三個特殊三角形.三類典型高考題

三個特殊三角形.三類典型高考題有三個特殊的三角形:倍角三角形、順序三角形和等比三角形;這三個特殊的三角形是高考命題的熱點(diǎn),掌握三個特殊三角形的基本性質(zhì),是解決三類典型高考試題的關(guān)鍵.[母題結(jié)構(gòu)]:(Ⅰ)(倍角三角形)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則A=2Ba2=b(b+c)b+c=2acosB;(Ⅱ)(順序三角形)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.①a、b、c成等差數(shù)列cos=2sin;②若a、b、c成等差數(shù)列,則B≤600;(Ⅲ)(等比三角形)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.①a、b、c成等比數(shù)列cos(A-C)+cosB+cos2B=1;②若a、b、c成等比數(shù)列,則:B∈(0,],且公比q∈(,).[母題解析]:(Ⅰ)延長BA至點(diǎn)D,使得AD=AB,則a2-b2=bca2=b(b+c)CB2=CACDΔABC∽ΔBDC∠ABC=∠DBCA=2B;又由b+c=2acosBb+c=2aa2-b2=bc;(Ⅱ)①由a、b、c成等差數(shù)列a+c=2bsinA+sinC=2sinBsin(+)+sin(-)=4sincos2sincos=4sincoscos=2sin;②略;(Ⅲ)由a、b、c成等比數(shù)列b2=acsin2B=sinAsinC2sin2B=cos(A-C)-cos(A+C)2sin2B=cos(A-C)+cosBcos(A-C)+cosB+cos2B=1;②略.1.倍角三角形子題類型Ⅰ:(2016年浙江高考理科試題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acosB.(Ⅰ)證明:A=2B;(Ⅱ)若△ABC的面積S=,求角A的大小.[解析]:(Ⅰ)由b+c=2acosBsinB+sinC=2sinAcosBsinB+sinAcosB+sinBcosA=2sinAcosBsinB=sinAcosB-sinBcosAsinB=sin(A-B);又A,B∈(0,π)A-B∈(-π,π)B=A-B,或B+(A-B)=πA=2B,或A=π(舍去)A=2B;(Ⅱ)由S=absinC=a=2bsinC;又由A=2BsinA=sin2BsinA=2sinBcosBa=2bcosBsinC=cosBC=B;①當(dāng)C=-B時,A=;②當(dāng)C=+B時,A=.綜上,A=或A=.[點(diǎn)評]:在倍角△ABC中,由A=2Ba2=b(b+c)b+c=2a=cos2B-cos2A=2sinBsinC.[同類試題]:1.(2014年安徽高考試題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求sin(A+)的值.2.(2016年浙江高考文科試題)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acosB.(Ⅰ)證明:A=2B;(Ⅱ)若cosB=,求cosC的值.2.順序三角形子題類型Ⅱ:(2016年山東高考試題)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知2(tanA+tanB)=+.(Ⅰ)證明:a+b=2c;(Ⅱ)求cosC的最小值.[解析]:(Ⅰ)由2(tanA+tanB)=+2(+)=+2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB2sin(A+B)=sinA+sinB2sinC=sinA+sinB2c=a+ba+b=2c;(Ⅱ)由a+b=2ccosC===≥=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立cosC的最小值是.[點(diǎn)評]:在順序三角形中,等價的結(jié)論形式多樣,結(jié)構(gòu)優(yōu)美,精彩紛呈,其核心結(jié)論是cos=2sin.[同類試題]:3.(1998年全國高考試題)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,設(shè)a+c=2b,A-C=.求sinB的值.4.(2013年江西高考試題)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(Ⅰ)求證:a,b,c成等差數(shù)列;(Ⅱ)若C=,求的值.3.等比三角形子題類型Ⅲ:(2009年全國Ⅱ高考試題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,cos(A-C)+cosB=,b2=ac.求B.[解析]:由b2=acsin2B=sinAsinC2sin2B=cos(A-C)-cos(A+C)2sin2B=cos(A-C)+cosBcos(A-C)+cosB+cos2B=1;又由cos(A-C)+cosB=1-cos2B=sin2B=sinB=(B≤)B=.[點(diǎn)評]:在等比三角形中,與三邊長成等比數(shù)列等價的結(jié)論形式多樣,結(jié)構(gòu)優(yōu)美,其核心結(jié)論是cos(A-C)+cosB+cos2B=1.[同類試題]:5.(2005年全國Ⅲ高考試題)△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,己知a,b,c成等比數(shù)列,且cosB=.(Ⅰ)求cotA+cotC的值;(Ⅱ)設(shè)求a+c的值.6.(2012年山東高考試題)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.(Ⅰ)求證:a,b,c成等比數(shù)列;(Ⅱ)若a=1,c=2,求△ABC的面積S.4.子題系列:7.(2013年北京高考試題)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)求c的值.8.(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津預(yù)賽試題)在△ABC中,bc=b2-a2,且B-A=800,則內(nèi)角C等于(用度數(shù)作答).9.(2014年陜西高考文科試題)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.(Ⅰ)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C);(Ⅱ)若a,b,c成等比數(shù)列,且c=2a,求cosB的值.10.(2014年陜西高考理科試題)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.(Ⅰ)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C);(Ⅱ)若a,b,c成等比數(shù)列,求cosB的最小值.11.(2004年北京春招試題)在△ABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊長,已知a,b,c成等比數(shù)列,且a2-c2=ac-bc,求∠A的大小及的值.12.(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊a,b,c成等比數(shù)列,則的取值范圍是.5.子題詳解:1.解:(Ⅰ)由A=2BsinA=sin2BsinA=2sinBcosBa=2ba2c=a2b+b2c-b3a2(c-b)=b(c2-b2)(b≠c)a2=b(c+b);又由b=3,c=1a=2;(Ⅱ)由cosA==-sinA=sin(A+)=(sinA+cosA)=.2.解:(Ⅰ)由b+c=2acosBsinB+sinC=2sinAcosBsinB+sin(A+B)=2sinAcosBsinB+sinAcosB+sinBcosA=2sinAcosBsinB=sinAcosB-sinBcosAsinB=sin(A-B);又B∈(0,π),A-B∈(-π,π)B=A-B,或B+(A-B)=π(舍去)A=2B;(Ⅱ)由cosB=sinB=,cos2B=2cos2B-1=-cosA=-sinA=cosC=-cos(A+B)=.3.解:由a+c=2bsinA+sinC=2sinBsin(+)+sin(-)=4sincos2sincos=4sincoscos=2sinsin=cos=sinB=2sincos=.4.解:(Ⅰ)由sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1sinAsinB+sinBsinC=2sin2BsinA+sinC=2sinBa+c=2ba,b,c成等差數(shù)列;(Ⅱ)由C=c2=a2+b2+ab(2b-a)2=a2+b2+ab5a=3b=.5.解:(Ⅰ)由cotA+cotC=;;(Ⅱ)因cacosB=ca=2b2=2,由余弦定理a2+c2=b2+2cacosB=5(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9a+c=3.6.解:(Ⅰ)由sinB(tanA+tanC)=tanAtanCsinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinCsinBsin(A+C)=sinAsinCsin2B=sinAsinCb2=aca,b,c成等比數(shù)列;(Ⅱ)由a=1,c=2b=cosB=sinB=S=.7.解:由∠B=2∠Ab2=a(a+c)c=5cosA=.8.解:在AC上取點(diǎn)D,使得AD=AB=c,由bc=b2-a2a2=b(b-c)CB2=CACDΔABC∽ΔBDCA=∠CBDB=A+∠ABD=A+(1800-A)=900+A;又由B-A=800A=200,B=1000C=600.9.解:(Ⅰ)由a,b,c成等差數(shù)列a+c=2bsinA+sinC=2sinBsinA+sinC=2sin(A+C);(Ⅱ)由a,b,c成等比數(shù)列b2=ac,又c=2ab=acosB===.10.解:(Ⅰ)由a,b,c成等差數(shù)列a+