第四章 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理

第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理本章介紹觀測(cè)模型及其定解條件等相關(guān)概念，各種觀測(cè)模型的函數(shù)模型、隨機(jī)模型，函數(shù)模型的線性形式，定解模型的最小二乘準(zhǔn)則和最小二乘估計(jì)。本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、測(cè)量平差概述2、函數(shù)模型3、函數(shù)模型的線性化4、測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型5、參數(shù)估計(jì)與最小二乘原理一、觀測(cè)模型測(cè)量工程因解決不同工程問題的需要，通常需構(gòu)建相應(yīng)的觀測(cè)模型。1、幾何模型：觀測(cè)系統(tǒng)僅由幾何量（如，長(zhǎng)度、角度、高程、坐標(biāo)等）構(gòu)成的模型。2、物理模型：觀測(cè)系統(tǒng)僅由與時(shí)間概念有關(guān)的物理量（如，速度、加速度、應(yīng)變等）構(gòu)成的模型。3、綜合模型：觀測(cè)系統(tǒng)既包涵幾何量又包涵物理量構(gòu)成的模型。4.1測(cè)量平差概述高程控制網(wǎng)(水準(zhǔn)網(wǎng)或三角高程網(wǎng))三角網(wǎng)(測(cè)角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)、邊角網(wǎng))導(dǎo)線

(附合、閉合、導(dǎo)線網(wǎng))二、觀測(cè)模型（幾何模型）的基本性質(zhì)為了確定一個(gè)幾何模型，并不需要知道該模型中所有元素（幾何量）的量值，只需知道其中部分元素的量值，其它元素可以通過它們的函數(shù)關(guān)系來確定。能夠唯一地確定一個(gè)幾何模型所必要的元素，簡(jiǎn)稱必要元素；必要元素的個(gè)數(shù)用t來表示。必要元素為函數(shù)獨(dú)立量，簡(jiǎn)稱獨(dú)立量。必要元素的個(gè)數(shù)t，只與幾何模型有關(guān)，與實(shí)際觀測(cè)量無關(guān)，一旦給定幾何模型，則其必要元素的個(gè)數(shù)t是唯一的，其類型不唯一。對(duì)任一幾何模型，必要元素t個(gè)量必須為函數(shù)獨(dú)立量，即t個(gè)必要元素之間必須不存在函數(shù)關(guān)系，亦即其中任一元素不能表達(dá)成其余（t-1）個(gè)元素的函數(shù)。必要元素如圖所示水準(zhǔn)網(wǎng)：為確定待定點(diǎn)P1、P2、P3的高程，至少需確定3段高差元素?！?/p>

…

…必要元素?cái)?shù)

t=3如：如圖所示三角網(wǎng)：為確定四邊形的形狀和大小，至少需確定5個(gè)幾何元素。1邊4角，如：4邊1角，如：3邊2角，如：必要元素?cái)?shù)

t=52邊3角，如：5邊0角，如：必要元素不僅要考慮其個(gè)數(shù)，而且要考慮以它的類型。如圖所示閉合導(dǎo)線：為確定待定點(diǎn)P1、…、P5等5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，至少需確定10個(gè)幾何元素。必要元素?cái)?shù)

t=10如：必要元素不僅要考慮其個(gè)數(shù)，而且要考慮以它的類型。如圖所示水準(zhǔn)網(wǎng)中：選擇或，則函數(shù)獨(dú)立。若選擇或，則存在函數(shù)關(guān)系式及因此，以上兩組元素均不是函數(shù)獨(dú)立量。如圖所示三角網(wǎng)：必要元素?cái)?shù)

t=5若選擇5個(gè)角元素，如：則存在以下關(guān)系式：因此，此5元素不是函數(shù)獨(dú)立量三、觀測(cè)模型（幾何模型）的必要起算數(shù)據(jù)確定幾何模型所必須具有的已知數(shù)據(jù)。1、水準(zhǔn)網(wǎng)必要起算數(shù)據(jù)：一個(gè)已知點(diǎn)高程2、測(cè)角網(wǎng)必要起算數(shù)據(jù)

一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)相鄰已知方位，一個(gè)相鄰已知邊長(zhǎng)或兩個(gè)相鄰點(diǎn)坐標(biāo)。3、測(cè)邊網(wǎng)或邊角網(wǎng)必要起算數(shù)據(jù)一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)相鄰已知方位角。四、多余起算數(shù)據(jù)必要起算數(shù)據(jù)之外的起算數(shù)據(jù)多余起算數(shù)據(jù)數(shù)：2多余起算數(shù)據(jù)數(shù)：1

確定幾何、物理模型的形狀、大小所必須進(jìn)行的觀測(cè)稱為必要觀測(cè)，其數(shù)目用符號(hào)t表示。

（1）水準(zhǔn)網(wǎng)必要觀測(cè)數(shù)據(jù)t=p-q-1必要觀測(cè)數(shù)總點(diǎn)數(shù)多余起算數(shù)據(jù)數(shù)

必要起算數(shù)據(jù)數(shù)

必要起算數(shù)據(jù)之外的起算數(shù)據(jù)

五、必要觀測(cè)及其數(shù)目的確定t=2p-q-4必要觀測(cè)數(shù)總點(diǎn)數(shù)多余起算數(shù)據(jù)數(shù)

必要起算數(shù)據(jù)數(shù)t=8-0-4＝4

（2）測(cè)角網(wǎng)必要觀測(cè)數(shù)據(jù)t=2p-q-3t=10-0-3＝7t=12-4-3＝7（3）測(cè)邊網(wǎng)或邊角網(wǎng)必要觀測(cè)數(shù)據(jù)五、多余觀測(cè)數(shù)及其數(shù)目的確定在測(cè)量工程中，為使一個(gè)幾何模型有定解，就必須進(jìn)行觀測(cè)，以獲取部分幾何元素的量值。設(shè)在給定的幾何模型中，總共觀測(cè)了n個(gè)元素的量值，若觀測(cè)個(gè)數(shù)少于必要元素的個(gè)數(shù)，即n<t，顯然無法定解該模型，即出現(xiàn)了數(shù)據(jù)不足的情況。若僅觀測(cè)了t個(gè)獨(dú)立量，n=t，則可唯一地確定該模型。但由于它們都是獨(dú)立量，故不存在任何條件方程，在這種情況下，如果觀測(cè)結(jié)果中含有粗差甚至錯(cuò)誤，都將無法發(fā)現(xiàn)。為了能及時(shí)發(fā)現(xiàn)粗差和錯(cuò)誤，并提高測(cè)量成果的精度，就必須使n>t，則r=n-t稱為多余觀測(cè)數(shù)。多余觀測(cè)數(shù)在測(cè)量中又稱為幾何模型的“自由度”。必要觀測(cè)之外的觀測(cè)稱多余觀測(cè)，其數(shù)目用符號(hào)r表示,多余觀測(cè)數(shù)＝觀測(cè)總數(shù)－必要觀測(cè)數(shù)(r=n-t

)若僅觀測(cè)了，則無法求得P3點(diǎn)的高程。若僅觀測(cè)了，則無法求得P2點(diǎn)的高程。如圖所示水準(zhǔn)網(wǎng)中：必要觀測(cè)不夠n<t必要元素?cái)?shù)

t=3如圖所示三角網(wǎng)：若僅觀測(cè)了

：則無法求解：更無法求解：必要元素?cái)?shù)

t=5必要觀測(cè)不夠n<t

例：下圖控制網(wǎng)分別按測(cè)角網(wǎng)、測(cè)邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)觀測(cè)時(shí)，各自的必要觀測(cè)數(shù)與多余觀測(cè)數(shù)分別為多少？

解：按測(cè)角網(wǎng)觀測(cè)時(shí)

t=16－0－4＝12

r=25-12=13

按測(cè)邊網(wǎng)觀測(cè)時(shí)

t=16－0－3＝13

r=15-13=2

按邊角網(wǎng)觀測(cè)時(shí)

t=16－0－3＝13

r=39-13=26

七、測(cè)量平差的基本概念1、條件方程在一個(gè)幾何模型中，除了t個(gè)獨(dú)立量以外，若再增加一個(gè)量，則必然產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。測(cè)量中稱為條件方程式。一個(gè)幾何模型如果有r個(gè)多余觀測(cè)，就產(chǎn)生r個(gè)條件方程式。由于觀測(cè)值不可避免地存在觀測(cè)誤差，當(dāng)n>t時(shí)，幾何模型中應(yīng)該滿足的r=n-t個(gè)條件方程，因?qū)嶋H存在閉合差而并不滿足。如圖所示水準(zhǔn)網(wǎng)中，若觀測(cè)：必要元素?cái)?shù)

t=3可列出以下條件方程：若再增加觀測(cè)則增加條件方程于是：僅用觀測(cè)值組成條件方程，則有：

如圖所示三角形，要確定其形狀和大小，則t=3若觀測(cè)元素：若再增加觀測(cè)元素：則存在以下關(guān)系式：則增加條件方程：于是：僅用觀測(cè)值組成條件方程，則有：由于觀測(cè)不可避免地存在偶然誤差，如何調(diào)整觀測(cè)值，即對(duì)觀測(cè)值合理地加上改正數(shù)，使其達(dá)到消除閉合差的目的，這是測(cè)量平差的主要任務(wù)。一個(gè)測(cè)量平差問題，首先要由觀測(cè)值和待求量間組成數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用一定的平差原則對(duì)待求量進(jìn)行估計(jì)，這種估計(jì)要求是最優(yōu)的，最后計(jì)算和分析成果的精度。例如：

如何計(jì)算出的最優(yōu)估值，使得：便是平差計(jì)算的主要任務(wù)。描述觀測(cè)模型中元素的一組數(shù)學(xué)關(guān)系式稱為數(shù)學(xué)模型。由于觀測(cè)量是一種隨機(jī)變量，所以平差的數(shù)學(xué)模型同時(shí)包含函數(shù)模型和隨機(jī)模型兩種，在研究任何平差方法時(shí)須同時(shí)予以考慮。

4.2測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型

函數(shù)模型函數(shù)模型是描述觀測(cè)量與待求量間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系的模型，是確定觀測(cè)模型中元素量值關(guān)系的模型。測(cè)量平差的目的就是為了最優(yōu)估計(jì)函數(shù)模型的未知量。對(duì)于給定的幾何觀測(cè)模型，可以有多種選取未知量的方式，建立不同形態(tài)的函數(shù)模型，由此產(chǎn)生了不同的平差方法。函數(shù)模型分為線性函數(shù)模型和非線性函數(shù)模型兩類。當(dāng)函數(shù)模型為非線性形式時(shí)，總是將其用泰勒公式展開，并取其一次項(xiàng)化為線性形式。1、條件平差法對(duì)于給定的幾何觀測(cè)模型，設(shè)：于是，可以列出的獨(dú)立的條件方程式：觀測(cè)量總數(shù)為n必須觀測(cè)數(shù)為t多余觀測(cè)數(shù)為r=n-t

函數(shù)模型如圖所示水準(zhǔn)網(wǎng)中，BM為已知高程點(diǎn)，P1、P2、P3為待求高程點(diǎn)，若觀測(cè)了水準(zhǔn)網(wǎng)中6段高差，設(shè)其高差的真值分別為：?？闪谐鲆韵聴l件方程：多余觀測(cè)數(shù)為：

函數(shù)模型

函數(shù)模型將條件方程寫為矩陣的形式：觀測(cè)向量矩陣：觀測(cè)向量系數(shù)矩陣：常數(shù)向量矩陣：得條件方程：

函數(shù)模型對(duì)于條件方程，將真值以觀測(cè)值加改正數(shù)的形式代替，即令，得到條件方程的另一種形式,令，得。

（1）

（2）

（1）、（2）兩式均為條件平差的函數(shù)模型。

函數(shù)模型一般情況而言，有n個(gè)觀測(cè)值，t個(gè)必要觀測(cè)，則應(yīng)列出r=n-t個(gè)條件方程。

函數(shù)模型條件方程必須線性無關(guān)。條件平差的自由度為r

如圖所示三角形，若觀測(cè)元素：則存在以下關(guān)系式：

函數(shù)模型多余觀測(cè)數(shù)為：

函數(shù)模型此時(shí)，觀測(cè)方程是非線性的形式，首先將非線性方程按臺(tái)勞公式張開，取至一次項(xiàng)，轉(zhuǎn)換成線性方程。按臺(tái)勞公式張開，取至一次項(xiàng)：

函數(shù)模型

函數(shù)模型

函數(shù)模型2、間接（參數(shù)）平差法一個(gè)幾何觀測(cè)模型，最多只能選出t個(gè)獨(dú)立量，模型中的所有量都一定可表達(dá)成所選t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)。那么通過這t個(gè)獨(dú)立參數(shù)就能唯一地確定該幾何模型。選擇幾何模型中t個(gè)獨(dú)立量為平差參數(shù)，將每一個(gè)觀測(cè)量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，即列出n個(gè)這種函數(shù)關(guān)系式，以此為平差的函數(shù)模型，稱為間接平差法，又稱為參數(shù)平差法。

函數(shù)模型如圖所示水準(zhǔn)網(wǎng)中，選擇三點(diǎn)的高程作為參數(shù)。列出以下方程：

如圖所示三角形，，觀測(cè)量為：選取P點(diǎn)的坐標(biāo)值

為參數(shù)，于是有：于是，可列出觀測(cè)量參數(shù)方程如下：

隨機(jī)模型平差計(jì)算的數(shù)學(xué)模型包括函數(shù)模型和隨機(jī)模型。

函數(shù)模型描述觀測(cè)量與待求量間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系；

隨機(jī)模型描述觀測(cè)量及其相互間統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。對(duì)于以上幾種基本平差函數(shù)模型，最基本的數(shù)據(jù)都是觀測(cè)向量，進(jìn)行平差計(jì)算時(shí)，除了建立其函數(shù)模型外，還要同時(shí)考慮到它的隨機(jī)模型，亦即觀測(cè)向量的協(xié)方差陣：式中D為L(zhǎng)的協(xié)方差陣，Q為L(zhǎng)的協(xié)因數(shù)陣，P為L(zhǎng)的權(quán)陣，Q與P互為逆陣，為單位權(quán)方差。

隨機(jī)模型一般情況下，觀測(cè)向量的協(xié)方差陣D在平差前都是未知的，若按第二章中介紹的方法估計(jì)確定，則稱為先驗(yàn)協(xié)方差?？赏ㄟ^平差計(jì)算求出其估值，然后求得D的估值：

隨機(jī)模型

4.3

參數(shù)故計(jì)與最小二乘原理平差問題是由于測(cè)量中進(jìn)行了多余觀測(cè)而產(chǎn)生，不論何種平差方法，平差最終目的都是對(duì)參數(shù)和觀測(cè)量（或Δ）作出某種估計(jì)，并評(píng)定其精度。所謂評(píng)定精度，就是對(duì)待估量的方差與協(xié)方差作出估計(jì)。所以，可統(tǒng)稱為對(duì)平差模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。引言由多余觀測(cè)而產(chǎn)生的平差數(shù)學(xué)模型，都不可能直接獲得唯一解。一、參數(shù)估計(jì)及其最優(yōu)性質(zhì)條件平差的函數(shù)模型

條件方程個(gè)數(shù)為r，而待估未知量Δ有n個(gè)，n>r，Δ不能唯一確定。

4.3

參數(shù)故計(jì)與最小二乘原理間接平差的函數(shù)模型

方程個(gè)數(shù)為n，待求參數(shù)和Δ共有t+n個(gè)，同樣，和Δ不能唯一確定。

4.3

參數(shù)故計(jì)與最小二乘原理測(cè)量平差中的參數(shù)估計(jì)，是要在眾多的解中，找出一個(gè)最為合理的解，作為平差參數(shù)的最終估計(jì)。為此，對(duì)最終估計(jì)值應(yīng)該提出某種要求?？紤]平差所處理的是隨機(jī)觀測(cè)值，自然要求參數(shù)估計(jì)要具有最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。從而可對(duì)平差數(shù)學(xué)模型附加某種約束，實(shí)現(xiàn)滿足最優(yōu)性質(zhì)的參數(shù)唯一解。這種約束是用某種準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)的，其中最廣泛采用的準(zhǔn)則是最小二乘原理。一、參數(shù)估計(jì)