重慶市重點學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月期中數(shù)學(xué)試題(含答案)

—2024學(xué)年上期12月高二期中測試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分。1.向量，，，則（

）A.9 B.3 C.1 D.2.如圖所示，空間四邊形中，點分別為的中點，則等于（

）

A. B.C. D.3.已知直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A. B.C. D.4.已知直線，.則“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，動點滿足，則動點的軌跡與圓的位置關(guān)系是（

）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切6.已知直線與雙曲線無公共交點，則C的離心率的取值范圍是（

）A. B.C. D.7.當(dāng)時，方程表示的曲線不可能是（

）A.圓 B.直線C.焦點在軸的橢圓 D.焦點在軸的雙曲線8.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個黃金橢圓方程為，若以原點為圓心，短軸長為直徑作為黃金橢圓上除頂點外任意一點，過作的兩條切線，切點分別為，直線與軸分別交于兩點，則（

）A. B. C. D.二、多項選擇題：共4小題，每小題5分，共20分。9.在正四棱柱中，，，M，N分別為棱，上的一點，則下列說法正確的是（

）A.B.當(dāng)M，N分別為棱，的中點時，直線與所成角的余弦值為C.存在點M，使得為鈍角D.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是10.若曲線與圓恰有4個公共點，則m的值可能是（

）A. B. C. D.211.在數(shù)學(xué)史上，平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線（Cassinioval）.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點到兩個定點，的距離之積等于3，化簡得曲線C：.則下列結(jié)論正確的是（

）A.曲線C關(guān)于y軸對稱 B.的最小值為C.面積的最大值為 D.的取值范圍為12.已知，同時為橢圓：與雙曲線：的左右焦點，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點M，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，O為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論正確的是（

）A.B.若，則C.若，則D.若，則的取值范圍是三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分。13.已知，，，且共面，則x的值為.14.已知兩條平行直線間的距離為，則.15.在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且與圓相切的直線有條.16.已知橢圓C：，點，M為橢圓上任意一點，A，B為橢圓的左，右頂點，當(dāng)M不與A，B重合時，射線交橢圓C于點N，直線交于點T，則動點T的軌跡方程為.四、解答題：共70分。17.如圖，在四面體中，，，.

(1)求的值；(2)已知是線段中點，點滿足，求線段的長.18.如圖，在矩形和中，，，，，，，記.(1)將用，，表示出來；(2)當(dāng)時求與夾角的余弦值；(3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.19.已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點，，.(1)求直線AC的傾斜角；(2)若D為的AB邊上一動點，求直線CD的傾斜角的取值范圍.20.阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓.已知動點到點與點的距離之比為2，記動點的軌跡為曲線(1)求曲線的方程；(2)過點作曲線的切線，求曲線關(guān)于直線對稱的曲線的方程.21.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為軸，軸，且過，兩點.(1)求雙曲線的方程；(2)已知點，設(shè)過點的直線交于，兩點，直線，分別與軸交于點，，當(dāng)時，求直線的斜率.22.已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線與橢圓相交于，兩點，記的面積為，求的最大值.數(shù)學(xué)參考答案123456789101112ABAACDDAABDACABDBCD1.因為，所以，解得，則，所以.2.因為點分別為的中點，所以，3.由可得，即曲線為半圓，又直線過定點，作直線與曲線圖象，如圖，當(dāng)直線與圓相切時，，故可得直線斜率，由圖象知，當(dāng)直線斜率時，直線與曲線有兩個交點，4.當(dāng)時，直線的斜率為，的斜率為，又，所以，充分性成立；直線，，若，則有，解得或，必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.5.由，得，則，整理得，表示圓心為，半徑為的圓，圓的圓心為為圓心，半徑，兩圓的圓心距為，滿足，所以兩個圓相交.6.雙曲線的一條漸近線方程為，因為直線與C無公共點，所以，即，所以，又，所以C的離心率的取值范圍為.7.對于方程，當(dāng)時，，方程為表示圓心在原點，半徑為1的圓；當(dāng)時，，則，此時方程，即表示焦點在軸的橢圓；當(dāng)時，，方程為，即表示兩條直線；當(dāng)時，，則，此時方程，即表示焦點在軸的雙曲線.8.依題意有OAPB四點共圓，設(shè)點P坐標(biāo)為，則該圓的方程為：，將兩圓方程：與相減，得切點所在直線方程為，解得，因為，所以9.

以D為坐標(biāo)原點，，，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由，，，，有，，，可得，故A正確；當(dāng)M，N分別為棱，的中點時，，，，，所以，，所以，，，故B正確；，設(shè)，所以，，所以，故C錯誤；設(shè)，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，所以，又，所以，故D正確.10.曲線表示直線和，解得.因為曲線與圓恰有4個公共點，所以直線，均與圓相交，且兩直線的交點不在該圓上，又圓的圓心為，半徑為，所以，解得.11.由題意得：，即，則，解得：，令，則，所以.對于A選項：方程中的x換成方程不變，所以曲線C關(guān)于y軸對稱，A選項正確；對于B選項：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以B選項正確；對于C選項：面積為，則面積的最大值為，所以C選項錯誤；對于D選項：因為，則的取值范圍為，所以D選項正確，12.

對于A項，由已知橢圓與雙曲線共焦點可得，，故A項錯誤；對于B項，根據(jù)橢圓以及雙曲線的定義可得，所以，.在中，由余弦定理可得，即，整理可得，.所以有，即，故B項正確；對于C項，若，則為直角三角形，所以，，即，整理可得，，兩邊同時除以可得，，即，故C項正確；對于D項，由已知可得.所以，.令，則.因為，所以.又，所以有，所以有；，所以有，所以有.所以，.由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，故D正確.13.5 14.5 15.4 16.（）13.設(shè)，則，可得，解得.14.根據(jù)題意，兩條直線平行，必有，解可得則即，變形可得，又由兩條平行直線間的距離為，則有，故，解之可得或，則時；時.15.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，當(dāng)橫縱截距為零時，直線方程為，令，整理得，因為，所以方程有兩個解，故當(dāng)橫縱截距為零時存在兩條直線與圓相切；當(dāng)橫縱截距不為零時，設(shè)直線方程為，令，解得或9，所以橫縱截距不為零時存在兩條直線與圓相切，綜上可得，存在4條截距相等的直線與圓相切.16.由題知，MN不與x軸重合，設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立，消x整理得，，設(shè)、，則，.因為AM的方程為，AN的方程為兩直線方程聯(lián)立得：，因為.所以，解得.所以動點T的軌跡方程為（）.方程得到為關(guān)鍵.17.（1）在四面體中，，，.（2）如圖所示：

因為，則，因為F是CD中點，則，于是.，所以.18.（1）因為，，，記，所以，且，，由空間向量的線性運算法則，可得.（2）當(dāng)時，；所以可得，易知又可知.（3）假設(shè)存在使得平面，又平面，可知，，由（1）知，,可得.且化簡得，解得，滿足條件.故存在，使得平面.19.（1）由，得，因為斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角的范圍是，所以直線AC的傾斜角為.（2）如圖，當(dāng)直線CD繞點C由CA逆時針轉(zhuǎn)到CB時，直線CD與線段AB恒有交點，即D在線段AB上，

此時由增大到，又，，所以的取值范圍為，即直線CD的傾斜角的取值范圍為.20.（1）根據(jù)題意設(shè)，則，化簡可得；所以曲線的方程為.（2）易知圓的圓心為，半徑為；如下圖所示：

①當(dāng)過點的直線斜率不存在時，直線方程為，顯然圓心到直線的距離為，與半徑相等，即直線與圓相切；所以此時切線方程為此時圓心關(guān)于切線的對稱點為，此時曲線的方程為；②當(dāng)過點的直線斜率存在時，不妨設(shè)斜率為，則切線方程為，即，又圓心到直線距離等于半徑，即，解得，此時切線方程為.設(shè)圓心關(guān)于切線的對稱點為，則可得，解得；此時曲線的方程為；綜上可知，曲線關(guān)于直線對稱的曲線的方程為或21.（1）設(shè)曲線的方程為，由曲線過，兩點，得，解得，所以曲線的方程為.（2）由題意可設(shè)過點的直線方程為，由消去，得，則且，解得①設(shè)，則有②設(shè)直線的方程為，令得，所以直線與軸交點的坐標(biāo)為，同理可得直線的方程為，令得，所以直線與軸交點的坐標(biāo)為.由題意可知，所以，，整理得，所以，即所以③將②代入③得，整理得，解得滿足①式，綜上，.

22.（1）因為，所以，則，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為點在上，所以，解得，從而，.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）易知點在的外部，則直線的斜率存