高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 課時(shí)分層作業(yè) 四十五 8.1 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時(shí)分層作業(yè)四十五直線的傾斜角與斜率、直線的方程一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2018·秦皇島模擬)直線x+y+1=0的傾斜角是 ()A. B. C. D.【解析】選D.由直線的方程得直線的斜率為k=-,設(shè)傾斜角為α,則tanα=-,又α∈[0,π),所以α=.【變式備選】設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是P,且傾斜角為α,若將此直線繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線的傾斜角為α+45°,則 ()A.0°≤α≤180° B.0°≤α<135°C.0°≤α<180° D.0°<α<135°【解析】選D.因?yàn)樗?°<α<135°.2.已知A(3,4),B(-1,0),則過AB的中點(diǎn)且傾斜角為120°的直線方程是 ()A.x-y+2-=0 B.x-y+1-2=0C.x+y-2-=0 D.x+3y-6-=0【解析】選C.由題意可知AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),且所求直線的斜率k=tan120°=-,所以直線方程為y-2=-(x-1),即x+y-2-=0.3.在等腰三角形AOB中,AO=AB,點(diǎn)O(0,0),A(1,3),點(diǎn)B在x軸的正半軸上,則直線AB的方程為 ()A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3)C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1)【解析】選D.因?yàn)锳O=AB,所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數(shù),所以kAB=-kOA=-3,所以直線AB的點(diǎn)斜式方程為y-3=-3(x-1).4.如圖中的直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則 ()A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2【解析】選B.因?yàn)閘3的傾斜角為銳角,l1,l2的傾斜角為鈍角,所以k1,k2都是負(fù)數(shù),k3是正數(shù),所以k3最大,排除C,D,又l1的傾斜角大于l2的傾斜角,所以k2<k1<0,所以k2<k1<k3.【變式備選】下列描述中正確的是 ()A.直線的傾斜角越大,斜率也越大B.斜率為2的直線有且僅有一條C.每一條直線都有縱截距D.過點(diǎn)P(-1,2),但是不過第三象限的直線的斜率的取值范圍是-2≤k≤0【解析】選D.因?yàn)橹本€的傾斜角α(0≤α<π,且α≠)與斜率k的關(guān)系為k=tanα,如圖,所以A錯(cuò)誤,因?yàn)樾甭蕿?的直線有無數(shù)條,所以B錯(cuò)誤,因?yàn)榇怪庇趚軸的直線(不含y軸)沒有縱截距,所以C錯(cuò)誤,如圖過點(diǎn)P(-1,2),但是不過第三象限的直線的斜率的取值范圍是-2≤k≤0,所以D正確.5.直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2),在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率k的取值范圍是 ()A.-1<k< B.k>1或k<C.k>或k<-1 D.k>或k<-1【解析】選D.直線的斜率為k,則直線方程為y-2=k(x-1),令y=0,得直線l在x軸上的截距為1-,則-3<1-<3,解得k>或k<-1.【一題多解】選D.當(dāng)k=0時(shí),該直線在x軸上的截距不存在,不符合題意,所以可排除A,B,C三個(gè)選項(xiàng).【變式備選】直線(a-1)x+y-a-3=0(a>1),當(dāng)此直線在x,y軸上的截距和最小時(shí),實(shí)數(shù)a的值是 ()A.1 B. C.2 D.3【解析】選D.當(dāng)x=0時(shí),y=a+3,當(dāng)y=0時(shí),x=,令t=a+3+=5+(a-1)+.因?yàn)閍>1,所以a-1>0.所以t≥5+2=9.當(dāng)且僅當(dāng)a-1=,即a=3時(shí),等號(hào)成立.二、填空題(每小題5分,共15分)6.若經(jīng)過兩點(diǎn)A(4,2y+1),B(2,-3)的直線的傾斜角是直線4x-3y+2019=0的傾斜角的一半,則y的值為________.

【解析】因?yàn)橹本€4x-3y+2019=0的斜率為,所以由傾斜角的定義可知直線4x-3y+2019=0的傾斜角α滿足tanα=,因?yàn)棣痢蔥0,π),所以∈,所以=,解得tan=,由已知及傾斜角與斜率的關(guān)系得=,所以y=-.答案:-【變式備選】一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,2),并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1,則此直線的方程為________.

【解析】設(shè)所求直線的方程為+=1,因?yàn)锳(-2,2)在直線上,所以-+=1.①又因?yàn)橹本€與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1,所以|a|·|b|=1.②由①②可得(1)或(2)由(1)解得或方程組(2)無解.故所求的直線方程為+=1或+=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0為所求直線的方程.答案:x+2y-2=0或2x+y+2=07.設(shè)點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),直線2x+y-b=0與線段AB有公共點(diǎn),則b的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)閎為直線y=-2x+b在y軸上的截距,如圖,當(dāng)直線y=-2x+b過點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(1,0)時(shí),b分別取得最小值和最大值.所以b的取值范圍是[-2,2].答案:[-2,2]【變式備選】已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(-1,1)和Q(2,2),若直線l:x+my+m=0與線段PQ有交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

【解析】如圖所示,直線l:x+my+m=0過定點(diǎn)A(0,-1),當(dāng)m≠0時(shí),kQA=,kPA=-2,kl=-.所以-≤-2或-≥.解得0<m≤或-≤m<0;當(dāng)m=0時(shí),直線l的方程為x=0,與線段PQ有交點(diǎn),所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為-≤m≤.答案:-≤m≤8.若直線l的斜率為k,傾斜角為α,而α∈∪,則k的取值范圍是________. 【解析】因?yàn)閗=tanα,α∈∪,所以-≤k<0或≤k≤1.答案:[-,0)∪【變式備選】已知直線的斜率為(-∞,-1)∪[,+∞),則它的傾斜角的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)閗=tanα,α∈[0,π),α≠,又直線的斜率為(-∞,-1)∪[,+∞),所以α∈∪.答案:∪三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018·無錫模擬)在△ABC中,已知點(diǎn)A(5,-2),B(7,3),且邊AC的中點(diǎn)M在y軸上,邊BC的中點(diǎn)N在x軸上.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo).(2)求直線MN的方程.【解析】(1)設(shè)C(x,y).因?yàn)锳C的中點(diǎn)M在y軸上,所以=0得x=-5,又因?yàn)锽C的中點(diǎn)N在x軸上,所以=0得y=-3.所以C(-5,-3).(2)由(1)知C(-5,-3),所以M,N(1,0).由截距式得MN的方程為+=1,即5x-2y-5=0.10.(2018·青島模擬)已知兩點(diǎn)A(-1,2),B(m,3). (1)求直線AB的方程.(2)已知實(shí)數(shù)m∈,求直線AB的傾斜角α的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)m=-1時(shí),直線AB的方程為x=-1,當(dāng)m≠-1時(shí),直線AB的方程為y-2=(x+1),即x-(m+1)y+2m+3=0.當(dāng)m=-1時(shí),代入x-(m+1)y+2m+3=0,即x=-1,所以直線AB的方程為x-(m+1)y+2m+3=0.(2)①當(dāng)m=-1時(shí),α=;②當(dāng)m≠-1時(shí),m+1∈∪(0,],所以k=∈(-∞,-]∪,所以α∈∪.綜合①②知,直線AB的傾斜角α∈.1.(5分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(n∈N*),其前n項(xiàng)和Sn=,則直線+=1與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為 ()A.36 B.45 C.50 【解析】選B.由an=可知an=-,所以Sn=+++…+=1-,又知Sn=,所以1-=,所以n=9.所以直線方程為+=1,且與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(10,0)和(0,9),所以直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為×10×9=45.2.(5分)已知直線l過點(diǎn)P(2,-1),在x軸和y軸上的截距分別為a,b,且滿足a=3b,則直線l的方程為________.

【解析】①若a=3b=0,則直線過原點(diǎn)(0,0),此時(shí)直線斜率k=-,直線方程為x+2y=0.②若a=3b≠0,設(shè)直線方程為+=1,即+=1.由于點(diǎn)P(2,-1)在直線上,所以b=-.從而直線方程為-x-3y=1,即x+3y+1=0.綜上所述,所求直線方程為x+2y=0或x+3y+1=0.答案:x+2y=0或x+3y+1=0【易錯(cuò)警示】解答本題易忽略截距為零的情況,導(dǎo)致求解時(shí)漏掉直線方程x+2y=0而致錯(cuò).3.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(diǎn)(x,y)為整點(diǎn),下列命題中正確的是________(寫出所有正確命題的編號(hào)).

①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn);②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn);③直線l經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn);④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是k與b都是有理數(shù);⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線.【解析】對(duì)于①,因?yàn)橹本€y=x+滿足,所以①正確;對(duì)于②,直線y=(x+1)上有且僅有一個(gè)整點(diǎn)(-1,0),所以②錯(cuò)誤;對(duì)于③,若l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)x1=x2時(shí),l的方程為x=x1,當(dāng)y1=y2時(shí),直線l的方程為y=y1,當(dāng)x1≠x2,且y1≠y2時(shí),直線l的方程為=,去分母整理得(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),所以當(dāng)x是整數(shù)時(shí),y也是整數(shù),所以③正確;對(duì)于④,由①的例可知④錯(cuò)誤;對(duì)于⑤,由②可知⑤正確.答案:①③⑤4.(12分)已知直線l過點(diǎn)M(1,1),且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).求: (1)當(dāng)|OA|+|OB|取得最小值時(shí),直線l的方程.(2)當(dāng)|MA|2+|MB|2取得最小值時(shí),直線l的方程.【解析】(1)設(shè)A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).則直線l的方程為+=1,則+=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào),此時(shí)直線l的方程為x+y-2=0.(2)設(shè)直線l的斜率為k,則k<0,直線l的方程為y-1=k(x-1),則A,B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)k2=,即k=-1時(shí),|MA|2+|MB|2取得最小值4,此時(shí)直線l的方程為x+y-2=0.5.(13分)已知直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3,分別求滿足下列條件的直線l的方