新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)10.6 三定問題及最值（精練）（基礎(chǔ)版）（解析版）

10.6三定問題及最值（精練）（基礎(chǔ)版）題組一定點(diǎn)1．（2022·煙臺(tái)模擬）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的離心率為SKIPIF1<0，其左?右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，SKIPIF1<0面積的最大值為1.題組一定點(diǎn)（1）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：以SKIPIF1<0為直徑的圓過定點(diǎn).【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：因?yàn)闄E圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又當(dāng)SKIPIF1<0位于上頂點(diǎn)或者下頂點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0面積最大，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0（2）解：由題知，直線SKIPIF1<0的斜率存在，所以設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0代入橢圓SKIPIF1<0的方程得：SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0為直徑的圓為SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0.①因?yàn)镾KIPIF1<0，令①中的SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，以SKIPIF1<0為直徑的圓過定點(diǎn)SKIPIF1<0.2．（2022·莆田三模）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若直線l與橢圓C相切于點(diǎn)D，且與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)E．試問在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得點(diǎn)P在以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在．請(qǐng)說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由題意得SKIPIF1<0，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）解：由題意，可知橢圓的切線方程的斜率一定存在，設(shè)切線方程的切點(diǎn)為SKIPIF1<0，切線方程為SKIPIF1<0，下面證明：聯(lián)立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，及直線SKIPIF1<0與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓相切，所以橢圓上切點(diǎn)為SKIPIF1<0的切線方程為SKIPIF1<0.切線方程SKIPIF1<0與SKIPIF1<0聯(lián)立得SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)整理得SKIPIF1<0，由題意可知，此式恒成立，故當(dāng)SKIPIF1<0滿足題意.此時(shí)SKIPIF1<0.故存在定點(diǎn)P，使得點(diǎn)P在以線段SKIPIF1<0為直徑的圓上.3（2022·河南模擬）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，C的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為SKIPIF1<0．（1）求C的方程；（2）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，若不過點(diǎn)Q的動(dòng)直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，證明：l過定點(diǎn)．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】（1）解：由離心率為SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，①C的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為SKIPIF1<0．②由①②可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C的方程為SKIPIF1<0．（2）解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．因?yàn)镼不在l上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都不是零向量，故SKIPIF1<0，由題意可知l的斜率一定存在．設(shè)l的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立方程組得SKIPIF1<0，消去y并整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，滿足SKIPIF1<0，此時(shí)直線l的方程為SKIPIF1<0，所以直線l過定點(diǎn)SKIPIF1<0．題組二題組二定值1．（2022·安徽模擬）點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0.（1）求拋物線的方程；（2）動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為拋物線在第一象限內(nèi)兩點(diǎn)，且直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的傾斜角互補(bǔ)，求證：SKIPIF1<0是定值.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）見解析【解析】（1）解：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0，所以拋物線的方程為SKIPIF1<0.（2）證明：設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；因?yàn)橹本€SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的傾斜角互補(bǔ)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，由題設(shè)得SKIPIF1<0；不妨設(shè)SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0點(diǎn)，SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0點(diǎn)；即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是定值.2．（2022·安徽三模）已知橢圓C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，其右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓C上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且當(dāng)SKIPIF1<0軸時(shí)，△APF的面積為SKIPIF1<0．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線AP交直線l：SKIPIF1<0于點(diǎn)Q，直線l與x軸交于點(diǎn)T，證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）見解析【解析】（1）解：設(shè)SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入橢圓方程，得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0軸時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．（2）證明：易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線AP的方程是SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0軸時(shí)，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．當(dāng)PF與x軸不垂直時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．3．（2022·延慶模擬）已知橢圓SKIPIF1<0的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，其中左頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，右頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求證：SKIPIF1<0為定值.【答案】見解析【解析】（1）解：由已知得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．又因?yàn)闄E圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0（2）證明：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)橹本€SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<04．（2022·臨沂模擬）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的左頂點(diǎn)，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）若動(dòng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求證：點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)之積為定值．【答案】見解析【解析】（1）解：易知點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）證明：分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線SKIPIF1<0軸時(shí)，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)之積為SKIPIF1<0；②當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由題意可知直線SKIPIF1<0不與雙曲線SKIPIF1<0的漸近線平行或重合，即SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不妨點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的交點(diǎn)，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，此時(shí)，SKIPIF1<0.綜上所述，點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)之積為定值.5．（2022·青州模擬）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的右頂點(diǎn)SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．（1）求雙曲線SKIPIF1<0的方程；（2）動(dòng)直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)．求證：SKIPIF1<0的面積為定值．【答案】見解析【解析】（1）解：不妨設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，從而SKIPIF1<0故由SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0所以雙曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0（2）解：設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0由于動(dòng)直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)動(dòng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)動(dòng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時(shí)，且斜率SKIPIF1<0，不妨設(shè)直線SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0SKIPIF1<0依題意，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，故由SKIPIF1<0，同理可求，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0又因?yàn)樵c(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面積是為定值，定值為SKIPIF1<06．（2022·平江模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，與橢圓相交于點(diǎn)SKIPIF1<0；（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程，（2）在SKIPIF1<0軸上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見解析【解析】（1）解：由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓的方程為SKIPIF1<0（2）解：設(shè)SKIPIF1<0（?。┊?dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不重合時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，無論SKIPIF1<0取何值，SKIPIF1<0的值恒為2，得點(diǎn)SKIPIF1<0，（ⅱ）當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合時(shí)，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0=2由i和ii得，在SKIPIF1<0軸上是存在兩點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0題組三題組三最值1．（2022·唐山二模）已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為F，橢圓SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的離心率；（2）如圖：直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于A，D兩點(diǎn)，交橢圓E于B，C兩點(diǎn)．①求證：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值．【答案】見解析【解析】（1）解：橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0（2）證明：對(duì)于①，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0聯(lián)立整理得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)SKIPIF1<0同理可知SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中點(diǎn)重合，故SKIPIF1<0.對(duì)于②，由①知，直線SKIPIF1<0被橢圓截得弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入得，SKIPIF1<0把SKIPIF1<0代入得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的面積最大值是SKIPIF1<0.2．（2022·棗莊模擬）已知雙曲線SKIPIF1<0的實(shí)軸長(zhǎng)為2．點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0的準(zhǔn)線與C的一個(gè)交點(diǎn)．（1）求雙曲線C和拋物線E的方程；（2）過雙曲線C上一點(diǎn)P作拋物線E的切線，切點(diǎn)分別為A，B．求SKIPIF1<0面積的取值范圍．【答案】見解析【解析】（1）解：由題，SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線上，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故雙曲線方程為SKIPIF1<0；又點(diǎn)SKIPIF1<0過拋物線SKIPIF1<0的準(zhǔn)線，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（2）解：顯然直線SKIPIF1<0斜率存在，故設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0