浙江省寧波市九校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

浙江省寧波市九校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z=1+3i1?2i，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A．1 B．i C．?i D．?12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角α以x軸的非負(fù)半軸為始邊，且終邊過點(diǎn)(4，?3)，則A．?35 B．35 C．?3．設(shè)l是一條直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若α⊥β，l∥α，則l⊥βC．若l⊥α，l⊥β，則α∥β D．若α∥β，l∥α，則l∥β4．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑A?BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=1，則其內(nèi)切球表面積為（）A．3π B．3π C．(3?22)π5．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為TA．q<0 B．a(chǎn)1<0 C．T156．如圖，在棱長均為2的直三棱柱ABC?A1B1C1中，D是A1B1A．233 B．536 C．7．在△ABC中，P0是邊AB的中點(diǎn)，且對于邊AB上任意一點(diǎn)P，恒有PB?PCA．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形8．十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于120°時，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個頂點(diǎn)的連線兩兩成角120°；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知在△ABC中，已知C=23π，AC=1，BC=2，且點(diǎn)M在AB線段上，且滿足CM=BMA．?1 B．?45 C．?3二、多選題9．下列說法正確的是（）A．若a//b，bB．|(C．若a⊥(bD．(10．下列說法正確的是（）A．若f(x)=sinωx+2cos(ωx+B．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，C．三個不全相等的實(shí)數(shù)a，b，c依次成等差數(shù)列，則2a，2b，D．△ABC的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，則△ABC的面積為211．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的數(shù)學(xué)著作，其中第十一卷稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，AB，CD是直角圓錐SO底面圓的兩條不同的直徑，下列說法正確的是（）A．存在某條直徑CD，使得AD⊥SDB．若AB=2，則三棱錐S?AOD體積的最大值為1C．對于任意直徑CD，直線AD與直線SB互為異面直線D．若∠ABD=π6，則異面直線SA與CD12．已知數(shù)列{an}中各項(xiàng)都小于2，an+12?4aA．任意a1與正整數(shù)m，使得B．存在a1與正整數(shù)m，使得C．任意非零實(shí)數(shù)a1與正整數(shù)m，都有D．若a1=1三、填空題13．杭州第19屆亞運(yùn)會會徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)及太陽六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊(yùn).在中國歷史上，歷代書畫家都喜歡在扇面上繪畫或書寫以抒情達(dá)意.一幅扇面書法作品如圖所示，經(jīng)測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個同心圓上的?。ㄩL度單位為cm），側(cè)邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為2π3.若某空間幾何體的側(cè)面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為14．已知等差數(shù)列{an}，a8=8，15．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC=CC1=3，AC=4，AC⊥BC，動點(diǎn)P16．已知向量a，b的夾角為π3，且a?b=3，向量c滿足c=λa+(1?λ)b(0<λ<1)，且a四、解答題17．定義一種運(yùn)算：(a，（1）已知z為復(fù)數(shù)，且(3，z)[（2）已知x、y為實(shí)數(shù)，(y+sin2x，2)[i18．今年9月，象山將承辦第19屆杭州亞運(yùn)會帆船與沙灘排球項(xiàng)目比賽，屆時大量的游客來象打卡“北緯30度最美海岸線”.其中亞帆中心所在地——松蘭山旅游度假區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會發(fā)生周期性的變化.現(xiàn)假設(shè)該景區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)f(x)=40[Acosω(x+4)+k]來刻畫.其中正整數(shù)x表示月份且x∈[1，12]，例如x=1時表示1月份，A和①各年相同的月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；②從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約160人；③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為40人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.（1）試根據(jù)已知信息，確定一個符合條件的y=f(x)的表達(dá)式；（2）一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過160人時，該地區(qū)就進(jìn)入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游旺季？請說明理由.19．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S（1）求{a（2）記bn=2n+5SnSn+1，數(shù)列{20．在△ABC中，內(nèi)角A，B都是銳角.（1）若∠C=π3，c=2，求（2）若sin2A+21．已知邊長為6的菱形ABCD，∠ABC=π3，把△ABC沿著AC翻折至△AB1C的位置，構(gòu)成三棱錐B1?ACD（1）證明：AC⊥B（2）求二面角B1（3）求EF與平面AB22．已知數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時，其前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn2=（1）求證：數(shù)列{1（2）求數(shù)列{b（3）設(shè)Tn是數(shù)列{2n?1b2n

答案解析部分1．【答案】D【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算【解析】【解答】∵z=1+3i1?2i=1+3i1+2i1?2i1+2i=1+2i+3i?61+4=?1+i2．【答案】A【知識點(diǎn)】任意角三角函數(shù)的定義；誘導(dǎo)公式【解析】【解答】由題意得sinα=?342+?32=?35，∴3．【答案】C【知識點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系【解析】【解答】A、∵l∥α，l∥β，∴α∥β或α與β平行，A錯誤；

B、∵α⊥β，l∥α，∴l(xiāng)⊥β或l與β平行或l?β，B錯誤；

C、∵l⊥α，l⊥β，∴α∥β，C正確；

D、∵α∥β，l∥α，∴l(xiāng)∥β或l?β，D錯誤.

故答案為：C

【分析】根據(jù)空間直線、平面的位置關(guān)系逐一判斷選項(xiàng).4．【答案】C【知識點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；球的體積和表面積【解析】【解答】由題意得BD=2，AC=2，∴SBCD=12，SACD=12，SBAD=22，SBCA=22，

∴鱉臑5．【答案】D【知識點(diǎn)】等比數(shù)列概念與表示；等比關(guān)系的確定【解析】【解答】設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則an=a1qn?1，Tn=a1×a2×a3?×an=a1×a1q×a1q2?×a1qn?1=a1nqn?1n2，∴T7=6．【答案】B【知識點(diǎn)】組合幾何體的面積、體積問題；棱柱、棱錐、棱臺的體積【解析】【解答】取A1C1中點(diǎn)E，連接CE，DE，

又D是A1B1的中點(diǎn)，∴DE∥B1C1，DE=12B1C1，

∵ABC?A1B1C1是直三棱柱，∴DE∥BC，DE=12BC，∴ABC?A1DE是棱臺，

延長CE，BD，AA1交于點(diǎn)F，

則VF?ABC=7．【答案】A【知識點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；三角形的形狀判斷【解析】【解答】以P0為原點(diǎn)，邊AB為x軸建立坐標(biāo)系如圖

不妨設(shè)AB=2，則A?1，0，B1，0，設(shè)Cx0，y0，Pa，0a∈?1，1，

∴PB→=1?a，0，PC→=x0?a，y0，P0B→=1，0，P0C8．【答案】C【知識點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；余弦定理；三角形中的幾何計算【解析】【解答】在△ABC中由余弦定理得AB2=AC2+BC2?2AC·BCcosC=1+4+2=7，∴AB=7，

cosB=AB2+BC2?AC22AB·BC=5714，

設(shè)CM=BM=x，

在△MBC中由余弦定理得cosB=BM2+BC2?MC22BM·BC=x2+4?x24x=579．【答案】B,C【知識點(diǎn)】共線（平行）向量；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算【解析】【解答】A、當(dāng)b→=0→時，有a//b，b//c，但a→不一定與c→平行，A錯誤；

B、∵(a→?b→)?c→=a→b→cosa→，b→10．【答案】A,B,D【知識點(diǎn)】等差數(shù)列概念與表示；斜二測畫法直觀圖；正弦定理；正弦函數(shù)的周期性【解析】【解答】A、∵f(x)=sinωx+2cos(ωx+π3)=sinωx+212cosωx?32sinωx=1?3sinωx+cosωx=1?32+1sinωx+φ，其中tanφ=11?3，∴T=2πω=π，解得ω=2，A正確；

B、在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的充要條件，B正確；

C、∵實(shí)數(shù)a，b，c依次成等差數(shù)列，∴a+c=2b，

假設(shè)2a，11．【答案】B,C,D【知識點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺/球）的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角；異面直線的判定【解析】【解答】A、假設(shè)存在某條直徑CD，使得AD⊥SD，

∵SO⊥底面，AD?底面，∴AD⊥SO，又SO∩SD=S，SO，SD?平面SOD，∴AD⊥平面SOD，

∵CD?平面SOD，∴AD⊥CD，又CD為直徑，顯然AD⊥CD不成立，所以假設(shè)不成立，A錯誤；

B、∵AB=2，由題意知SO=R=1，又SO⊥底面，

∴三棱錐S?AOD體積V=13×1×12×1×1×sin∠AOD≤16，當(dāng)∠AOD=90°時取得最大值，B正確；

C、∵AB，CD是直角圓錐SO底面圓的兩條不同的直徑，又SB∩底面=B，AD?底面，∴AD與SB沒有交點(diǎn)，∴直線AD與直線SB互為異面直線，C正確；

D、取SB的中點(diǎn)E，連接OE，CE，則SA∥OE，∴∠COE即為異面直線SA與CD所成角的平面角，

不妨設(shè)AB=4，則OC=SO=2，SA=22，∴OE=12SA=2

取OB的中點(diǎn)F，連接CF，EF，則EF=12SO=1，EF∥SO，∴EF⊥底面，

∵∠ABD=π6，∴∠AOD=π3，即∠COB=π3，∴CF=OCsinπ3=3，∴CE=E12．【答案】A,D【知識點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；數(shù)列的遞推公式【解析】【解答】A、∵an+12?4an+1=an2?3an，∴an+1=an?3anan+1?4，∴an+1an=an?3an2an+1?4≥0，A正確；

B、令fx=x2?4x，則fx在?∞，2單調(diào)遞減，

∵an+12?4an+1=an2?3an=an2?434an≥34an2?434an，即fan+1≥f313．【答案】12【知識點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺/球）的結(jié)構(gòu)特征【解析】【解答】由題意知該空間幾何體是圓心角為2π3母線長為30的圓錐上面截去母線長為12的圓錐得到的圓臺，

設(shè)圓心角為2π3母線長為12的圓錐的底面半徑為r1，高為?1，則底面周長C=2πr1=2π3×12，解得r1=4，∴?1=12214．【答案】1【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；兩角和與差的余弦公式【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，由題意知d=a9?a8=8+π3?8=π3，

∴a5=a8?3d=8?π，15．【答案】12【知識點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定【解析】【解答】過點(diǎn)C1作C1Q⊥A1B1連接BQ，BC1，CB1

由題意得AA1⊥平面A1B1C1，又QC1?平面A1B1C1，∴QC1⊥AA1，

∵A1B1∩AA1=A1，A1B1，AA1?平面AA1B1B，∴C1Q⊥平面AA1B1B，又AB1?平面AA1B1B，∴AB1⊥C1Q，

∵BC=CC1，BC⊥CC1，∴BC1⊥CB1，

∵AC⊥BC，AC⊥CC1，BC∩CC116．【答案】27【知識點(diǎn)】基本不等式；平面向量減法運(yùn)算；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算【解析】【解答】如圖

設(shè)OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，則∠AOB=π3，

∴a→?b→=OA?OBcos∠AOB=3，即OA?OB=6

∵c=λa+(1?λ)b(0<λ<1)，∴點(diǎn)C在線段AB上

∵a?c=b?c∴a→?b→?c→=0，∴AB⊥OC，

設(shè)∠AOC=θ，則∠COB=π3?θ，∴x=c→?a→|a→|=OCcosθ17．【答案】（1）解：設(shè)z=a+bi(a，因?yàn)?3，所以，7a=7b=3，即a=1b=3，則z=1+3i，因此，（2）解：(y+sin則y+sin所以，y=?=?2sin由2kπ+π2≤2x+因此，函數(shù)y=?2sin(2x+π【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)相等的充要條件；復(fù)數(shù)的模；正弦函數(shù)的單調(diào)性【解析】【分析】（1）利用題目定義求(3，z)[z4]，結(jié)合復(fù)數(shù)相等即實(shí)部和虛部相等求出z=1+3i，進(jìn)而求其模長；

（2）先化簡18．【答案】（1）解：因?yàn)锳和k是正整數(shù)，由②可知40(A+k)?40(?A+k)=160，解得A=2；由③可得：T2=8?2=6，則T=2π|ω|=12所以f(x)=40[2cosπ6即40(k?2)=40，解得k=3；所以f(x)=40[2cosπ6（2）解：令f(x)=40[2cosπ6因?yàn)閤∈[1，12]，則可得5π3<π且x∈N?，則所以第7，【知識點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)【解析】【分析】(1)分析題意得40(A+k)?40(?A+k)=160，T2=8?2=6，f(2)=40，解得A=2，ω=π6，k=3寫出y=f(x)的表達(dá)式；

(2)求f(x)>160時x的值即可，其中19．【答案】（1）解：當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2且n∈N?時，a1=2不滿足綜上所述，an（2）解：因?yàn)镾n+1所以，bn因此，T=1【知識點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列的遞推公式【解析】【分析】(1)先求n=1，a1=S1=1+4?3=2，再求n≥2，an=Sn?Sn?1=2n+320．【答案】（1）解：因?yàn)椤螩=π3，c=2，所以所以a+b=4因?yàn)閟in=所以a+b=4sin因?yàn)閮?nèi)角A，B都是銳角，∠C=π所以0<A<π20<B=2π3所以a+b∈(23，4]，所以△ABC（2）解：若sin2A+sin所以A+B>π2，所以因?yàn)閮?nèi)角A，B都是銳角，所以A，所以sinA>所以sin【知識點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；誘導(dǎo)公式；正弦定理的應(yīng)用【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊a，b用角表示，結(jié)合角的范圍求△ABC周長的取值范圍；

（2）先利用正弦定理將角化邊得到C為銳角，所以A+B>π21．【答案】（1）證明：取AC中點(diǎn)O，連接OB因?yàn)榱庑蜛BCD，∠AB所以△ACB所以O(shè)B又因?yàn)镺B1，OD?面所以AC⊥面OB因?yàn)锽1D?面所以AC⊥（2）解：因?yàn)镈