甘肅省徽縣第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題

徽縣一中2021—2022學(xué)年第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)（理科）注意事項(xiàng)：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.3.本試卷命題范圍：必修⑤，選修2-1.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.不等式的解集為（）A. B.C. D.2.下列命題中的假命題是（）A.存在， B.存在，C.任意， D.任意，3.若，，且，則的最大值是（）A. B. C. D.4.已知，（，，為兩兩互相垂直的單位向量），若，則（）A. B.1 C. D.25.兩個(gè)正數(shù)，的等差中項(xiàng)是，等比中項(xiàng)是，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.6.在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，的面積為，，，則的值為（）A.4 B.3 C.2 D.17.已知拋物線（）與傾斜角為45°的一直線相切于點(diǎn)，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.8.已知雙曲線（，）左支上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為4，到右焦點(diǎn)的距離為8，且雙曲線一條漸近線的傾斜角為60°，則該雙曲線的方程為（）A. B. C. D.9.已知條件：，條件：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值與最小值之和為（）A.3 B. C.2 D.11.已知正方體中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)則方程有四個(gè)實(shí)根的充要條件為（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.關(guān)于的不等式，若此不等式的解集為，則的取值范圍是______.14.已知在空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則可用，，表示為_(kāi)_____.15.已知數(shù)列（）為等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.16.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若的面積為，則______.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.（10分）已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求，的值；（2）求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積.18.（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，且最長(zhǎng)邊的邊長(zhǎng)為1.（1）求角的大小；（2）求最短邊的長(zhǎng).19.（12分）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到的漸近線的距離為，上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于3，求點(diǎn)的橫坐標(biāo).20.（12分）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，，，與平面所成的角為60°.（1）求二面角的余弦值；（2）設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定的位置，使得平面，并證明你的結(jié)論.21.（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，上項(xiàng)點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn).（1）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)、，若的面積為，求直線的斜率.22.（12分）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且，數(shù)列的前項(xiàng)和（）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）令，若（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對(duì)任意，都有成立.徽縣一中2021—2022學(xué)年度第一學(xué)期期末考試?高二數(shù)學(xué)（理科）參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.B且，故，所以解集為.2.C對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，任意，，正確.3.B，則.4.C，.5.C解得所以，故.6.C，則，，，可得.由余弦定理得，.7.B直線方程代入拋物線方程，由得，拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.8.D由條件可锝，故，再由漸近線的傾斜角為60°可知一條漸近線的斜率為，故，雙曲線的方程為9.A：，：或.10.A在時(shí)取得最小值4，故只需，解之得，即的最小值為，最大值為4，最大值與最小值之和為3.11.A如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則∵，，∴可取.設(shè)直線與平面所成角的，則，于是直線與平面所成角的余弦值為.12.D當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，圖象如右圖所示，要使方程有四個(gè)實(shí)根，需滿足.13.由不等式的解集形式知對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象開(kāi)口向下，得.14..15.設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，即.16.由題知，，則，則，則，，，.17.解：（1）由題意得即有.（2）由約束條件畫(huà)出可行域，如圖所示，則不等式組所表示的平面區(qū)域的面積.18.解：（1）.∵，∴.（2）∵，∴，均為銳角，則，又為鈍角，∴最短邊為，最長(zhǎng)邊為由，解得.由，得.19.解：（1）∵，∴可設(shè)雙曲線方程為.∵該雙曲線過(guò)點(diǎn)，∴，即.∴雙曲線方程為.（2）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，由題意得：，可得，∴拋物線的方程為.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，解得.20.解：（1）分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.∵與平面所成的角為60°，∴.∵正方形的邊長(zhǎng)為3，所以，，.則，，，，，∴，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.∵平面，∴為平面的一個(gè)法向量，∴.∴二面角的余弦值為.（2）點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè).則，∵平面，∴，解得.此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，符合題意.21.解：（1）由已知得橢圓的短半軸，焦半距，則長(zhǎng)半軸.又橢圓的焦點(diǎn)軸上，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.設(shè)線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，由得由點(diǎn)在橢圓上，得，∴線段中點(diǎn)的軌跡方程是.（2）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，因此的面積.當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)該直線方程為，代入，解得，，則.又點(diǎn)到直線的距離，∴的面積，即，解得.22.解:（1）∵的圖象過(guò)原點(diǎn)，∴.∴.當(dāng)時(shí)，，又∵適合，∴數(shù)