函數(shù)的最大值含解析

第2課時函數(shù)的最大(小)值根底過關(guān)練題組一求函數(shù)的最大(小)值1.函數(shù)f(x)在[-2,2]上的圖象如下圖,那么此函數(shù)的最小值,最大值分別是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),22.(2021北京房山高一上期中)函數(shù)y=2x2-2x-1在區(qū)間[-1,1]上的最小值為()13.函數(shù)y=x+3,4.(2021北京豐臺高一上期中)x>2,函數(shù)y=4x-2+5.(2021北京石景山高一上期末)函數(shù)f(x)=2x(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的單調(diào)性,并用定義證明;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,9]上的最大值與最小值.題組二函數(shù)最大(小)值在實際問題中的應(yīng)用6.某商場經(jīng)營一批進價為每件30元的商品,在市場試銷中發(fā)現(xiàn),該商品銷售單價x(不低于進價,單位:元)與日銷售量y(單位:件)之間有如下關(guān)系:x4550y2712(1)確定x與y的一個一次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)(注明函數(shù)的定義域);(2)假設(shè)日銷售利潤為P(單位:元),根據(jù)(1)中的關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出當(dāng)銷售單價為多少元時,能獲得最大的日銷售利潤.7.(2021山東濟南歷城二中高一上期末)有一批材料,可以建成長為240m的圍墻.如圖,如果用這批材料在一面靠墻的地方圍成一塊矩形的場地,中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形,怎樣圍才能使矩形場地的面積最大?最大面積為多少?題組三函數(shù)最大(小)值在求參中的應(yīng)用8.假設(shè)函數(shù)y=ax+1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2,那么實數(shù)a的值是()或-29.(2021山東淄博高一上期中)假設(shè)函數(shù)f(x)=x2+(m+1)x+3在區(qū)間(3,5)內(nèi)存在最小值,那么m的取值范圍是()A.(5,9)B.(-11,-7)C.[5,9]D.[-11,-7]10.(2021江蘇南通如東高一上期中)設(shè)f(x)=x2-2ax+1,x∈[0,2],當(dāng)a=3時,f(x)的最小值是,假設(shè)f(x)的最小值為1,那么a的取值范圍為.

11.函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a.(1)假設(shè)a=2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值;(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上有最大值3,求實數(shù)a的值.題組四函數(shù)的最大(小)值在方程與不等式中的應(yīng)用12.假設(shè)?x∈0,12,都有不等式-x+a+1≥0成立,那么513.函數(shù)f(x)=-x2+4x+m,假設(shè)?x∈[0,1],f(x)=0,那么m的取值范圍是()A.[-4,+∞)B.[-3,+∞)C.[-3,0]D.[-4,0]14.(2021天津南開學(xué)校高一上期中)假設(shè)對任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立15.函數(shù)f(x)=x-1x+2,(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并證明;(2)假設(shè)不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)假設(shè)不等式f(x)>a在[3,5]上有解,求實數(shù)a的取值范圍.16.(2021安徽合肥八中高一上期中)二次函數(shù)f(x)滿足f(x)-f(x-1)=2x+1,且f(x)的圖象經(jīng)過點(2,-4).(1)求f(x)的解析式;(2)假設(shè)x∈[-3,2],不等式f(x)≤mx恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.能力提升練題組一求函數(shù)的最大(小)值1.(2021天津濱海高一上期末,)給定函數(shù)f(x)=x2,g(x)=x+2,?x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的較大者,記為M(x)=max{f(x),g(x)},那么M(x)的最小值為()2.(2021河北承德一中高一上月考,)函數(shù)f(x)=2x-x+1的最小值為()173.(多項選擇)(2021江蘇徐州六縣高一上期中,)函數(shù)y=11-x-x(x>1),A.最大值為-3B.最小值為1C.沒有最小值D.最小值為-34.(2021山西太原高一上期中,)假設(shè)函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+1|的最大值為m,最小值為n,那么m+n=.

5.(2021江西臨川一中高一上月考,)函數(shù)f(x)=x2+2ax-1,x∈[-1,1].(1)假設(shè)a=12,求函數(shù)f(x)的最值(2)假設(shè)a∈R,記函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求g(a)關(guān)于a的函數(shù)解析式.題組二函數(shù)最大(小)值的綜合應(yīng)用6.(2021河南洛陽一中高一上月考,)假設(shè)函數(shù)y=f(x)=x2-3x-4的定義域為[0,m],值域為-254,-4,那么A.(0,4]B.32,4C.7.()函數(shù)f(x)=-x3+2,x<0,-x+3,x≥0,g(x)=kx+5-2k(k>0),假設(shè)對任意的x1∈[-1,1],總存在x2∈[-1,1]使得f(xA.(0,2]B.0,8.(多項選擇)()函數(shù)f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),那么以下結(jié)論正確的選項是()A.?x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,那么a的取值范圍是(-∞,-3)B.?x∈[-2,2],f(x)>a,那么a的取值范圍是(-∞,-3)C.?x∈[0,3],g(x)=a,那么a的取值范圍是[-1,3]D.?x∈[-2,2],?t∈[0,3],f(x)=g(t)9.(多項選擇)(2021山東濟南高一上期末,)一般地,假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],值域為[ka,kb],那么稱[a,b]為f(x)的“k倍跟隨區(qū)間〞.特別地,假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],值域也為[a,b],那么稱[a,b]為f(x)的“跟隨區(qū)間〞.以下結(jié)論正確的選項是()A.假設(shè)[1,b]為f(x)=x2-2x+2的跟隨區(qū)間,那么b=3B.函數(shù)f(x)=2-3xC.假設(shè)函數(shù)f(x)=m-x+1存在跟隨區(qū)間,那么m∈D.二次函數(shù)f(x)=-12x2+x存在“310.(2021天津河西高一上期末,)設(shè)f(x)=(x-a)2,x≤0,x+1x+a11.(2021北京房山高一上期中,)定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x),如果存在函數(shù)g(x)=Ax+B(A,B為常數(shù)),使得f(x)≥g(x)對一切實數(shù)x都成立,那么稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù).(1)判斷函數(shù)g(x)=x是不是函數(shù)f(x)=2x2的一個承托函數(shù),并說明理由;(2)請寫出函數(shù)f(x)=|x|的一個承托函數(shù);(3)假設(shè)函數(shù)g(x)=2x-a為函數(shù)f(x)=ax2的一個承托函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.答案全解全析根底過關(guān)練1.C由題圖可知,此函數(shù)的最小值是f(-2),最大值是2.2.C因為y=2x2-2x-1的圖象開口向上,對稱軸為直線x=12所以在區(qū)間[-1,1]上,當(dāng)x=12時,函數(shù)取得最小值-32.應(yīng)選3.C當(dāng)x<1時,函數(shù)y=x+3單調(diào)遞增,有y<4,無最大值;當(dāng)x≥1時,函數(shù)y=-x+6單調(diào)遞減,在x=1處取得最大值5.所以該函數(shù)的最大值為5.4.Cx>2,那么x-2>0,y=4x-2+x=4≥24x當(dāng)且僅當(dāng)4x-2=x-2,即x∴函數(shù)的最小值是6.應(yīng)選C.5.解析(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).證明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=2x1=(2x=5(∵x1<x2,∴x1-x2<0,又x1,x2∈[0,+∞),∴(x1+1)(x2+1)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,9]上是增函數(shù),故函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,9]上的最大值為f(9)=2×9-39+1最小值為f(2)=2×2-32+16.解析(1)因為f(x)是一次函數(shù),所以設(shè)f(x)=ax+b(a≠0).由題中表格可得45a+所以y=f(x)=-3x+162.又y≥0,所以30≤x≤54,故所求函數(shù)關(guān)系式為y=f(x)=-3x+162,x∈[30,54].(2)由題意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860=-3(x-42)2+432,x∈[30,54].所以當(dāng)x=42時,Pmax=432,即當(dāng)銷售單價為42元時,能獲得最大的日銷售利潤.7.信息提?、僖慌牧峡梢越ǔ砷L為240米的圍墻;②用這批材料在一面靠墻的地方圍成一塊矩形的場地;③中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形.數(shù)學(xué)建模以建造矩形場地為背景構(gòu)建函數(shù)模型,利用根本不等式求解問題.解析設(shè)每個小矩形與墻垂直的一邊長為xm,其鄰邊長為ym,其中x>0,y>0,依題意可知4x+3y=240,那么0<x<60.故矩形場地的面積S=3xy=x(240-4x)=4x·(60-x)≤4×x+60當(dāng)且僅當(dāng)x=30時取等號,所以當(dāng)x=30時,矩形場地的面積最大,為3600m2.8.C由題意知a≠0,當(dāng)a>0時,函數(shù)y=ax+1在[1,2]上單調(diào)遞增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;當(dāng)a<0時,函數(shù)y=ax+1在[1,2]上單調(diào)遞減,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.綜上知,a=±2.9.B由題意可得3<-m+1解得-11<m<-7.應(yīng)選B.10.答案-7;(-∞,0]解析當(dāng)a=3時,f(x)=x2-6x+1在x∈[0,2]上單調(diào)遞減,∴f(x)min=f(2)=-7.由函數(shù)的解析式知f(0)=1,假設(shè)f(x)的最小值為1,那么f(x)在x∈[0,2]上單調(diào)遞增,而f(x)=x2-2ax+1的圖象開口向上,對稱軸為直線x=a,∴a≤0,即a的取值范圍是(-∞,0].11.解析(1)假設(shè)a=2,那么f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,該函數(shù)的圖象開口向下,圖象的對稱軸為直線x=2,∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞減,又f(0)=-1,f(3)=2,∴f(x)min=f(0)=-1.(2)易知函數(shù)f(x)的圖象開口向下,對稱軸為直線x=a,①當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,那么f(x)max=f(0)=1-a=3,解得a=-2;②當(dāng)0<a<1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,a]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[a,1]上單調(diào)遞減,那么f(x)max=f(a)=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,均不符合，舍去;③當(dāng)a≥1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,那么f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=3,解得a=3.綜上所述,a=-2或a=3.12.D設(shè)f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+1≥0對任意x∈0,12都成立,可得f(x)min≥0.因為f(x)在0,12上是減函數(shù),所以當(dāng)x∈0,12時,f(x)min=a+12,所以a+12≥0,即a≥-13.C∵函數(shù)f(x)=-x2+4x+m的圖象開口向下,對稱軸方程為x=2,∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,∴f(x)max=f(1)=3+m,f(x)min=f(0)=m,即函數(shù)f(x)的值域為[m,m+3].由方程f(x)=0有解,知0∈[m,m+3],因此m≤0,且m+3≥0,解得-3≤m≤0.應(yīng)選C.14.答案1解析∵x>0,∴xx2+3x+1∴x2+3x+1x≥1a,∴1∵x>0,∴x+1x+3≥2x·1x+3=5(當(dāng)且僅當(dāng)∴1a≤5,∴a≥115.解析(1)f(x)在[3,5]上為增函數(shù).證明:任取x1,x2∈[3,5],且x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=x1-1x1∵3≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在[3,5]上為增函數(shù).(2)由不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,知f(x)min>a.由(1)知f(x)在[3,5]上為增函數(shù),∴f(x)min=f(3)=25,∴25>a,即a<故實數(shù)a的取值范圍是-∞,2(3)由不等式f(x)>a在[3,5]上有解,知f(x)max>a.由(1)知f(x)在[3,5]上為增函數(shù),∴f(x)max=f(5)=47,∴47>a,即a<故實數(shù)a的取值范圍是-∞,416.解析(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),那么f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+(-2a+b)x+a-b+c,所以f(x)-f(x-1)=2ax-a+b,又因為f(x)-f(x-1)=2x+1,所以2a=2所以f(x)=x2+2x+c.因為f(x)的圖象過點(2,-4),所以-4=22+2×2+c,解得c=-12,所以f(x)=x2+2x-12.(2)由題意知,x2+2x-12≤mx,x∈[-3,2],所以x2+(2-m)x-12≤0,x∈[-3,2].記g(x)=x2+(2-m)x-12,x∈[-3,2].那么g(x)max≤0,由g(x)的圖象開口向上,知函數(shù)g(x)的最大值是g(2)或g(-3),所以g(2解得-2≤m≤3,所以m∈[-2,3].能力提升練1.B在同一直角坐標(biāo)系中,作出函數(shù)f(x)=x2,g(x)=x+2的圖象,由M(x)的定義知,函數(shù)M(x)的圖象如圖中實線局部所示.由圖象知,當(dāng)x=-1時,M(x)取得最小值1.應(yīng)選B.2.A設(shè)t=x+1(t≥0),那么x=t2-1(t≥0),所以g(t)=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥0).易知函數(shù)g(t)=2t2-t-2在0,14上單調(diào)遞減,在14,+∞上單調(diào)遞增,∴f(x)min=g(t)min=3.AC∵x>1,∴y=11-x-x=--21x當(dāng)且僅當(dāng)1x-1=x-1,即x∴函數(shù)的最大值為-3,無最小值,應(yīng)選AC.4.答案0解析當(dāng)x<-1時,f(x)=-x+2+x+1=3,當(dāng)-1≤x≤2時,f(x)=-x+2-x-1=-2x+1,此時f(x)min=f(2)=-3,f(x)max=f(-1)=3,當(dāng)x>2時,f(x)=x-2-x-1=-3.綜上,f(x)的最大值m=3,最小值n=-3,所以m+n=0,故答案為0.5.解析(1)當(dāng)a=12時,f(x)=x2+x-1,x∈[-1,1],其圖象開口向上,且對稱軸方程為x=-1∴函數(shù)y=f(x)在-1,-12上單調(diào)遞減,∴f(x)的最小值為f-12=-又f(-1)=-1,f(1)=1,∴f(x)的最大值為f(1)=1,最小值為f-12=-(2)函數(shù)f(x)=x2+2ax-1的圖象開口向上,且對稱軸方程為x=-a,當(dāng)-a≤-1,即a≥1時,y=f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,∴f(x)min=f(-1)=-2a;當(dāng)-1<-a<1,即-1<a<1時,y=f(x)在[-1,-a]上單調(diào)遞減,在[-a,1]上單調(diào)遞增,∴f(x)min=f(-a)=-a2-1;當(dāng)-a≥1,即a≤-1時,y=f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,∴f(x)min=f(1)=2a.綜上可得,g(a)=-6.C∵y=f(x)=x2-3x-4=x-322-254,∴f32=-25由及二次函數(shù)的圖象可知,m的值最小為32,最大為3,即m的取值范圍是32,37.A在函數(shù)f(x)中,當(dāng)x∈[-1,0)時,f(x)是減函數(shù),因此,f(x)∈(2,3];當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)也是減函數(shù),因此,f(x)∈[2,3].∴當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)∈[2,3],即f(x)max=3.在函數(shù)g(x)中,由k>0知,g(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,∴g(x)max=g(1)=k+5-2k=5-k.假設(shè)?x1∈[-1,1],總存在x2∈[-1,1]使得f(x1)≤g(x2),那么3≤5-k,解得k≤2,又k>0,∴0<k≤2.應(yīng)選A.8.AC在A中,因為f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是減函數(shù),所以當(dāng)x=2時,函數(shù)取得最小值,最小值為-3,因此a<-3,A正確;在B中,因為f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是減函數(shù),所以當(dāng)x=-2時,函數(shù)取得最大值,最大值為5,因此a<5,B錯誤;在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x∈[0,3]),∴當(dāng)x=1時,函數(shù)取得最小值,最小值為-1,當(dāng)x=3時,函數(shù)取得最大值,最大值為3,故函數(shù)的值域為[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正確;在D中,?x∈[-2,2],?t∈[0,3],f(x)=g(t)等價于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],故D錯誤.應(yīng)選AC.解題模板不等式恒成立(有解)等問題的求解,常將問題轉(zhuǎn)化為最大(小)值問題,記住以下轉(zhuǎn)化有利于解題:①f(x)>a恒成立?f(x)min>a;②f(x)<a恒成立?f(x)max<a;③f(x)>a有解?f(x)max>a;④f(x)<a有解?f(x)min<a.9.BCD對于A,因為f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[1,b]上為增函數(shù),故其值域為[1,b2-2b+2],假設(shè)[1,b]為f(x)=x2-2x+2的跟隨區(qū)間,那么b2-2b+2=b,解得b=1或b=2,因為b>1,所以b=2.故A錯誤.對于B,因為函數(shù)f(x)=2-3x在區(qū)間(-∞,0)與(0,+∞)上均為增函數(shù),所以假設(shè)f(x)=2-3x存在跟隨區(qū)間[a,b],那么有a=2-3a,b=2-3因為x2-2x+3=0無解,所以函數(shù)f(x)=2-3x不存在跟隨區(qū)間.故B正確對于C,因為f(x)=m-x+1為減函數(shù),所以假設(shè)函數(shù)f(x)=m-x+1