可以過(guò)渡到經(jīng)典物理，以此可以判斷量子力學(xué)和經(jīng)典物理不是完全分割的，它們有密不可分的關(guān)系。25各向同性的三維諧振子哈密頓算符為，加上微擾后，求第一激發(fā)態(tài)的一級(jí)能量修正。[中國(guó)科學(xué)院2006研]【解題思路】在量子力學(xué)中，諧振子模型是可解模型之一，也是在不同物理科研領(lǐng)域應(yīng)用最廣的模型，對(duì)于各向同性的三維諧振子，可以利用定態(tài)薛定諤方程求解本征波函數(shù)和本征值，加上微擾，分析微擾的表達(dá)式，可知x，y，z三個(gè)方向是等效的，因此在求解能量修正時(shí)，可以利用積分函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化相關(guān)計(jì)算?！窘馕觥繉?duì)于各向同性的三維諧振子，利用定態(tài)薛定諤方程可得求解可得本征波函數(shù)為本征值為其中并且，因此，各向同性的三維諧振子的第一激發(fā)態(tài)為或者或者所以第一激發(fā)態(tài)是三重簡(jiǎn)并的，相應(yīng)的波函數(shù)為當(dāng)加上微擾可以利用定態(tài)簡(jiǎn)并微擾理論久期方程為對(duì)應(yīng)的矩陣形式為利用積分函數(shù)的對(duì)稱性可得求解可得第一激發(fā)態(tài)的一級(jí)修正為【知識(shí)儲(chǔ)備】①一維線性諧振子勢(shì)能滿足方程本征值振子的基態(tài)（n＝0）能量，零點(diǎn)能本征函數(shù)其中②簡(jiǎn)并定態(tài)微擾能級(jí)的一級(jí)修正由久期方程給出，即有fk個(gè)實(shí)根，記為，α＝1，2，…，fk。分別把每一個(gè)根代入方程即可求得相應(yīng)的解，記為aαv。于是可得出新的零級(jí)波函數(shù)相應(yīng)的能量為上面所求解的一級(jí)修正能量如果都不相同，則簡(jiǎn)并完全消除；如果有部分相同，則還需要求解更高階的修正?！就卣拱l(fā)散】改變微擾哈密頓量形式為，或者把微擾哈密頓量變成不對(duì)稱的形式，增加計(jì)算難度。26計(jì)算一維諧振子基態(tài)中的不確定度乘積＝？[中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)2012研]【解題思路】對(duì)于坐標(biāo)和動(dòng)量算符力學(xué)量的漲落，可以通過(guò)升降算符的方式，比較簡(jiǎn)單的求解它們的平均值?！窘馕觥繉?duì)于一維諧振子，設(shè)能量的本征態(tài)為，相應(yīng)的能量本征值為。算符，與升降算符之間的關(guān)系為其中對(duì)于體系基態(tài)，相關(guān)的平均值為：所以最終得到【知識(shí)儲(chǔ)備】升算符（也稱產(chǎn)生算符）降算符（也稱湮滅算符）它們滿足下列關(guān)系粒子湮滅算符滿足粒子產(chǎn)生算符滿足27自旋為1/2，磁矩為μ，電荷為零的粒子置于磁場(chǎng)中，t＝0時(shí)磁場(chǎng)為，粒子處在的本征值為-1的本征態(tài)，設(shè)在t＞0時(shí)，再加上弱磁場(chǎng)，求t＞0時(shí)的波函數(shù)，以及測(cè)到自旋反轉(zhuǎn)的概率。[中國(guó)科學(xué)院2006研]【解題思路】在原置于磁場(chǎng)中的零電荷的粒子上，加載一個(gè)恒定的弱磁場(chǎng)，可以利用含時(shí)微擾理論，求解粒子自旋狀態(tài)的反轉(zhuǎn)概率?！窘馕觥吭趖＝0時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的哈密頓量為粒子的處在本征態(tài)上，則相應(yīng)的能量為在t＞0時(shí)，粒子受到弱磁場(chǎng)的微擾，其相應(yīng)的微擾哈密頓量為粒子的初態(tài)為，粒子狀態(tài)反轉(zhuǎn)，其末態(tài)為。根據(jù)含時(shí)微擾理論可得相應(yīng)的躍遷概率為其中其中體系在微擾作用下由初態(tài)fk躍遷到終態(tài)fm態(tài)的概率幅為相應(yīng)的矩陣元為并且因此所以自旋反轉(zhuǎn)的概率為【知識(shí)儲(chǔ)備】①自旋為1/2粒子在磁場(chǎng)中的作用勢(shì)為，其中為磁矩。②含時(shí)微擾理論含時(shí)微擾體系哈密頓量（t）＝0＋′（t）體系波函數(shù)ψ所滿足的薛定諤方程為將ψ按0的本征函數(shù)fn展開得則在t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)體系處于fm態(tài)的概率是|am（t）|2。若體系在t＝0時(shí)處于0的本征態(tài)fk，則體系在微擾作用下由初態(tài)fk躍遷到終態(tài)fm態(tài)的概率幅為相應(yīng)的躍遷概率為【拓展發(fā)散】粒子帶上電荷，改變微擾的形式，在原有磁場(chǎng)的基礎(chǔ)上加一個(gè)周期性脈沖的磁場(chǎng)，形成類似拉比震蕩的模式。28粒子