河南省洛陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

河南省洛陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1．一人打靶中連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A.至多有一次中靶 B.兩次都中靶C.兩次都不中靶 D.只有一次中靶2．設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f（1）＝0，則不等式＜0的解集為（）A.(－1，0)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－1，0)∪(0，1)3．若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則A.8 B.6C.4 D.24．設(shè)函數(shù),A.3 B.6C.9 D.125．如圖，把邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)直線BD和平面ABC所成的角為時(shí)，三棱錐的體積為（）A. B.C. D.6．函數(shù)的圖像的大致形狀是（）A. B.C. D.7．設(shè)集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，則圖中陰影部分表示的集合的真子集有（）個(gè)A.3 B.4C.7 D.88．已知?jiǎng)t的值為（）A. B.2C.7 D.59．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的的零點(diǎn)，，，，且，則（）A.a的取值范圍是(0,) B.的取值范圍是(0,1)C. D.10．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A. B.C. D.11．已知矩形，，，沿矩形的對(duì)角線將平面折起，若四點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的面積為（）A. B.C. D.12．如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．用表示函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值．若正數(shù)滿足，則的最大值為__________14．若，則的值為___________.15．已知，則___________16．設(shè)，則________.三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）線段上是否存在，使得它到平面的距離為？若存在，求出的值.18．計(jì)算下列各式：（1）（2）19．如圖所示，設(shè)矩形的周長(zhǎng)為cm，把沿折疊，折過去后交于點(diǎn)，設(shè)cm，cm（1）建立變量與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域;（2）求的最大面積以及此時(shí)的的值20．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由.21．（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值.22．某中學(xué)共有3000名學(xué)生，其中高一年級(jí)有1200名學(xué)生，為了解學(xué)生的睡眠情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法，在三個(gè)年級(jí)中抽取了200名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)及圖中a的值；（2）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計(jì)全校睡眠時(shí)間不低于7個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1、C【解析】根據(jù)互斥事件定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若恰好中靶一次，則“至少有一次中靶”與“至多有一次中靶”同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若兩次都中靶，則“至少有一次中靶”與“兩次都中靶”同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若兩次都不中靶，則“至少有一次中靶”與“兩次都不中靶”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，C正確；對(duì)于D，若只有一次中靶，則“至少有一次中靶”與“只有一次中靶”同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，D錯(cuò)誤.故選：C.2、C【解析】利用函數(shù)奇偶性，等價(jià)轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式，再結(jié)合已知條件以及函數(shù)單調(diào)性，即可求得不等式解集.【詳解】∵f(x)為奇函數(shù)，故可得，則＜0等價(jià)于.∵f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)且f（1）＝0，∴當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＜0.∵奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴在(－∞，0)上f(x)為減函數(shù)且f(－1)＝0，即x＜－1時(shí)，f(x)＞0.綜上使＜0的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞)故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬綜合基礎(chǔ)題.3、B【解析】由已知利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得tanθ，再利用倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用化簡(jiǎn)即可求值【詳解】解：∵點(diǎn)（8，tanθ）在函數(shù)y＝的圖象上，tanθ，∴解得：tanθ＝3，∴2tanθ＝6，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】.故選C.5、C【解析】取的中點(diǎn)為，連接，過作的垂線，垂足為，可以證明平面、平面，求出的面積后利用公式求出三棱錐的體積.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，過作的垂線，垂足為.因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，同理，而，故平面，而平面，故平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，故平面，故為直線BD和平面ABC所成的角，所以.在等腰直角形中，因?yàn)?，，故，同理，故為等邊三角形，?故.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：線面角的構(gòu)造，往往需要根據(jù)面面垂直來(lái)構(gòu)建線面垂直，而后者來(lái)自線線垂直，注意對(duì)稱的圖形蘊(yùn)含著垂直關(guān)系，另外三棱錐體積的計(jì)算，需選擇合適的頂點(diǎn)和底面.6、D【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.【詳解】根據(jù)，是減函數(shù)，是增函數(shù).在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)表達(dá)式求函數(shù)圖象，解題關(guān)鍵是掌握指數(shù)函數(shù)圖象的特征，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.7、C【解析】先求出A∩B={3，5}，再求出圖中陰影部分表示的集合為：CU（A∩B）={1，2，4}，由此能求出圖中陰影部分表示的集合的真子集的個(gè)數(shù)【詳解】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，圖中陰影部分表示的集合為：CU（A∩B）={1，2，4}，∴圖中陰影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故選C【點(diǎn)睛】本題考查集合的真子集的個(gè)數(shù)的求法，考查交集定義、補(bǔ)集、維恩圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題8、B【解析】先算，再求【詳解】，故選：B9、D【解析】將問題轉(zhuǎn)化為與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想判斷各交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍及數(shù)量關(guān)系，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】有四個(gè)不同的零點(diǎn)、、、，即有四個(gè)不同的解的圖象如下圖示，由圖知：，所以，即的取值范圍是(0,＋∞)由二次函數(shù)的對(duì)稱性得：，因?yàn)?，即，故故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍或數(shù)量關(guān)系.第II卷10、C【解析】由題意，函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞增，計(jì)算，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可【詳解】解：函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)遞增，且，，所以所以的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是故選：11、C【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的對(duì)角線AC=10為該球的直徑，所以該球面的面積為.故選C.12、A【解析】先通過觀察圖像可得A和周期，根據(jù)周期公式可求出，再代入最高點(diǎn)坐標(biāo)可得.【詳解】由圖像得，，則，，，得，又，.故選：A.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】對(duì)分類討論，利用正弦函數(shù)的圖象求出和，代入，解出的范圍，即可得解.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，，因?yàn)椋圆怀闪?；?dāng)，即時(shí)，，，不滿足；當(dāng)，即時(shí)，，，由得，得，得；當(dāng)，即時(shí)，，，由得，得，得，得；當(dāng)，即時(shí)，，，不滿足；當(dāng)，即時(shí)，，，不滿足.綜上所述：.所以得最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)分類討論，利用正弦函數(shù)的圖象求出和是解題關(guān)鍵.14、1或【解析】由誘導(dǎo)公式、二倍角公式變形計(jì)算【詳解】,所以或，時(shí)，；時(shí)，故答案為：1或15、【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求得，再運(yùn)用正弦、余弦的二倍角公式求得，由正弦和角公式可求得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以．故答案為：?6、2【解析】先求出，再求的值即可【詳解】解：由題意得，，所以，故答案為：2三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）見解析；（2）；（3）存在，..【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可知，只需證直線PO垂直平面ABCD中的兩條相交直線垂直即可；（2）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)B，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用Vp-DQC=VQ-PCD，即可得出結(jié)論試題解析：（1）證明：在中為中點(diǎn)，所以.又側(cè)面底面，平面平面平面，所以平面.（2）解：連接，在直角梯形中，，有且，所以四邊形是平行四邊形，所以.由（1）知為銳角，所以是異面直線與所成的角，因?yàn)?，在中，，所以，在中，因?yàn)?，所以，在中，，所以，所以異面直線與所成的角的余弦值為.（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)，使得它到平面的距離為.設(shè)，則，由（2）得，在中，，所以，由得，所以存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí).18、（1）；（2）.【解析】（1）運(yùn)用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，結(jié)合換底公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式.19、（1），定義域（2），的最大面積為【解析】（1）由題意可得，再由可求出的取值范圍，（2）設(shè)，在直角三角形ADP中利用勾股定理可得，從而可求得，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得結(jié)果【小問1詳解】因?yàn)椋?，矩形ABCD的周長(zhǎng)為20cm，所以，因?yàn)椋?，解得．所以，定義域?yàn)椤拘?詳解】因?yàn)锳BCD是矩形，所以有，因?yàn)槭茄卣燮鹚?，所以有，，因此有，，所以≌，因此，設(shè)．而ABCD是矩形，所以，因此在直角三角形ADP中，有，所以，化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)，的最大面積為20、（1）證明見解析（2）（i）不存在“和諧區(qū)間”，理由見解析（ii）存在，有唯一的“和諧區(qū)間”【解析】（1）利用來(lái)證得結(jié)論成立.（2）（i）通過證明方程只有一個(gè)實(shí)根來(lái)判斷出此時(shí)不存在“和諧區(qū)間”.（ii）對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合的單調(diào)性以及（1）的結(jié)論求得唯一的“和諧區(qū)間”.【小問1詳解】由已知當(dāng)時(shí)，，得，所以當(dāng)時(shí)，.【小問2詳解】（i）時(shí)，假設(shè)存在，則由知，注意到，故，所以在單調(diào)遞增，于是，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，易知不是方程的根，由已知，當(dāng)時(shí)，，令，則有時(shí)，，即，故方程只有一個(gè)實(shí)根0，故不存在“和諧區(qū)間”.（ii）時(shí)，假設(shè)存在，則由知若，則由，知，與值域是矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”，同理，時(shí)，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時(shí)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋项}意.若，當(dāng)時(shí)，同理可得，舍去，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，于是，若即，則，故，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，從而，，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.【點(diǎn)睛】對(duì)于“新定義”的題目，關(guān)鍵是要運(yùn)用新定義的知識(shí)以及原有的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解.本題有兩個(gè)“新定義”，一個(gè)是泰勒發(fā)現(xiàn)的公式，另一個(gè)是“和諧區(qū)間”.泰勒發(fā)現(xiàn)的公式可以直接用于證明，“和諧區(qū)間”可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解.21、（1）；（2）.【解析】（1）利用湊特殊角的方法結(jié)合和角的正弦公式化簡(jiǎn)求解作答；（2）將給定等式兩邊平方，再利用二倍公式、同角公式計(jì)算作答.【詳解】（1）依題意，；（2）將兩邊平方