吉林省長春市五中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

吉林省長春市五中2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列各對角中，終邊相同的是（）A.和 B.和C.和 D.和2．用長度為24米的材料圍成一矩形場地，中間加兩道隔墻（如圖），要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為A.3米 B.4米C.6米 D.12米3．已知向量（2，3），（x，2），且⊥，則|23|＝（）A.2 B.C.12 D.134．下面四個(gè)不等式中不正確的為A. B.C. D.5．圖1是淘寶網(wǎng)某商戶出售某種產(chǎn)品的數(shù)量與收支差額（銷售額-投入的費(fèi)用）的圖象，銷售初期商戶為虧損狀態(tài)，為了實(shí)現(xiàn)扭虧為盈，實(shí)行了某種措施，圖2為實(shí)行措施后的圖象，則關(guān)于兩個(gè)圖象的說法正確的是A.實(shí)行的措施可能是減少廣告費(fèi)用 B.實(shí)行的措施可能是提高商品售價(jià)C.點(diǎn)處累計(jì)虧損最多 D.點(diǎn)表明不出售商品則不虧損6．圓過點(diǎn)的切線方程是（）A. B.C. D.7．已知三條不重合的直線，，，兩個(gè)不重合的平面，，有下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，，且，則；③若，，，，則；④若，，，，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)為A. B.C. D.8．如下圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中①②與成角③與為異面直線④以上四個(gè)命題中，正確的序號是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④9．若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，則（）A. B.C. D.10．已知圓：與圓：，則兩圓的位置關(guān)系是A.相交 B.相離C.內(nèi)切 D.外切二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量滿足，且，則與的夾角為_______12．已知，點(diǎn)在直線上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________13．如圖，若集合，，則圖中陰影部分表示的集合為___14．已知A，B，C為的內(nèi)角.（1）若，求的取值范圍；（2）求證：；（3）設(shè)，且，，，求證：15．函數(shù)的值域是__________.16．不等式的解集為_____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）已知，則；（2）已知角的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中，求18．如圖所示，已知長方形ABCD，AD=2CD=4，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，將長方形ABCD沿MN折到MNFE位置，且使平面MNFE⊥平面ABCD（1）求證：直線CM⊥面DFN；（2）求點(diǎn)C到平面FDM的距離19．已知，且，（1）求，的值；（2），求的值20．已知，計(jì)算下列各式的值.（1）；（2）.21．如圖，在平行四邊形中，分別是上的點(diǎn)，且滿，記，，試以為平面向量的一組基底.利用向量的有關(guān)知識(shí)解決下列問題；（1）用來表示向量；（2）若，且，求；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】利用終邊相同的角的定義，即可得出結(jié)論【詳解】若終邊相同，則兩角差，A.，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，故C選項(xiàng)正確；D.，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角的概念，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】主要考查二次函數(shù)模型的應(yīng)用解：設(shè)隔墻長度為，則矩形另一邊長為=12－2，矩形面積為=（12－2）=，0<<6，所以=3時(shí)，矩形面積最大，故選A3、D【解析】由，可得，由向量加法可得，再結(jié)合向量模的運(yùn)算即可得解.【詳解】解:由向量（2，3），（x，2），且，則,即,即,所以,所以,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量加法及模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】A，利用三角函數(shù)線比較大小；B，取中間值1和這兩個(gè)數(shù)比較；C，利用對數(shù)函數(shù)圖象比較這兩個(gè)數(shù)的大??；D，取中間值1和這兩個(gè)數(shù)比較【詳解】解：A，如圖，利用三角函數(shù)線可知，所對的弧長為，，∴，A對；B，由于，B錯(cuò)；C，如圖，，則，C對；D，，D對；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查比較兩個(gè)數(shù)的大小，考查三角函數(shù)線的作用，考查指對數(shù)式的大小，屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】起點(diǎn)不變，所以投入費(fèi)用不變，扭虧為盈變快了，所以可能是提高商品售價(jià)，選B.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問題，由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．(2)由實(shí)際情景探究函數(shù)圖象．關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題求解，要注意實(shí)際問題中的定義域問題6、D【解析】先求圓心與切點(diǎn)連線的斜率，再利用切線與連線垂直求得切線的斜率結(jié)合點(diǎn)斜式即可求方程.【詳解】由題意知，圓：，圓心在圓上，，所以切線的斜率為，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：D.7、B【解析】當(dāng)在平面內(nèi)時(shí),，①錯(cuò)誤；兩個(gè)平面的垂線平行,且兩個(gè)平面不重合,則兩個(gè)平面平行,②正確；③中,當(dāng)時(shí),平面可能相交,③錯(cuò)誤；④正確.故選B.考點(diǎn)：空間線面位置關(guān)系.8、D【解析】由已知中正方體的平面展開圖，得到正方體的直觀圖如上圖所示：由正方體的幾何特征可得：①不平行，不正確；

②AN∥BM，所以，CN與BM所成的角就是∠ANC=60°角，正確；③與不平行、不相交，故異面直線與為異面直線，正確；④易證，故，正確；故選D9、D【解析】利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出【詳解】∵a=20.5＞1，1＞b=logπ3＞0，c=log20.3＜0，∴a＞b＞c.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】分析：求出圓心的距離，與半徑的和差的絕對值比較得出結(jié)論詳解：圓，圓,，所以內(nèi)切．故選C點(diǎn)睛：兩圓的位置關(guān)系判斷如下：設(shè)圓心距為，半徑分別為，則：，內(nèi)含；，內(nèi)切；，相交；，外切；，外離二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##【解析】根據(jù)平面向量的夾角公式即可求出【詳解】設(shè)與的夾角為，由夾角余弦公式，解得故答案為：12、，【解析】設(shè)點(diǎn),得出向量,代入坐標(biāo)運(yùn)算即得的坐標(biāo)，得到關(guān)于的方程，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)在直線,且,,或,，即或,解得或;即點(diǎn)的坐標(biāo)是，.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及平面向量的共線問題,意在考查對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.13、【解析】圖像陰影部分對應(yīng)的集合為，，故，故填.14、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式及均值不等式求解；（2）先證明，再由不等式證明即可；（3）找出不等式的等價(jià)條件，換元后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式，利用不等式性質(zhì)即可得證.【小問1詳解】,為銳角，，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即.【小問2詳解】在中，，,,.【小問3詳解】由（2）知，令，原不等式等價(jià)為，在上為增函數(shù)，，，同理可得，，，，故不等式成立，問題得證.【點(diǎn)睛】本題第3問的證明需要用到，換元后轉(zhuǎn)換為，再構(gòu)造不等式是證明的關(guān)鍵，本題的難點(diǎn)就在利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出不等式.15、【解析】首先換元，再利用三角變換，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于二次函數(shù)，再求值域.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，則，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)的值域是故答案為：16、【解析】將不等式轉(zhuǎn)化為，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】不等式為，即，解得，所以不等式的解集為，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】（1）分子分母同時(shí)除以，然后代入計(jì)算即可；（2）利用三角函數(shù)的定義求出和，再分和討論計(jì)算即可.【詳解】（1）分子分母同時(shí)除以得原式＝.（2）由三角函數(shù)的定義可知，，當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以所以當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式18、（1）見解析；（2）【解析】（1）推導(dǎo)出DN⊥CM，CM⊥FN，由此能證明CM⊥平面DFN．（2）以M為原點(diǎn)，MN為x軸，MA為y軸，ME為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)C到平面FDM的距離【詳解】證明：（1）∵長方形ABCD，AD=2CD=4，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，將長方形ABCD沿MN折到MNFE位置，且使平面MNFE⊥平面ABCD因?yàn)殚L方形ABCD，DC=CN=2,所以四邊形DCNM是正方形，∴DN⊥CM，因?yàn)槠矫鍹NFE⊥平面ABCD，F(xiàn)N⊥MN,MNFE∩平面ABCD=MN,所以FN⊥平面DCNM，因?yàn)镃M平面DCNM，所以CM⊥FN，又DN∩FN=N，∴CM⊥平面DFN（2）以M為原點(diǎn)，MN為x軸，MA為y軸，ME為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（2，-2，0），D（0，-2，0），F(xiàn)（2，0，2），M（0，0，0），=（2，-2，0），=（0，-2，0），=（2，0，2），設(shè)平面FDM的法向量=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，0，-1），∴點(diǎn)C到平面FDM的距離d===【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題19、（1）；（2）【解析】(1)首先可通過二倍角公式以及將轉(zhuǎn)化為，然后帶入即可計(jì)算出的值，再然后通過以及即可計(jì)算出的值；(2)可將轉(zhuǎn)化為然后利用兩角差的正弦公式即可得出結(jié)果【詳解】⑴，因?yàn)?，，所以；⑵因?yàn)?，，，所以，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三角恒等變換，考查的公式有、、，在使用計(jì)算的時(shí)候一定要注意角的取值范圍20、（1）；（2）.【解析】（1）將分子分母同除以，再將代入，得到要求式子的值（2）先將變形為，再將分子分母同除以，求得