2022年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

隨州市2022年初中畢業(yè)升學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題

1.2022的倒數(shù)是（）

A.2022B.-2022C.」一D.

2022

1

~2022

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義作答即可.

【詳解】2022的倒數(shù)是」一，

2022

故選：C.

【點睛】本題考查了倒數(shù)的概念，即乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，牢記倒數(shù)的概念是解題

的關(guān)鍵.

2.如圖，直線/1/〃2，直線/與4，，2相交，若圖中Nl=60°則N2為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯角相等即可得出答案.

【詳解】'：h//h,

.?.Nl=N2=60°,

故選：D.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同位角相等；

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.小明同學(xué)連續(xù)5次測驗的成績分別為：97,97,99,101,106（單位：分），則這組數(shù)

據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)分別為（）

A.97和99B.97和100C.99和100D.97和

101

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)與平均數(shù)的概念及計算公式求解即可

【詳解】解：小明同學(xué)連續(xù)5次測驗的成績分別為：97,97,99,101,106（單位：分）,

這組成績的眾數(shù)是97；平均數(shù)是（x（97+97+99+101+106）=100,

故選：B.

【點睛】本題考查統(tǒng)計基礎(chǔ)知識，涉及眾數(shù)及平均數(shù)的概念與計算公式，熟練掌握相關(guān)定

義及計算公式是解決問題的關(guān)鍵.

4.如圖是一個放在水平桌面上的半球體，該幾何體的三視圖中完全相同的是（）

A.主視圖和左視圖B.主視圖和俯視圖

C.左視圖和俯視圖D.三個視圖均相同

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖的形成，從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形，

注意所有的看到的或看不到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中，看得見的用實線，看不見的用虛

線，虛實重合用實線.

【詳解】解：從正面和左面看，得到的平面圖形均是半圓，而從上面看是一個圓，因此該

幾何體主視圖與左視圖一致，

故選：A.

【點睛】本題考查了三視圖的知識，準(zhǔn)確把握從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得

到的平面圖形是解決問題的關(guān)鍵.

5.我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中記載：“良馬日行二百四十里，鴛馬日行一百五

十里.弩馬先行一十二日，問良馬幾何追及之.”意思是：“跑得快的馬每天走240里，跑

得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？”若設(shè)快馬x天可以追

上慢馬，則可列方程為（）

A.150（12+%）=240%B.240（12+%）=150x

C.150（x-12）=240xD.240（x72）=150x

【答案】A

【解析】

【分析】直接根據(jù)相遇時所走路程相等列出一元一次方程即可得出答案.

【詳解】設(shè)快馬X天可以追上慢馬，由題意可知：150（12+x）=240x.

故選：A.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出等量關(guān)系，

正確列出一元一次方程.

6.2022年6月5日10時44分07秒，神舟14號飛船成功發(fā)射，將陳冬、劉洋、蔡旭哲三

位宇航員送入了中國空間站.已知中國空間站繞地球運行的速度約為7.7xl（）3m/s,則中

國空間站繞地球運行2xl（）2s走過的路程（m）用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A15.4xl05B.1.54xl06C.15.4xl06D.

1.54xl07

【答案】B

【解析】

【分析】先求出路程，再用科學(xué)記數(shù)法表示為“X10”的形式.

【詳解】解：路程=7.7x103x2x102=15.4x105=1.54xl（）6m.

故選：B.

【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，表示時關(guān)鍵要正確確定“的值以及〃的值.科

學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIO"的形式，其中間＜10,〃為整數(shù).

7.已知張強家、體育場、文具店在同一直線上.下面的圖象反映的過程是：張強從家跑步

去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店去買筆，然后散步走回家.圖中x表示時

間，y表示張強離家的距離.則下列結(jié)論不正確的是（）

A.張強從家到體育場用了15minB.體育場離文具店1.5km

C.張強在文具店停留了20minD,張強從文具店回家用了35min

【答案】B

【解析】

【分析】利用圖象信息解決問題即可.

【詳解】解：由圖可知：

A.張強從家到體育場用了15min,正確，不符合題意；

B.體育場離文具店的距離為：2.5-L5=lkm,故選項錯誤，符合題意；

C.張強文具店停留了：65-45=20min,正確，不符合題意；

D.張強從文具店回家用了100-65=35min,正確，符合題意，

故選：B.

【點睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問

題.

8.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板A8C。中，BD為對角

線，E,F分別為BC,CQ的中點，APJLEb分別交84，EF于。，P兩點，M,N分別為

BO,0c的中點，連接AP,NF,沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板，則在剪開之前，

關(guān)于該圖形，下列說法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②四邊形MPE8是菱形；

③四邊形的面積占正方形ABCQ面積的正確的有（）

A.只有①B.①0C.①③D.②③

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和中位線定理證明圖中所有三角形是等腰直角三角形，再證

明四邊形是平行四邊形但不是菱形，最后再證明四邊形PF0M的面積占正方形

ABCO面積的L即可.

4

【詳解】解：???四邊形ABC。是正方形，

,ZABO=NADB=ZCBD=N8OC=45°,NBAD=NBCQ=90。，

???△A3。、△BCQ是等腰直角三角形，

■:APLEF,

：.NAPF=N4PE=900,

VE,尸分別為3C,8的中點,

???EF是△BCD的中位線，CE=；BC,CF=；CD,

：.CE=CF,

VZC=90°,

...△CEF是等腰直角三角形,

：.EF//BD,EF=^BD,

：.NAPE=/AO8=90。，NAPF=/AOQ=90。，

...△ABO、AA。。是等腰直角三角形，

：.AO=BO,AO=DO,

：.BO=DO,

"：M,N分別為BO,。。的中點，

：.OM=BM=^BO,ON=ND=*DO,

：.OM=BM=ON=ND,

'：NBAO=ZDAO=45°,

...由正方形是軸對稱圖形，則A、P、C三點共線，PE=PF=gEF=ON=BM=OM,

連接PC,如圖，

...Nf?是AC。。的中位線，

:.NFUAC,NF=』OC=三OD=ON=ND,

：./CW尸=180°—NCOD=90。,

：.ZNOP=ZOPF=NONF=90。,

四邊形FNOP是矩形，

四邊形FNOP是正方形，

:.NF=ON=ND,

.?.△ON戶是等腰直角三角形，

圖中的三角形都是等腰直角三角形；

故①正確，

■：PE//BM,PE=BM,

，四邊形MPE8是平行四邊形,

,：BE=^BC,BM=|OB,

在中，BOOB,

四邊形MPEB不是菱形；

故②錯誤，

,:PC=PO=PF=OM,/MOP=/CP尸=90°,

：./\MOP^/\CPF(SAS),

四邊形四邊形PFDO

SPF0M=S+S4MOP

=S四邊形PFDO+$△

CPF

-q

一°ACOD

=WS正方形ABC。'

故③正確，

故選：c

【點睛】此題考查了七巧板，正方形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的

中位線定理、三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確的識

別圖形是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知點8,D,C在同一直線的水平，在點C處測得建筑物A8的頂端A的仰角

為a,在點。處測得建筑物A8的頂端A的仰角為人CD=a,則建筑物48的高度為

()

aa

卜?~B,tan/?-tancr

tancr-tanp

atanatanpatanatanp

tana-tan/?'tan/一tana

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)A8=x,利用正切值表示出8C和8。的長，CD=BC-BD,從而列出等式，解得

X即可.

【詳解】設(shè)AB=X,由題意知，NACB=a,NADB=仇

：.BD=^~,BC=上-

tan°tana

■:CD=BC-BD,

xx

----------=ci,

,tanatan0

_atanatan/?atanatan(3

..x=,即AB=

tanp-tanatan/?-tana

故選：D.

【點睛】本題考查了解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，已知開口向下的拋物線+c與X軸交于點（-1,0）對稱軸為直線

x=l.則下列結(jié)論：①。歷>0；②2a+b=0；③函數(shù)^="2+6:+。的最大值為

Ta；④若關(guān)于X的方數(shù)依2+法+c=a+i無實數(shù)根，則-：<a<0.正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

b

【分析】由圖象可知，圖像開口向下，a<0,對稱軸為k1,故一一=1,故》>0,且

2a

b=-2a,則2a+0=0圖象與y軸的交點為正半軸，則c>0,由此可知而c<0,故①錯

誤，由圖象可知當(dāng)X=1時，函數(shù)取最大值，將戶1,代入,=辦2+匕x+c,中得：

y=a+b+c,計算出函數(shù)圖象與x軸的另一交點為（3,0）設(shè)函數(shù)解析式為：

7=a（x--々），將交點坐標(biāo)代入得化簡得：y=ax2-2ax-3a,將41,

代入可得：y=a-2a-3a=-4a,故函數(shù)的最大值為-4m、ax2+bx+c=a+l^^

為：ar?+〃x+c—々―1=。要使方程無實數(shù)根，則。2-4。（0一。-1）<。，將c=-3〃，

b=-2a,代入得：20a2+4。<0,因為a<0,則20。+4>0,則。>-（,綜上所述

-1<a<0,結(jié)合以上結(jié)論可判斷正確的項.

【詳解】解：由圖象可知，圖像開口向下，a<0,對稱軸為廣1,故-2=1,故。>0,

2a

且b=—2a,則2a+b=0故②正確，

?.?圖象與y軸的交點為正半軸，

.*.c>0,則abcVO,故①錯誤，

由圖象可知當(dāng)戶1時，函數(shù)取最大值，

將代入y二奴?+〃工+。，中得：y=a+h+c,

由圖象可知函數(shù)與x軸交點為(-1,0),對稱軸為將尸1,故函數(shù)圖象與x軸的另一交點為

(3,0),

設(shè)函數(shù)解析式為：y=a(x-xj(x-4)，

將交點坐標(biāo)代入得：y=?(x+l)(x-3),

故化簡得：y=ax1-2ax-3a,

將41,代入可得：y=a-2a-3a=-4af故函數(shù)的最大值為-4m故③正確，

ax2+Z?x+c=a+l變形為：ar?+法+。一。一i=。要使方程無實數(shù)根,則

力~—4a(c—。—1)<0,將c=-3a,Z?=—2z,代入得：20Q2+4Q<0，因為〃V0,則

20?+4>0,則綜上所述—(<a<0,故④正確，

則②③④正確，

故選C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的一般式，二次函數(shù)的交點式，二次函數(shù)的最值，對稱軸，以

及交點坐標(biāo)掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.計算：3x(T)+|-3|=—.

【答案】0

【解析】

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘法運算、絕對值運算和有理數(shù)加法運算法則分別計算后求解即可

【詳解】解:3x(-1)+1-3|

=-3+3

=0,

故答案為：0.

【點睛】本題考查有理數(shù)的運算，涉及到加法運算、乘法運算及絕對值運算，熟練掌握相

關(guān)運算法則是解決問題的關(guān)鍵.

12.如圖，點A,B,C都在。O上，ZACB=60°,則NAOB的度數(shù)為.

【答案】120°

【解析】

【分析】由/ACB=60。，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對

的圓心角的一半，即可求得/AOB的度數(shù).

【詳解】解：：點A、B、C都在。。上，且點C在弦AB所對的優(yōu)弧上，NACB=60°,

AZAOB=2ZACB=2X60°=120°.

故答案為120°.

【點睛】此題考查了圓周角定理.注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于

這條弧所對的圓心角的一半定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

x+2y=4

13.已知二元一次方程組〈°,廣，則x-y的值為____.

.2x+y=5一

【答案】1

【解析】

【分析】直接由②-①即可得出答案.

【詳解】原方程組為《八?

2x+y=5?

由②-①得x-y=l.

故答案為：1.

【點睛】本題考查二元一次方程組的特殊解法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會觀察，并用整體法求

解.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+l與x軸，）軸分別交于點A,B,與反比例函

數(shù)＞=人的圖象在第一象限交于點C,若AB=BC,則k的值為.

X

【解析】

【分析】過點C作C”_Lx軸，垂足為“，證明△OABs^/MC,再求出點C坐標(biāo)即可解決

問題.

【詳解】解：如圖，過點C作軸，垂足為”，

?直線y=x+l與X軸，y軸分別交于點A,B,

.,.將y=0代入y=X+1,得x=_],將x=0代入y=x+l,得y=l,

；.A(-1,0),B(0,1),

；.OA=1，OB=l,

VZAOB=ZAHC=90°,ZBAO=ZCAH,

：./\OAB^/\HAC,

.AOOBAB

；OA=1，OB=\,AB=BC,

.111

*'AW-C77-2

：.AH=2,CH=2,

OH=l,

;點C在第一象限，

C(1,2),

?.?點C在y=V上，

x

k=1x2=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，本題的突破點是求出點C的坐標(biāo).

15.已知機為正整數(shù)，若J189/”是整數(shù),則根據(jù)89，”=J3x3x3x7加=3J3x7，〃可

知川有最小值3x7=21.設(shè)〃為正整數(shù)，若則n的最小值為

，最大值為.

【答案】①.375

【解析】

J迎是大于1的整數(shù)，先求出〃的值可以為3、12、75,

【分析】根據(jù)〃為正整數(shù),

Vn

—是大于1的整數(shù),

n

?.?“為正整數(shù)

〃的值可以為3、12、75,

”的最小值是3,最大值是75.

故答案為:3；75.

【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算，理解無理數(shù)的估算方法是解答關(guān)鍵.

16.如圖1,在矩形ABC。中，AB=S,AD=6,E,尸分別為48,的中點，連接

EF.如圖2,將AAE尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角6(0<6<90°),使砂，AD,連接BE并

延長交OF于點H,則/84。的度數(shù)為,?！钡拈L為______.

圖1圖2

【答案】①.90。##90度②,%5##芻石

55

【解析】

【分析】設(shè)EF交AD于點仞，BH交AD于點N,先證明△AOFS/VJBE,可得

NADF=NABE,可得NBHD=/B4D=90°；然后過點E作EGLAB于點G,可得四邊形

AMEG是矩形，從而得到EG=4M,AG=ME,NABE=/MEN,然后求出

1?AF3

EG=AM=—再利用銳角三角函數(shù)可得tanNAM=—=一，從而得到

5fAE4

AM16進而得至|JBG=A8—AG=8—g=m

AG=ME=可得到

tanZAEF5

tanAMEN=tanZ.ABE=,從而得到MN=9，進而得到￡W=2,即可求解.

BG25

【詳解】解：如圖，設(shè)EF交AO于點M,BH交AD于點、N,

根據(jù)題意得：NBAE=NDAF,ZEAF=9Q°,AF=—AD=3,AE=—AB=4,

22

.AE3

?.-----=-f

AF4

在矩形ABC。中，AB=8,AD=6,ZBAD=90°,

.AD3

??一，

AB4

/XADF^/XABE,

：.ZADF=ZABEf

/ANB=/DNH,

：.ZBHD=ZBAD=90°；

如圖，過點E作EG，AB于點G,

AZAGE=ZAME=ZBAD=90°,

???四邊形AMEG是矩形，

；?EG=AM,AG=ME,ME//AB,

：./ABE=/MEN,

在R/AAEF中,EF=y]AE2+AF2=5>

….AF3

??tan^-A.EF----=一,

AE4

：

?S△/AteFrF^-2AMEF^-2AE-AF,

：.EG=AM=—

5

AM16

AG=ME=

tanZAEFT

...BG=AB-AG=S——=一，

55

EG1

tanZMEN=tanZABE=—=-,

BG2

.MN_To

即MN=—,

"ME~25

DN^AD-AM-MN=2,

,：ZADF=ZABE,

tanZADF=tanNABE=—,

2

即DH=2HN,

VDH2+HN2=DH2+^DH^=DN2=4，

解得：。”=述或—父5（舍去）.

55

故答案為：900,

5

【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的

判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

14

17.解分式方程：一=--

xx+3

【答案】X=1

【解析】

【分析】先去分母，再移項，合并同類項，未知數(shù)系數(shù)化1,最后檢驗方程的根即可.

【詳解】解：去分母得

x+3=4x,

移項并合并同類項得

3x=3,

解得x=l,

經(jīng)檢驗，X=1是原方程的解，

...原分式方程的解是X=1.

【點睛】本題主要考查了分式方程解法，理解分式方程的解法是解答關(guān)鍵.注意解分式方

程一定要檢驗方程的根.

18.已知關(guān)于x的一元二次方程f+（2Z+l）x+公+1=0有兩個不等實數(shù)根七,X-

（1）求上的取值范圍；

（2）若玉々=5,求k的值.

3

【答案】（1）k>-

4

（2）2

【解析】

【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式大于0建立不等式，解不等式即可得；

（2）先利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得%入2=二+1=5,再結(jié)合（1）的結(jié)論即

可得.

【小問I詳解】

解：；關(guān)于》的一元二次方程9+（24+1）%+左2+1=。有兩個不等實數(shù)根，

此方程根的判別式A=（2左+1）2-4（k2+1）>0,

3

解得人>：.

4

【小問2詳解】

2

解：由題意得：x1x2=Z：+1=5,

解得％=—2或女=2,

3

由（1）已得：k>?—,

4

則人的值為2.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次

方程的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

19.如圖，在平行四邊形ABC。中，點E,尸分別在邊48,C。上，且四邊形BE。尸為正方

形.

(1)求證AE=C尸；

(2)已知平行四邊形ABCD的面積為20,43=5.求CE的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)CF=1

【解析】

【分析】(1)直接根據(jù)已知條件證明RrAAOE和尸全等即可得出答案.

(2)由平行四邊形面積公式求出。石=4,然后即可得出答案.

【小問1詳解】

???四邊形￡)￡BF是正方形，ABCD是平行四邊形，

:.DE=BE=BF=DF，AD=BC,ZDEB=NBFD=9Q。,

在R/A4DE和Rt\CBF中，

AD=CB

'DE=BF'

：.RtMDE合RtACBF(HL),

■,■AE=CFi

【小問2詳解】

由題意可知：§平行四邊形八BCD=A5,DE=20,

-AB=5,

..DE=4，

:.BE=DE=4,A￡=l，

由(1)得CF=AE=1.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并能靈活運用.

20.為落實國家“雙減”政策，立德中學(xué)在課后托管時間里開展了“音樂社團、體育社

團、文學(xué)社團，美術(shù)社團”活動.該校從全校600名學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生進行“你

最喜歡哪一種社團活動(每人必選且只選一種)”的問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如

圖所不的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

根據(jù)圖中信息，解答下列問題

(1)參加問卷調(diào)查的學(xué)生共有人；

(2)條形統(tǒng)計圖中m值為,扇形統(tǒng)計圖中a的度數(shù)為；

(3)根據(jù)調(diào)查結(jié)果，可估計該校600名學(xué)生中最喜歡“音樂社團”的約有人；

(4)現(xiàn)從“文學(xué)社團”里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機選取兩名參加演講比

賽，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率.

【答案】(1)60(2)11,90°

、1

(3)100(4)-

6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)B：體育社團的人數(shù)和人數(shù)占比即可求出參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)；

(2)根據(jù)(1)所求總?cè)藬?shù)即可求出機；用360度乘以C：文學(xué)社團的人數(shù)占比即可求出

a的度數(shù)；

(3)用600乘以樣本中最喜歡“音樂社團”的人數(shù)占比即可得到答案；

(4)畫樹狀圖或列表先得到所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，然后找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后

依據(jù)概率計算公式求解即可.

【小問1詳解】

解：24+40%=60(人)，

參加問卷調(diào)查的學(xué)生共有60人，

故答案為:60；

【小問2詳解】

解：由題意得：加=60—10—24—15=11,a=360°x—=90°,

60

故答案為：11;90°；

【小問3詳解】

解：600x—=100(人)，

60

，估計該校600名學(xué)生中最喜歡“音樂社團”的約有100人，

故答案為：100;

【小問4詳解】

解：設(shè)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別用A,B,C,。表示，根據(jù)題意可畫樹狀圖或列表如

下：

ABCD

/N/\/\/\

BCDACDABDABC

第2人

ABCD

第1人

AABACAD

BBABCBD

CCACBCD

DDADBDC

由上圖或上表可知，共有12種等可能的結(jié)果，符合條件的結(jié)果有2種，故恰好選中甲、乙

兩名同學(xué)的概率為尸=2=L.

126

【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息相關(guān)聯(lián)，用樣本估計總體，樹狀圖

或列表法求解概率等等，正確讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，己知。為。。上一點，點C在直徑BA的延長線上，8E與。O相切，交CD的

延長線于點E,且BE=DE.

(1)判斷與OO的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若AC=4,sinC――,

3

①求。0的半徑；

②求8。的長.

【答案】(1)CO與。0相切，理由見解析

(2)①。。的半徑為2；②8。=勺&

3

【解析】

【分析】(1)連接0。，根據(jù)06=0。，可得NOBD=NODB,再由BE=DE，可得

ZEBD=ZEDB，然后根據(jù)BE與。。相切可得NED3+NOD3=90°,即可求解；

(2)①設(shè)O￡)=OA=〃，根據(jù)sinC=——,即可求解；②由①得：0c=6,0D=2,

OC3

48=4,求出CO=40，證明ACWSACDB,可得四=如=也，再由勾股定

BDCD2

理，即可求解.

【小問1詳解】

解：CO與。。相切，理由如下：

連接。￡>,

?/OB=OD

：./OBD=/ODB

BE=DE

；?ZEBD=ZEDB

又與。。相切

ABELAB,即N￡BA=90°

/.NEB。+NOB。=90°

Z.FDB+ZODB=90°,即ZODE=90°,

/.CDYOD

.?.CD與。。相切；

小問2詳解】

解：①設(shè)

'：CD±OD

???NCDO=90°

.-.sinC^=i

OC3

AC=4,

r1

——=一，解得r=2

r+43

故。。的半徑為2；

②由①得：0C=6,0D=2,48=4,

在RtbCOD中，CD=yJo^-OD1-762-22=472

為直徑

，ZBDO+ZADO=90°

VZADC+ZADO=90°

:.ZADC=4BDO

'：/OBD=/ODB

ZADC=NOBD

又?:zc=zc

???ACADs^CDB

.ADAC_4_V2

"BD-CD_4V2-V

設(shè)AO=0x，則33=2x,

由勾股定理得AD2+BD2=AB2)即+(2x)2=

解得x=2區(qū)（負(fù)值舍去）

3

?n_o_4瓜

,?BDD=2x=---

3

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理，圓周角定理等知

識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵，是中考常見題型.

22.2022年的冬奧會在北京舉行，其中冬奧會古祥物“冰墩墩”深受人們喜愛，多地出現(xiàn)

了“一墩難求”的場面，某紀(jì)念品商店在開始售賣當(dāng)天提供150個“冰墩墩”后很快就被

搶購一空.該店決定讓當(dāng)天未購買到的顧客可通過預(yù)約在第二天優(yōu)先購買，并且從第二天

起，每天比前一天多供應(yīng)機個（機為正整數(shù)）經(jīng)過連續(xù)15天的銷售統(tǒng)計，得到第x天

（1<X<15,且X為正整數(shù)）的供應(yīng)量/（單位：個）和需求量乂（單位：個）的部分

數(shù)據(jù)如下表，其中需求量為與X滿足某二次函數(shù)關(guān)系.（假設(shè)當(dāng)天預(yù)約的顧客第二天都會

購買，當(dāng)天的需求量不包括前一天的預(yù)約數(shù)）

第X天1261115

供應(yīng)量弘

150150+m150+5m150+10m150+14m

（個）

需求量y2

220229245220164

（個）

（1）直接寫出5與X和力與X的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出X的取值范圍）

（2）已知從第10天開始，有需求的顧客都不需要預(yù)約就能購買到（即前9天的總需求量

超過總供應(yīng)量，前10天的總需求量不超過總供應(yīng)量），求，"的值；（參考數(shù)據(jù)：前9天的

總需求量為2136個）

（3）在第（2）問機取最小值的條件下，若每個“冰墩墩”售價為100元，求第4天與第

12天的銷售額.

2

【答案】（1）y]=mx+\50-m,y2=-（x-6）+245

（2），”的值為20或21

（3）第4天的銷售額為21000元，第12天的銷售額為20900元

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意“從第二天起，每天比前一天多供應(yīng)，"個為正整數(shù)）經(jīng)過連續(xù)

15天的銷售統(tǒng)計，得到第x天（1WXW15,且x為正整數(shù)）的供應(yīng)量,”得到X與x的

函數(shù)關(guān)系式；%與x滿足某二次函數(shù)關(guān)系，設(shè)%=歐2+反+C，利用表格，用待定系數(shù)

法求得當(dāng)與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）用含機的式子表示前9天的總供應(yīng)量和前10天的總供應(yīng)量，根據(jù)“前9天的總需求

量超過總供應(yīng)量，前10天的總需求量不超過總供應(yīng)量”列出不等式，求解即可；

（3）在（2）的條件下，，”的最小值為20,代入（1）中y與x和為與x的函數(shù)關(guān)系式求

得第4天的銷售量和第12天的銷售量，即可求得銷售額.

【小問1詳解】

解：由題意可知，yt=150+w（x-l）,

即X=+150—機，

%與x滿足某二次函數(shù)關(guān)系，=ax2+bx+c,

220-a+b+c

由表格可知，〈229=4a+2b+c,解得：＜b=n,

245=36a+6b+cc=209

即以=-/+12%+209=-（x-6『+245.

【小問2詳解】

前9天的總供應(yīng)量為：150+（150+加）+（150+2根）+…+（150+8帆）=1350+36加，

前10天的總供應(yīng)量為：1350+36加+（150+9帆）=1500+45加，

第10天的需求量與第2天需求量相同，為229個，

故前10天的總需求量為；2136+229=2365（個），

[1350+36/7?<2136

依題意可得《，

[1500+45心2365

25

解得19-W機<21—,

96

因為為正整數(shù)，故小的值為20或21.

【小問3詳解】

在（2）的條件下，機的最小值為20,

第4天的銷售量即為供應(yīng)量：乂=（4—1）x20+150=210（個），

故第4天的銷售額為：100x210=21000（元），

第12天的銷售量即需求量.必=—（12—6）2+245=209（個），

故第12天的銷售額為：100x209=20900（元），

答：第4天的銷售額為21000元，第12天的銷售額為20900元.

【點睛】本題考查關(guān)于銷售的實際問題，是一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合問題.解題的關(guān)鍵

在于正確理解題中的相等和不等關(guān)系.

23.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個里程

碑.在該書的第2幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，

利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中.

(1)我們在學(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出

的代數(shù)公式，(下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對應(yīng)公式的序號)

公式①：(a+b+c^d=ad+bd+cd

公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

公式③：(。一匕)2=/一2。人+/

公式④：(?+h)2=a~+2ab+h2

圖1對應(yīng)公式,圖2對應(yīng)公式,圖3對應(yīng)公式,圖4對應(yīng)公式

(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式(。+。)(。-8)=/-后的

方法，如圖5,請寫出證明過程；(已知圖中各四邊形均為矩形)

圖5

(3)如圖6,在等腰直角三角形ABC中，NB4C=90°,。為BC的中點，E為邊AC上

任意一點(不與端點重合)，過點E作EG_L6C于點G,作即_LA￡＞尸點”過點B作

BF//AC交EG的延長線于點凡記aBFG與△(?￡＜；的面積之和為5,△A8。與△AE”的

面積之和為S?.

①若E為邊AC的中點,則V"的值為.

②若E不為邊AC的中點時，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不

成立，請說明理由.

【答案】(1)①，②，④，③

(2)證明見解析(3)①2

②結(jié)論仍成立，理由見解析

【解析】

【分析】(1)觀察圖形，根據(jù)面積計算方法即可快速判斷；

(2)根據(jù)面積關(guān)系：矩形面積=矩形AKLC面積+矩形面積=矩形O8FG面積

+矩形CLH。面積=正方形BCEF面積一正方形LEG”面積，即可證明；

(3)①由題意可得△AB。，zXAEH,△CEG,48尸G都是等腰直角三角形，四邊形

DGEH是正方形,設(shè)從而用含”的代數(shù)式表示出S、S2進行計算即可：②由題意

可得△48。，AAE/7,ACEG,△8FG都是等腰直角三角形，四邊形QGEH是矩形，設(shè)

BD=a,DG=b,從而用含。、匕的代數(shù)式表示出與、52進行計算即可.

【小問1詳解】

解：圖1對應(yīng)公式①，圖2對應(yīng)公式②，圖3對應(yīng)公式④，圖4對應(yīng)公式③；

故答案為：①，②，④，③；

【小問2詳解】

解：由圖可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB="一b,

,,S矩形AW—S矩形DBFG=a(a-0)，

S矩形AKHO=S矩形AK￡C+S矩形(XHD，

S矩形AAW=S錚形DBFG+§矩形a”。=S正方形BCEF一§正方形ZEGH=A-b,

又；S矩形AXW=("+")(a—，

(a+b)(^a-b)=a2-b1-

【小問3詳解】

解：①由題意可得：△ABO,AAEH,△CEG,△8FG都是等腰直角三角形，四邊形

OGEH是正方形，

設(shè)BD=a,

113

AD—BD=a>AH=HE=DG=—a,EG=CG=—a,FG=BG=—a,

222

S\=S&BFG+S^CEG

S2=S^ABD+S^AEH=+~X-a'

乙乙\^乙)o

.??^=2；

?2

故答案為：2；

②成立，證明如下：

由題意可得：AABD,△AEH,ACEG,Z\BFG都是等腰直角三角形，四邊形OGEH是矩

形，

設(shè)BD=a,DG=b,

AD=BD=a,AH=HE=DG=b>EG=CG=a—b>FG=BG=a+b>

?'*S|=S^BFG+SACEG=-(?+/?)'+-(?-/?)="+后,

邑=S2BD+S^AEH=26/2

5

:.《1=2仍成立?

【點睛】本題主要考查了公式的幾何驗證方法，矩形和正方形的判定與性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)

合思想，觀察圖形，通過圖形面積解決問題是解題的關(guān)鍵.

24.如圖1,平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線丁=0?+云+。+(〃<0)與x軸分則點A和

點3(1,0),與y軸交于點C,對稱軸為直線x=—1,且。4=OC，P為拋物線上一動

點.

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接AC,當(dāng)點P在直線AC上方時，求四邊形以BC面積的最大值，并求出

此時尸點的坐標(biāo)；

(3)設(shè)M為拋物線對稱軸上一動點，當(dāng)P,用運動時，在坐標(biāo)軸上是否存在點N,使四

邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點尸及其對應(yīng)點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由.

【答案】(1)y^-x2-2x+3

⑵s最大=p點的坐標(biāo)為(一!■,?)

(3)存在，爪一1,4),N10,4)；/5-嚴(yán)N『一產(chǎn),o］；

I618JI6J

?f-5+Vi45-V145-l^X7(1+V145

I618JI6J

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件，列出方程組求出a,h,c的值即可；

⑵方法一：設(shè)四邊形以861的面積5=54用0+5"(：0+54"0，用，"表示出

S,并求出S的最大值與此時P點的坐標(biāo)；

方法二：易知4(一3,0),C(O,3),故直線AC的方程為y=x+3,設(shè)

P(X,-X2-2X+3)(-3<X<0),表示出PQ,并用x表示出△APC的面積，再表示出5,

并求出S的最大值與此時尸點的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)題目要求，分類討論當(dāng)當(dāng)、在y軸上時；當(dāng)人在x軸負(fù)半軸上時，設(shè)N?,0),

用/表示出點P的坐標(biāo)，解出f,寫出點尸及其對應(yīng)點N的坐標(biāo).

【小問1詳解】

解：VOA=OC，

C(O,c),A(-c,0),

?.?3(1,0),對稱軸為直線x=—l,c>0,

Q=a+b+c(.