四川省綿陽(yáng)市三臺(tái)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)模擬試題（一）

三臺(tái)中學(xué)高2022級(jí)高二上期半期模擬試題（一）數(shù)學(xué)一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.從遂寧市中、小學(xué)生中抽取部分學(xué)生，進(jìn)行肺活量調(diào)查．經(jīng)了解，我市小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的肺活量有較大差異，而同一學(xué)段男女生的肺活量差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是（）A.簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣 B.按性別分層抽樣 C.按學(xué)段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣【答案】C【解析】【分析】若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣．【詳解】已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的肺活量有較大差異，而同一學(xué)段男女生的肺活量差異不大．了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，按學(xué)段分層抽樣，這種方式具有代表性，比較合理．故選：C．2.若{，，}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量基本定理以及空間向量共面定理，依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，所以三個(gè)向量共面，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，所以三個(gè)向量共面，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，假設(shè)三個(gè)向量共面，則存在非零實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足，整理可得，因?yàn)椋?，不共面，所以，無(wú)解，所以假設(shè)不成立，則三個(gè)向量不共面，故C正確，對(duì)于D，，所以三個(gè)向量共面，故D錯(cuò)誤.故選：C3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為B.點(diǎn)P在x軸上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為C.點(diǎn)P關(guān)于Oyz平面對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為D.點(diǎn)P在Oyz平面上的射影點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】C【解析】【分析】利用空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性特征可判斷.【詳解】點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.故選項(xiàng)A正確；點(diǎn)在x軸上的射影即為過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線所得垂足，其坐標(biāo)為.故選項(xiàng)B正確；點(diǎn)關(guān)于Oyz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與點(diǎn)橫標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)保持不變.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；點(diǎn)在平面Oyz上的射影即為過(guò)點(diǎn)作平面Oyz的垂線所得垂足，其坐標(biāo)為.故選項(xiàng)D正確.故選：C.4.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則可能使的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】若直線與平面平行，則直線的方向向量與平面的法向量垂直，利用向量數(shù)量積檢驗(yàn).【詳解】直線的方向向量為，平面的法向量為，若可能，則，即.A選項(xiàng)，；B選項(xiàng)，；C選項(xiàng)，；D選項(xiàng)，；故選：D5.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡的分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者的崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不一定正確的是（

）A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B.90后互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)90后總?cè)藬?shù)的20％C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)90后比80前多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多【答案】D【解析】【分析】利用整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】選項(xiàng)A；由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56％，故A正確；選項(xiàng)B：設(shè)整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)總?cè)藬?shù)為a，90后從事技術(shù)崗位人數(shù)為56％％a，而90后總?cè)藬?shù)的20％為56％×20％a，故B正確；選項(xiàng)C：設(shè)整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)總?cè)藬?shù)為a，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的90后人數(shù)為56％a×17％％a，超過(guò)80前的人數(shù)6％a，且80前中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)比例未知，故C正確；選項(xiàng)D：設(shè)整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)總?cè)藬?shù)為a，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的90后人數(shù)為56%a×39.6%=22.176%a，小于80后的人數(shù)38％a，但80后中從事技術(shù)崗位的人數(shù)比例未知，故D錯(cuò)誤．故選：D．6.某校為了迎接此次活動(dòng)，對(duì)本校高一高二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前期閱讀時(shí)間抽查，得到日閱讀時(shí)間（單位：分鐘）的統(tǒng)計(jì)表如下：則估計(jì)兩個(gè)年級(jí)學(xué)生日閱讀時(shí)間的方差為（

）年級(jí)抽查人數(shù)平均時(shí)間方差高一40504高二60406A.52 B. C.10 D.【答案】B【解析】【分析】利用分層抽樣的方差公式計(jì)算即可.【詳解】由表格可知兩個(gè)年級(jí)日閱讀時(shí)間的平均數(shù)為：，則其方差為：.故選：B7.在三棱柱中，，為上一點(diǎn)，且，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間向量的線性運(yùn)算可得，再由其模長(zhǎng)公式，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，，則．故選：．8.將邊長(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與C在平面的同側(cè)，則直線與平面所成的角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角公式即可求解.【詳解】由題意，，，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．則，∴平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，∴．故選：D．二、多選題（本題共4小題，每小5分，共20分．全對(duì)5分，部分選對(duì)2分，有錯(cuò)選0分）9.小張?小陳為了了解自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，他們對(duì)去年一年的數(shù)學(xué)測(cè)試情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析.其中小張每次測(cè)試的平均成績(jī)是135分，全年測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為；小陳每次測(cè)試的平均成績(jī)是130分，全年測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為3.5.下列說(shuō)法正確的是（）A.小張數(shù)學(xué)測(cè)試的最高成績(jī)一定比小陳高B.小張測(cè)試表現(xiàn)時(shí)而好，時(shí)而糟糕C.小陳比小張測(cè)試發(fā)揮水平更穩(wěn)定D.平均來(lái)說(shuō)小陳比小張數(shù)學(xué)成績(jī)更好【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的含義判斷.【詳解】平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差不能反映最高成績(jī)，故A錯(cuò)；標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，而，說(shuō)明小陳的成績(jī)更穩(wěn)定，小張的成績(jī)波動(dòng)比較大，故BC正確；小張的平均成績(jī)高于小陳的平均成績(jī)，所有平均來(lái)說(shuō)小張比小陳數(shù)學(xué)成績(jī)更好，故D錯(cuò).故選：BC.10.從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，則下列敘述正確的是（）A.取出的兩個(gè)球同為紅色和同為黑色是兩個(gè)互斥而不對(duì)立的事件B.至多有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)對(duì)立的事件C.事件A＝“兩個(gè)球同色”，則D.事件B＝“至少有一個(gè)紅球”，則【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的概念，及古典概型公式進(jìn)行分析即可．【詳解】對(duì)于A，兩球同時(shí)為紅球和為黑球不可能同時(shí)發(fā)生，并且除了這兩個(gè)事件，實(shí)驗(yàn)還會(huì)發(fā)生一個(gè)事件，即兩球一黑一白，所以?xún)汕蛲瑫r(shí)為紅球和為黑球的事件為互斥而不對(duì)立事件，A正確；對(duì)于B，至多有一個(gè)黑球包括一黑一紅和兩紅球，其對(duì)立事件為兩黑球，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，記3個(gè)紅球?yàn)閍，b，c，2個(gè)黑球?yàn)閐，e，則任取2個(gè)球的結(jié)果有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10個(gè)，事件A發(fā)生的結(jié)果有ab，ac，bc，de，共4個(gè)，所以，C正確；對(duì)于D，事件的對(duì)立事件的結(jié)果有de，共1個(gè)，所以，所以，D正確．故選：ACD．11.下列選項(xiàng)正確的是（

）A.空間向量與向量共線B.已知向量，，，若，，共面，則C.已知空間向量，，則在方向上的投影向量為D.點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離是【答案】ABC【解析】【分析】利用空間向量的共線判斷A；利用向量共面定理判斷B；利用投影向量的求法判斷C；利用點(diǎn)到直線的距離公式判斷D．【詳解】對(duì)于A，，，，與共線，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，即，則，得，故B正確；對(duì)于C，，在方向上的投影向量為，故C正確，對(duì)于D，，是直線的一個(gè)單位方向向量，點(diǎn)P到直線l的距離為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12.如圖，在正方體中，，點(diǎn)，分別在棱和上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則下列命題正確的是（

）A.B.平面C.線段長(zhǎng)度的最大值為1D.三棱錐體積不變【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判定線線垂直、線面垂直、計(jì)算兩點(diǎn)距離，及根據(jù)錐體體積公式一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】在正方體中，以D為原點(diǎn)，以射線分別為軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則.設(shè)，則，因，所以，即.對(duì)于A：，則，所以，即，故A正確;對(duì)于B：，即與不垂直，從而與平面不垂直，故B不正確；對(duì)于C：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D：不論點(diǎn)如何移動(dòng)，點(diǎn)到平面的距離為4，且為定值，而為定值，故三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案直接填在答題卡中的橫線上．）13.已知直線的一個(gè)方向向量，且直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和兩點(diǎn)，則的值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】由空間向量平行的坐標(biāo)表示求解．【詳解】由題意得，且，則，解得，則，故答案為：14.甲、乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為，被甲或乙解出的概率為，則該題被乙獨(dú)立解出的概率為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】記“該題被甲獨(dú)立解出”為事件A，“該題被乙獨(dú)立解出”為事件B，根據(jù)已知得出，，代入數(shù)據(jù)即可得出答案.【詳解】記“該題被甲獨(dú)立解出”為事件A，“該題被乙獨(dú)立解出”為事件B，由題意可知，，.因?yàn)槭录?，相互?dú)立，所以.又，所以.故答案為：.15.中國(guó)古典樂(lè)器一般按“八音”分類(lèi)，這是我國(guó)最早按樂(lè)器的制造材料來(lái)對(duì)樂(lè)器進(jìn)行分類(lèi)的方法，最早見(jiàn)于《周禮·春官·大師》，八音分為“金、石、土、革、絲、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”為打擊樂(lè)器，“土、匏、竹”為吹奏樂(lè)器，“絲”為彈撥樂(lè)器．某同學(xué)計(jì)劃從“金、石、匏、竹、絲5種課程中選2種作興趣班課程進(jìn)行學(xué)習(xí)，則恰安排了1個(gè)課程為吹奏樂(lè)器、1個(gè)課程為打擊樂(lè)器的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】從“金、石、匏、竹、絲5種課程中選2種作興趣班課程進(jìn)行學(xué)習(xí)，基本事件有：（金，石），（金，匏），（金，竹），（金，絲），（石，匏），（石，竹），（石，絲），（匏，竹），（匏，絲），（竹，絲），共10個(gè)，其中恰安排了1個(gè)課程為吹奏樂(lè)器、1個(gè)課程為打擊樂(lè)器的基本事件為：（金，匏），（金，竹），（石，匏），（石，竹），共4個(gè)，故所求概率為.故答案為：16.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在底面正方形內(nèi)(包括邊界)，若平面，則長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】以正方體的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求平面的法向量，設(shè)，且，求，根據(jù)平面，可得滿(mǎn)足的等式關(guān)系，并用表示，確定的取值范圍，利用空間中兩點(diǎn)距離公式得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可確定長(zhǎng)度的最大值.【詳解】如圖，以正方體的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，動(dòng)點(diǎn)在底面正方形內(nèi)(包括邊界)，則設(shè)，且則，設(shè)平面的法向量為，又則，令，則因?yàn)槠矫?，所以，即，則，所以則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以長(zhǎng)度的最大值為.故答案為：.四、解答題（本大題共6個(gè)小題，其中17題10分，其余每小題12分，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明．證明過(guò)程或演算步驟）17.為了落實(shí)習(xí)主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，某市政府積極鼓勵(lì)居民節(jié)約用水.計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中.（1）求直方圖中的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）；（2）設(shè)該市有40萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)；（3）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值.【答案】（1），，該市居民用水的平均數(shù)估計(jì)（2）（萬(wàn)）（3）噸【解析】【分析】（1）由頻率之和為1以及列方程組求得的值，并由頻率分布直方圖中間值作為代表，計(jì)算出平均數(shù)；（2）計(jì)算不低于2噸人數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率，求出對(duì)應(yīng)的人數(shù)；（3）由頻率分布直方圖計(jì)算頻率，可判斷，再根據(jù)頻率列出方程，求出的值.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可得，又，則，，該市居民用水的平均數(shù)估計(jì)為：；【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可得，月均用水量不超過(guò)2噸的頻率為：，則月均用水量不低于2噸的頻率為：，所以全市40萬(wàn)居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)為：（萬(wàn)）；【小問(wèn)3詳解】由頻率分布直方圖知月均用水量不超過(guò)6噸頻率為：，月均用水量不超過(guò)5噸的頻率為：，則85%的居民每月的用水量不超過(guò)的標(biāo)準(zhǔn)（噸），，，解得，即標(biāo)準(zhǔn)為噸.18.如圖，正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）用，，分別表示向量，；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】(1)如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，由向量的三角形加法法則和平行四邊形加法法則得出答案；(2)設(shè)異面直線與所成角為，將用基底，，表示，代入公式計(jì)算得出答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為1，則，；【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，.又.設(shè)異面直線與所成角為，則.19.為普及消防安全知識(shí)，某學(xué)校組織相關(guān)知識(shí)競(jìng)賽．比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽．已知在第一輪比賽中，選手甲?乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲?乙勝出的概率分別為，，甲?乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響．（1）從甲?乙兩人中選1人參加比賽，派誰(shuí)參賽贏得比賽的概率更大？（2）若甲?乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率．【答案】（1）派甲參賽贏得比賽的概率更大（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式求出甲、乙贏得比賽的概率，即可判斷；（2）記事件為“甲贏得比賽”，為“乙贏得比賽”，利用對(duì)立事件與相互獨(dú)立事件的概率公式求出，即可得解.【小問(wèn)1詳解】記事件為“甲在第一輪比賽中勝出”，為“甲在第二輪比賽中勝出”，為“乙在第一輪比賽中勝出”，為“乙在第二輪比賽中勝出”，則相互獨(dú)立，且．因?yàn)樵趦奢啽荣愔芯鶆俪鲆暈橼A得比賽，則為“甲贏得比賽”，為“乙贏得比賽”，所以，．因?yàn)椋耘杉讌①愙A得比賽的概率更大．【小問(wèn)2詳解】記事件為“甲贏得比賽”，為“乙贏得比賽”，則“兩人中至少有一人贏得比賽”．由（1）知，，，所以，，所以，故兩人中至少有一人贏得比賽的概率為．20.將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記下骰子朝上的點(diǎn)數(shù)．若用表示第一次拋擲出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，用表示第二次拋擲出的點(diǎn)數(shù)，用表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)．（1）記“兩次點(diǎn)數(shù)之和大于9”，“至少出現(xiàn)一次點(diǎn)數(shù)為3”，求事件A，B的概率；（2）甲、乙兩人玩游戲，雙方約定：若為偶數(shù)，則甲勝；否則，乙獲勝．這種游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），（2）這種游戲規(guī)則不公平，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子共有36個(gè)樣本點(diǎn)，利用列舉法得出所求事件中所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）利用古典摡型的概率計(jì)算公式和概率的加法公式求得甲勝的概率，比較即可得到結(jié)論.小問(wèn)1詳解】解：依題意，拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，共有36個(gè)樣本點(diǎn)，其中事件，即事件包含6個(gè)樣本點(diǎn)，所以事件的概率為．又由事件，即事件中包含11個(gè)樣本點(diǎn)，所以事件的概率為．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)事件“為偶數(shù)”，事件，事件，可得，因?yàn)槭录c事件互斥，且，所以．因此甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，所以，故這種游戲規(guī)則不公平．21.如圖，直二面角中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，為上的點(diǎn)，且平面，（1）求證：平面.（2）求