2023屆四川省眉山市高三第二次診斷性考試數學（文）試題

2023屆四川省眉山市高三第二次診斷性考試數學(文)試題

一、單選題

1.已知集合A=H(X+3)(X-2)40},B={X|X<1},則AB=()

|x|-3<x<2}B.{x|-3<x<l}

x-3<x<1x|l<x<2}

【答案】C

【分析】根據二次不等式解法求出集合A,再根據集合交集運算即可得到答案.

【詳解】A={A-|(X+3)(X-2)<0}={x|-3<x<2),

故AB={x|-3<x<l}.

故選：c.

2.—=()

21

A1?1."31.

A.——iB.1—iC.—+iD.------1

22244

【答案】A

【分析】根據復數的四則運算法則即可計算.

=-------=--------=——1.

故選：A.

3.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為推動鄉(xiāng)村經濟發(fā)展，優(yōu)化產業(yè)結構，逐步打造高品質的農業(yè)生產，在某試驗區(qū)種植了某

農作物.為了解該品種農作物長勢，在實驗區(qū)隨機選取了100株該農作物苗，經測量，其高度(單

位：cm)均在區(qū)間[10,20]內，按照[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]分成5組,制成如

圖所示的頻率分布直方圖，記高度不低于16cm的為“優(yōu)質苗”.則所選取的農作物樣本苗中，“優(yōu)質

苗”株數為()

【答案】c

【分析】根據頻率分布直方圖計算出“優(yōu)質苗”的占比，再乘以100可得結果

【詳解】由頻率分布直方圖可知，“優(yōu)質苗”的占比為(0.2+0.1)X2=0.6,

因此，所選取的農作物樣本苗中，“優(yōu)質苗”株數為l(X)x().6=60.

故選：C.

4.已知aelo,]),cos2a+2sin2a=1,則tana=()

A.3B.2C.gD.-

23

【答案】B

【分析】由二倍角的正弦、余弦公式代入化簡即可得出答案.

【詳解】由cos2(7+2sin2a=l可得：l-2sin2a+4sinacosa=l,

則2sinc(-sina+2cosa)=0,因為所以sinewO,

所以-sina+2cosa=0,貝ijtana=2.

故選：B.

5.過直線/：x+y-5=0上的點作圓C：(x-iy+(y+2)2=6的切線，則切線段長的最小值為()

A.屈B.20C.715D.3公

【答案】B

【分析】根據幾何關系表示出切線段長度，根據幾何關系即可求出其最小值.

【詳解】設直線上任意一點為P,過P作圓的切線，切點為圓C圓心C為(1,-2),半徑『=卡,

則|網="IPC|2_1=JiPC『-6,

要使|MP|最小，則|尸。最小，易知|尸。最小值為圓心c到直線/的距離.

B|JIPCI>'+尸)二耳二3&,

11VPTF

???\MP\>7(372)2-6=2G.

故選：B.

6.數學與音樂有著緊密的關聯，我們平時聽到的樂音一般來說并不是純音，而是由多種波疊加而成

的復合音.如圖為某段樂音的圖象，則該段樂音對應的函數解析式可以為()

B.y=sinx--sin2x--sin3x

23

D.y=cosx+gcos2x+gcos3x

C.y=sinx+—cos2x+-cos3x

23

【答案】A

【分析】根據函數的奇偶性，再利用特殊值的函數值，逐一判斷即可.

【詳解】對于A,函數y=f(x)=sinx+gsin2x+；sin3x,

因為f(-x)=-sinx-gsin2x-gsin3x=-/(x),所以函數為奇函數，

又也+，+變=工+逑＞0,故A符合圖象；

22623

對于B,函數y=/(x)=sinx-/sin2x-5sin3x,

因為/(r)=—sinx+gsin2x+；sin3x=—/(x),所以函數為奇函數,

p式、母\6丘、1.51八WchS日否*

又/—=----------=------<------=0,故B不符題意；

\4)2263232

對于C,函數y=/(x)=sinA:+—COS2A:+-COS3X,

因為"0)=3,故C不符題意；

6

對于D,當x=0時，y=cosx+—cos2X+-COS3A:=—,故D不符題意.

236

故選：A.

7.已知函數/(x)=3x4—8/+6X2,則f(x)()

A.有2個極大值點B.有1個極大值點和1個極小值點

C.有2個極小值點D.有且僅有一個極值點

【答案】D

【分析】求導，根據導函數的符號求得函數的單調區(qū)間，再根據極值點的定義即可得解.

【詳解1/(x)=12X3-24X2+12X=12x(x2-2x+1)=12x(x-l)2,

因為(x-lpNO(當且僅當x=l時取等號)，

則當x<0時，r(x)<0,當x>0時，r(x)>o,

所以函數/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+8),單調遞減區(qū)間為(-8,0),

所以函數/(x)的極小值點為0,沒有極大值點，

即函數f(x)有且僅有一個極值點.

故選：D.

8.將函數/(x)=gsinx-cosx的圖象上的所有點向右平移。個單位長度，得到的圖象對應的函數

可以是()

A.y=2sinxB.y=2cosxC.y=-2sinxD.y=-2cosx

【答案】D

【分析】現利用輔助角公式將y(x)化簡，再根據函數圖象左右平移即可求出新的函數解析式.

(詳解］=6sinx-cosx=2sin,

將函數f(x)的圖象上的所有點向右平移。個單位長度，

得到函數丫=25也卜-1-仁)=2$皿卜-5)=-285》.

故選：D.

9.已知四棱柱ABCD-AMGA的底面是正方形，他=2,e=2五，點用在底面488的射影為

BC中點H,則點G到平面ABC。的距離為（）

A.>/6B.幣C.2亞D.3

【答案】B

（分析】求出B,H,根據BC〃平面ABCD即可得點G到平面ABCD的距離.

且B[H=y]BB：-BH&=77,

由題可知AG〃8C,

又81Ga平面ABCD,8Cu平面ABCD,

：.B,C,〃平面ABC。,

；?點G到平面ABCD的距離與點Bl到平面ABCD的距離BtH相等.

故選：B.

10.已知定點。（2,0）,直線/：y=&（x+2*>0）與拋物線產=以交于兩點4,B,若加出=90。,

則|陰=（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】設人（王,）1）,3（孫必），聯立直線/與拋物線的方程，求得菁+々，為々，y%，由ZA￡）3=90。

可得D4-￡>3=0,從而可求&的值，根據弦長公式即可求|A8|.

【詳解】設4（西,刈,川孫村），

\-A(A+2)_^a2*2+(4々2_4)x+4公=0,

y=4x'7

4_4〃

由題知，△>0,故斗+々=-F---，=4，

48-8產八Q

貝Ijy>2=k（X]+2>攵（電+2）=公[內9+2（X]+%2）+4]=攵2

4+—+4=8,

由ZADB=90nZM-03=0=（%一2）（七一2）+乂必=（），

即XyX2-2（Xj+x2）+yly2+4=0,

,4-4

即4.2?蟲X+8+4=0,解得公=《，則X+x,nT-g,

k131

3

則|AB\=yj\+k2?|芭-占卜,1+公?，（&+々）2-4為々=-V64-16=8.

故選：C.

11.在JRC中，AB=AC=2,BC=2y/3,。為BC的中點，將“18繞A。旋轉至"￡）,使得

BP=B則三棱錐P-A83的外接球表面積為（）

A.量身B.氧顯C.5nD.8兀

36

【答案】C

【分析】推導出AO_L平面P8Q,計算出△P3Z）的外接圓的直徑2八可得出三棱錐P-4?。的外接

球直徑為2R=J（2廳+4〃，再利用球體表面積公式可求得結果.

圓柱。。2的底面圓直徑為2r，母線長為/?,則。。2的中點。到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則

。為圓柱的外接球球心.

翻折前，在./WC中，AB=AC=2,BC=2有，。為BC的中點，則AD13C,

且仞=」6-92=12?-3=1，

翻折后，則有AO2BD,ADLPD,

又因為3DPD=D,BD、PDu平面PBD,所以，AO_L平面?肥＞,

由已知BO=尸。=BP=⑺，則△PBD是邊長為5/3的等邊三角形,

將三棱錐A-P3D置于圓柱。。2上，使得的外接圓為圓。2,

所以，的外接圓直徑為2r=*_=2,

sin60

所以，三棱錐P—ABD的外接球直徑為2R=92+（24=a+2?=石,則氏=等，

因此，三棱錐尸-ABD的外接球表面積為4兀代=4兀x（乎）=5兀.

故選：C.

V*_1_1

12.已知函數f（x）=W.若過點尸（-1,〃?？梢宰髑€y=〃x）三條切線，則機的取值范圍是（）

【答案】A

【分析】切點為（所,黑），利用導數的幾何意義求切線的斜率，設切線為：誓-,（x-x。），

可得加=伍：1）一，設g（x）=（”+:）,求g'（x）,利用導數求g（x）的單調性和極值，切線的條數即

為直線）'=機與g（x）圖象交點的個數，結合圖象即可得出答案.

【詳解】設切點為卜°，空），由f（x）=?可得/（力=e'-ejx+］）=子，

所以在點（%,空）處的切線的斜率為4=:（％）=,,

所以在點卜o,詈）處的切線為：y-竽=黃（》-不），

因為切線過點P（-1,租），所以〃?-整=會（-1-%），

即W=(%+1),即這個方程有三個不等根即可，

e%

切線的條數即為直線y=相與g")圖象交點的個數，

設g(力等，

則g，(x)=(2x+2)V+2x+l)=—f+]

由g'(x)>0可得一1vxvl,由g'(x)<0可得：xv-l或x>l,

所以8(引=空[在(7,-1)和(1,一)上單調遞減，在(-1,1)上單調遞增，

當x趨近于正無窮，g(x)趨近于0,當x趨近于負無窮，g(x)趨近于正無窮,

g(x)的圖象如下圖，且g(l)=J

要使y=〃嗚g(x)=0+l)的圖象有三個交點,則0〈機<上

eve

則〃?的取值范圍是：(o，g).

二、填空題

13.已知雙曲線C:[-y2=],則c的離心率為.

【答案】叵足回

33

【分析】求出。、b.c的值，即可得出雙曲線C的離心率的值.

7^

【詳解】在雙曲線C中，。=3,。=1,c=^/77F=^/371=Vio>

因此，雙曲線C的離心率為e=￡=畫.

a3

故答案為：叵.

3

14.已知AB=(1,2),AC=(2,r),|BC|=1,則實數f=.

【答案】2

【分析】先求出向量BC的坐標，再利用模的坐標運算列方程求解即可.

【詳解】由已知得5C=AC-A8=(1J—2),

|BC|=I,

.-.l+(r-2)2=l,

解得f=2.

故答案為：2.

15._ABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c.若(2a-c)cos3=bcosC,且方=石，則一ABC

面積的最大值為.

【答案】—##7^3

44

【分析】利用正弦定理結合兩角和的正弦公式可求得cosB的值，結合角3的取值范圍可求得角8的

值，利用余弦定理結合基本不等式可求得"的最大值，即可得出.4?C面積的最大值.

【詳解】因為(為一c)cosb=bcosC,由正弦定理可得(2sinA-sinC)cos3=sin3cosc

所以，2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B4-C)=sinA,

zi-

因為A、BG(O,7C),則sinA>0,所以，cosB=-,故8=,，

由余弦定理可得3=尸=a2-I-C2-2accosB=cr+C1-ac>2ac-ac=ac,

所以，ac<3f則S人6c=LqcsinB=@ac?^^.

由244

當且僅當a=c=百時，等號成立，故ABC面積的最大值為更.

4

故答案為：巫.

4

16.《定理匯編》記載了諸多重要的幾何定理，其中有一些定理是關于鞋匠刀形的，即由在同一直線

上同側的三個半圓所圍成的圖形，其被阿基米德稱為鞋匠刀形.如圖所示，三個半圓的圓心分別為。，

。一。2,半徑分別為R,G(其中/?>4>弓)，在半圓。內隨機取一點，此點取自圖中鞋匠刀

1r.

形《陰影部分）的概率為“嗎一

【答案】3+2正##2夜+3

【分析】通過計算三個半圓的面積，表示陰影部分的面積，利用幾何概型的概率計算公式即可得出

答案.

【詳解】解：陰影部分面積為：

S=-R2--2--2=-（R2-2-2}

02A2。r2r~2rr-/

由圖可知：2/;+2乃=2R,所以q+G=R

則5=女?+j-Lf［吟2<.々=呻,

因為在半圓。內隨機取一點，此點取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率四,

C兀44_兀4弓21.—1

所以四代一勺4+療d+^+2桃4,

Z\2z\

8斗心=42+芍2+2耳&,g|J1+弓2_64弓=0,則二-6二+1=0

解得：—=3±2>/2.因為4>4,

r2

所以人=3+2近.

r2

故答案為：3+20.

三、解答題

17.某商店銷售某種產品，為了解客戶對該產品的評價，現隨機調查了200名客戶，其評價結果為“一

般'’或"良好”，并得到如下列聯表：

一般良好合計

男20100120

女305080

合計50150200

(1)通過計算判斷，有沒有99%的把握認為客戶對該產品的評價結果與性別有關系？

(2)利用樣本數據，在評價結果為“良好”的客戶中，按照性別用分層抽樣的方法抽取了6名客戶.若從

這6名客戶中隨機選擇2名進行訪談，求所抽取的2名客戶中至少有1名女性的概率.

附表及公式：

n=a+b+c+d.

(4+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

【答案】(1)有99%的把握認為客戶對該產品的評價結果與性別有關系.

【分析】(1)根據表中數據計算出K?的值，對比附表數據6.635,然后作出判斷；

(2)先根據分層抽樣計算出男、女客戶并對男女生進行標記，列出“從6名學生中隨機抽取2名'’的

所有基本事件，分析滿足''抽取的兩名學生中至少有1名女性”的基本事件，根據基本事件數之比求解

出對應概率.

［詳解］Q)：200x(20x50-30x100)-

120x80x50x150

有99%的把握認為客戶對該產品的評價結果與性別有關系.

(2)因為“效果較好''的男客戶和女客戶的人數之比為l(X):50,即為2:1,

2

所以抽取的6名客戶中，男生有6x二=4名，記為4，B2,B、,B4,

女生有6X==2名，記為A，4,

從這6人中選取2人的所有基本事件有：(A.A?),('旦)，(4也)，(AW)，

(A,Bj,(4,4)(A),B2),,(A,B4),(B,,B2)>,

(火四)，(B2,B4),(國也),共15個.

其中至少一名女生的基本事件有：（44）,（A，4），（4，名），（4，員），

（A也）,（4,4）,（&闖,（人闖,（人,旦），共9個.

93

所以，抽取的2名學生中至少有1名女性的概率為三=j.

18.己知數列｛4｝是公差為2的等差數列，其前3項的和為⑵色｝是公比大于0的等比數列，伉=3,

4也=18.

⑴求數列｛%｝和｛〃,｝的通項公式;

4

⑵若數列匕｝滿足c,=+b?,求仁｝的前”項和

“Mm

【答案】⑴凡=2"，2=3"

（2）7；,=

〃+12

【分析】（1）根據等差等比數列通項公式直接求解；

（2）利用裂項相消和等比數列的前〃項和公式求解即可.

【詳解】（1）設公差為d,公比為4,

則由題可得數列｛”“｝的前3項的和3?,+號d=34+3d=12,

因為d=2,所以q=2,所以％=2+2（〃T）=2/?,

又因為仇=3也一久=刖2-如=18,

所以整-q-6=0解得q=3或q=-2（舍），

所以b“=3x3"T=3".

44111

（2）由（1）可知，%=-----+"=丁,n+S”n，/j,n+3"=----77+3\

cinan+[2/?-2（n+l）+n〃+1

所以卜〃｝的前〃項和7；為：

T〃=仇+G+C3++%+%

3w+,-3n3n+,-3

=—+=---+

n+\2n+12

所以7寸了

19.如圖，在三棱錐尸-A8C中，”為一A8C的內心，直線A4與BC交于M,ZPAB=ZPAC,

/PCA=/PCB.

（1）證明：平面/<4A7_L平面ABC；

(2)若AB13C,R4=AB=3,BC=4,求三棱錐A/—PAC的體積.

【答案】（1）證明見解析

5

Q)匕，-"MC

2

【分析】（1）設PNA平面ABC于點M過N作NELAB于E,NFLAC于F,連接PE,PF,通

過全等三角形及角平分線性質可證N與H重合，從而可證平面PAM，平面ABC；

（2）由（1）知/W_L平面A8C,且由已知可求P”長度，再由角平分線性質可求AMC面積，從

而可求三棱錐M-PAC的體積.

【詳解】（1）如圖，設PN人平面ABC于點N,過N作于E,NF_LAC于R連接PE,

PF.

'：PN八平面ABC,ABu平面ABC

：.PNLAB

又，：NELABA34平面PNEAABVPE,

同理ACLPK

在RfPAE,用E4F中，ZPAE^ZPAF,PA=PA

/./\PAE^/\PAFAAF=AE

在.Rt八ANE,RtAANF中,AF^AE,AN=AN

：.Z^ANE^^ANF,:.NE=NF,即N到AB,4c的距離相等

同理N到8C,AC的距離相等，故N為,ABC的內心，N與，重合

，_L平面ABC

又：尸平面APM，平面RVW_L平面ABC

(2)由已知可得AC=5,設“ABC的內切圓半徑為r,

則SAABC=5、4義3=5「(3+4+5),故r=l,

因為H為_A3C的內心，所以AH平分/B4C,所以空=整=3，

CMAC5

53

BM+CM=4,所以CM=-,BM=—,

22

故.AMC的面積為』CM-AB=身，

24

ApAR

因為HE_LAB9ABJLBC所以HE//BC,所以——=，得AE=2，

HEBM

所以A4=J,+AE2=6,PH=$AP2-AH。=2,

故三棱錐M-PAC的體積為丫…=|xP"=$1x2=|.

22(83A

20.已知橢圓E：]+}=l(a>6>0)經過A(0,l),7[-yj兩點，M,N是橢圓E上異于T的

兩動點，且NM4T=NM4T,直線AM,ANk>k2.

⑴求證：&他為常數；

（2）證明直線MN過定點.

【答案】（I）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）根據橢圓過A和74例T=NN4T知AM與4N關于直線AT對稱，設A"任一點為

4（%，%），求出其關于AT對稱后的點外的坐標，表示出K，內即可證明；

⑵設點加（4,乂）,陽々,必），AMty=ktx+\.聯立AM和橢圓方程，求出同理求出當，%，

根據（1）中尤%2的值得AM和ANMN的斜率，寫出MN的方程，化簡該方程為直線方程的斜截式即

可判斷其經過定點.

從=1（a2=4

【詳解】（）:橢圓過和：,649，解得「,

1AT,統+礪印,伍=1

，橢圓E的方程為：—+/=1,

4'

由NM4T=/M1T知40與AN關于直線AT：y=x+1對稱.

在AM上任取一點外（修,外）,設k關于直線A7對稱的點為《'（，”,〃）,

2V2L="j

則X0~m,解得/（%-l,x0+l）,

%+〃_%+加?]

2-2

“k,一％T,_（題+1）-1_x0

從而k、-kAP-,k2-k----7

%0%-1%-1

于是堆2=1.

（2）設點/（方方）,^W,%）,AM：y=k,x+\.

y=kx+\,

}8%

由反2_得（4形+1產+8用=0,

,T+>

1一4〃2

從而x=k[X[+1=-

ij2~i1

LE甌1-4后

同理.=一百,%=超十

8kk2-4

由⑴有勺%=1，故々=一萬才，%=卒，

為方便，記人=人，則

1-4公公_4

乂-丫2_4/+14+、2_8一弘4__+1

X—x,--8k8A-弘（3/-3）-3k

4f+14+k2

....」、.1-4^^+11-8k）

wf=媼（—一訴?=一丁"卜一束力,

2

Jt+18仔+1）「4公公+15

即y=---------X----7--------rH----------=----------X----.

3k3（4公+1）4&?+13k3

由此可知，當女變化時，直線MN過定點(。,一!).

【點睛】NK4T=NM47這個已知條件轉化為直線AM和直線AN關于直線AT對稱；第二問的關鍵

是結合韋達定理直接求出M和N的坐標，直接寫出MN的方程，從而證明其經過定點.

21.已知函數/(x)=ae*—x2有兩個極值點々、x>

⑴求〃的取值范圍；

(2)若時，不等式占+/1々22士工2恒成立，求4的最小值.

【答案】⑴(0。)

⑵ln3-g

【分析】(1)由尸(x)=0可得。=/，令〃(司=弓，則直線y=。與函數"(x)的圖象有兩個交點，

利用導數分析函數"(x)的單調性與極值，數形結合可得出實數。的取值范圍，再結合極值點的定義

檢驗即可；

(2)由已知可得出"e'=2x,>0,“e飛=2々>0,將這兩個等式相除可得=主,變形可得

王

9-x,=ln五，再由％+而222入環(huán)2可得仇一士)(玉+；1%)22%七111二，令1可得出

%x]x]

x2詈T，令8(0=詈-；(噂3)，利用導數求出函數g(f)的最大值，即可得出實數'的最小值.

【詳解】(1)解：因為〃x)=ae'-f,該函數的定義域為R,且/'(x)=ae'-2x,

因為函數f(x)有兩個極值點，所以，方程/'(x)=0有兩個不等的實數根，

則方程。?9有r兩個不等的實根，

e

令“(x)=￡,其中xeR,則令〃(x)=?？傻肵=l,列表如下:

XS'l)1(1,同

—

"'(X)4-0

"(X)增極大值減

2

所以，函數"(x)的極大值為“(1)=—,

0V0V-

月.當了<()時，w(x)=—<0；當x>0時，w(x)=—>0.

與函數”（X）的圖象有兩個交點，且交點橫坐標為七、9（西<々）,

e

〃一1^）>0；當不<工<々時，/r（x）=ex

當x<X1或x>超時，f'(x)=ex(T<°.

此時，函數/（x）有兩個極值點，合乎題意,

因此，實數〃的取值范圍是

（2）證明：由（1）可知，函數/（x）的兩個極值點陽、乙是方程ae、-2x=0的兩個根,

2/

且0<a<一,0<X）<1<x,則有ae'=2X[>0,aeX2=2x>0,

e22

等式ae”=2xt與等式“e*=2々相除可得/一』=彳，則有超一玉=In?>0,

由%+AX2>2xtx2可得（/一土）（為+）22xtx2In三,

x\

即色出吐包221n迨,即（上一1丫立+[221n至，

X]&l玉AX2）X

因為馬他，則字23,令r=,23,則（1）,+；卜21nr,可得人智

141

令g⑺=詈-=切口7—；-其中壯3,%，（/）—3—（4—、=—2In/一

令M，）=3-；+5-21nr,其中fN3,則廳⑺二鄉(xiāng)-彳二二一2.」）<0,

所以，函數/力）在[3,+8）上單調遞減，貝1]力（。4M3）=3-：+：-21n3=?-2ln3<0,

即g'（f）<0,所以，函數g（f）在[3,內）上單調遞減,

所以，當d3時，8⑴皿一⑶二等十ln3-g,貝V3T.

因此，實數人的最小值為ln3-，

【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區(qū)間與極值，根據函數的基本性質作

出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與x軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸

思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；

(2)構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由f(x)=0分離變量得出。=g(x),將問題等價轉化為直線丫=。與函數y=g(x)

的圖象的交點問題.

22.在直角坐標系xQy中，直線/的參數方程為卜=2+?，a為參數)以坐標原點。為極點，X軸

[y=t

的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為4P2麗/6=3("-1).

(1)求C的直角坐標方程；

⑵設直線/與曲線C交于A,B,求

【答案】⑴3/-丁-3=0

⑵3

【分析】(1)利用F=°c°s/和/+丁=夕2,即可將曲線c的極坐標