最優(yōu)化問(wèn)題舉例

3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1精選ppt知識(shí)回顧一、如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？f(x)為增函數(shù)f(x)為減函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在

某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，二、如何求函數(shù)的極值與最值？求函數(shù)極值的一般步驟（1）確定定義域（2）求導(dǎo)數(shù)f’(x)（3）求f’(x)=0的根（4）列表（5）判斷求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值；(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b）比較,從而確定函數(shù)的最值。2精選ppt知識(shí)背景：生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題.通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大〔小〕值的有力工具，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題.3精選ppt例1：海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)

學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖3.4-1所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128cm2，上、下兩邊各空2cm，左、右兩邊各空1cm，如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最小？圖3.4-1

分析：已知版心的面積，你能否設(shè)計(jì)出版心的高，求出版心的寬，從而列出海報(bào)四周的面積來(lái)？4精選ppt

你還有其他解法嗎？例如用基本不等式行不？因此，x=16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16cm，寬為8cm時(shí)，能使四周空白面積最小。5精選ppt2、在實(shí)際應(yīng)用題目中，若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0

，則不需與端點(diǎn)比較，f(x0)即是所求的最大值或最小值.說(shuō)明1、設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式；(所說(shuō)區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間)確定出定義域；所得結(jié)果符合問(wèn)題的實(shí)際意義。6精選ppt練習(xí)1：將一段長(zhǎng)為12cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，那么這個(gè)矩形面積的最大值為多少？解：結(jié)論：周長(zhǎng)為定值的矩形中，正方形的面積最大。7精選ppt練習(xí)2、一條長(zhǎng)為l的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個(gè)正方形，要使兩個(gè)正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別是多少？那么兩個(gè)正方形面積和為解：設(shè)兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為x,l-x,其中0<x<l由問(wèn)題的實(shí)際意義可知：8精選ppt問(wèn)題2:

飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)有影響嗎?你是否注意過(guò),市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎?是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤(rùn)越大?9精選ppt規(guī)格（L）21.250.6價(jià)格（元）5.14.52.5例2：飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，假設(shè)它們的價(jià)格如下表所示，那么〔1〕對(duì)消費(fèi)者而言，選擇哪一種更合算呢？〔2〕對(duì)制造商而言，哪一種的利潤(rùn)更大？10精選ppt某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造本錢是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，(１)瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？(２〕瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最?。縭(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+減函數(shù)↘增函數(shù)↗-1.07p∴每瓶飲料的利潤(rùn)：背景知識(shí)解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是11精選ppt當(dāng)半徑r＞２時(shí)，f’(r)>0它表示f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑r＜２時(shí)，f’(r)<0它表示f(r)單調(diào)遞減，

即半徑越大，利潤(rùn)越低．1.半徑為２cm時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的本錢，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值２．半徑為６cm時(shí)，利潤(rùn)最大12精選ppt13精選ppt問(wèn)題3、磁盤的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題(1)你知道計(jì)算機(jī)是如何存儲(chǔ)、檢索信息的嗎？(2)你知道磁盤的結(jié)構(gòu)嗎？(3)如何使一個(gè)圓環(huán)狀的磁盤存儲(chǔ)盡可能多的信息？14精選pptRr例3：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)行區(qū)域。是不是r越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大？(2)r為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量〔最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息〕？15精選ppt解：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，所以磁道最多可達(dá)又由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大的存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可到達(dá)所以，磁道總存儲(chǔ)量〔1〕它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大.16精選ppt(2)為求的最大值，計(jì)算令解得因此，當(dāng)時(shí)，磁道具有最大的存儲(chǔ)量，最大存儲(chǔ)量為17精選ppt由上述例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，解決優(yōu)化問(wèn)題的根本思路是：優(yōu)化問(wèn)題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的答案上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。18精選ppt練習(xí)1：在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？19精選ppt解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x,那么箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當(dāng)x過(guò)小(接近0)或過(guò)大(接近60)時(shí),箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大,最大容積是16000cm3.20精選ppt練習(xí)2:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時(shí),如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?Rh解設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為R.那么外表積為S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),即h=2R.可以判斷S(R)只有一個(gè)極值點(diǎn),且是最小值點(diǎn).答罐高與底的直徑相等時(shí),所用材料最省.21精選pptxy練習(xí)3如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD,求這個(gè)矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0<x<2),那么A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=