2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案4.1《任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)》 (原卷版)

頁(yè)第四章三角函數(shù)、解三角形第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.將象限角及終邊相同的角綜合考查，凸顯數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合方程、基本不等式、二次函數(shù)的最值及弧度制的應(yīng)用考查弧長(zhǎng)公式、面積公式及最值問(wèn)題，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．將三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)符號(hào)的判斷綜合考查，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．角的定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．2．角的分類(lèi)角的分類(lèi)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按旋轉(zhuǎn)方向,不同分類(lèi))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角,負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角,零角：射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn))),\a\vs4\al(按終邊位置,不同分類(lèi))\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(象限角：角的終邊在第幾象限，這,個(gè)角就是第幾象限角,軸線角：角的終邊落在坐標(biāo)軸上))))3．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．4．弧度制定義把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r25.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么eq\a\vs4\al(y)叫做α的正弦，記作sinαeq\a\vs4\al(x)叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號(hào)Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．(多選)下列說(shuō)法中正確的是()A．－75°是第四象限角B．475°是第二象限角C．若sinα>0，則α是第一、二象限的角D．若α是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點(diǎn)，則cosα＝－eq\f(x,\r(x2＋y2))2．已知α是第二象限角，則180°－α是第________象限角．3．已知扇形的圓心角為eq\f(π,6)，面積為eq\f(π,3)，則扇形的弧長(zhǎng)等于________．4．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－1,2)，則sinα＝________.二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．已知60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為2，則該弧所在圓的半徑為()A.eq\f(1,30°)B.eq\f(6,π)C.eq\f(1,60°)D．eq\f(3,π)2．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m,6m)(m≠0)，則sinα＝________.3．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角的表示[典例](1)若α為第四象限角，則()A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0(2)與－2020°終邊相同的最小正角是________．[方法技巧]1．利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角．2．確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫(xiě)出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．[針對(duì)訓(xùn)練]1．設(shè)集合M＝{x|x＝eq\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝eq\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}，那么()A．M＝NB．M?NC．N?MD．M∩N＝?2．已知角θ在第二象限，且|sineq\f(θ,2)|＝－sineq\f(θ,2)，則角eq\f(θ,2)在()A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．終邊在直線y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)內(nèi)的角α的集合為_(kāi)_____________．考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用[典例]已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.(1)若α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l.(2)若扇形的周長(zhǎng)是20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面積．[方法技巧]應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的策略(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決．(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知扇形的周長(zhǎng)是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．1B．4C．1或4D．2或42．若扇形的圓心角是α＝120°，弦長(zhǎng)AB＝12cm，則弧長(zhǎng)l等于()A.eq\f(4\r(3),3)πcmB．eq\f(8\r(3),3)πcmC．4eq\r(3)cmD．8eq\r(3)cm考點(diǎn)三任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用考法(一)三角函數(shù)的定義[例1](1)函數(shù)y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)P，且角α的終邊過(guò)點(diǎn)P，則sinα＋cosα的值為()A.eq\f(7,5)B.eq\f(6,5)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(3\r(5),5)(2)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長(zhǎng)l與太陽(yáng)天頂距θ(0°≤θ≤80°)的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表．根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，晷影長(zhǎng)度l等于表高h(yuǎn)與太陽(yáng)天頂距θ正切值的乘積，即l＝htanθ.已知天頂距θ＝1°時(shí)，晷影長(zhǎng)l≈0.14.現(xiàn)測(cè)得午中晷影長(zhǎng)度l≈0.42，則天頂距θ為()(參考數(shù)據(jù)：tan1°≈0.0175，tan2°≈0.0349，tan3°≈0.0524，tan22.8°≈0.4204)A．2°B．3°C．11°D．22.8°[方法技巧]三角函數(shù)定義應(yīng)用策略(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義求解．(3)已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值．(4)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)．考法(二)三角函數(shù)值符號(hào)的判斷[例2](1)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，則角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(2)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在[方法技巧]1．三角函數(shù)值符號(hào)及角的位置判斷已知一角的三角函數(shù)值(sinα，cosα，tanα)中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置，注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況．2．三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正，二正弦，三正切，四余弦．[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．已知角α的終邊上一點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，則cosα＝________，tanα＝________.3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于P，Q兩點(diǎn)，P，Q的縱坐標(biāo)分別為eq\f(3,5)，eq\f(4,5).(1)求sinα的值；(2)求α＋β.創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向1．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑等于4m的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是()A．6m2B．9m2C．12m2D．15m22．中國(guó)折疊扇有著深厚的文化底蘊(yùn)．如圖，在半圓O中作出兩個(gè)扇形OAB和OCD，用扇環(huán)形ABDC(圖中陰影部分)制作折疊扇的扇面．記扇環(huán)形ABDC的面積為S1，扇形OAB的面積為S2，當(dāng)S1與S2的比值為eq\f(\r(5)－1,2)時(shí)，扇面的形狀較為美觀，則此時(shí)扇形OCD的半徑與半圓O的半徑之比為()A.eq\f(\r(5)＋1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C．3－eq\r(5)D.eq\r(5)－23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí)，eq\o(OP,\s\up7(→))的坐標(biāo)為_(kāi)_______．4.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A(1,0)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)eq\f(π,6)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)eq\f(11π,6)弧度，則P，Q兩點(diǎn)在第2019次相遇時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])1．將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的角的弧度數(shù)是()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3)D．－eq\f(π,6)2．已知點(diǎn)P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的終邊上，且θ∈[－2π，0)，則角θ的大小為()A．－eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C．－eq\f(2π,3)D．－eq\f(4π,3)3．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－4)，則sinα＋eq\f(1,cosα)＝()A．－eq\f(1,5)B.eq\f(37,15)C.eq\f(37,20)D.eq\f(13,15)4．已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角α終邊上的一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為eq\r(2)，若α＝eq\f(π,4)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1，eq\r(2))B．(eq\r(2)，1)C．(eq\r(2)，eq\r(2))D．(1,1)5．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值為()A．1B．－1C．3D．－36．(多選)下列結(jié)論中正確的是()A．若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(3k,4k)(k≠0)，則sinα＝eq\f(4,5)B．若α是第一象限角，則eq\f(α,2)為第一或第三象限角C．若扇形的周長(zhǎng)為6，半徑為2，則其中心角的大小為1弧度D．若0<α<eq\f(π,2)，則sinα<tanα7．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\r(3)，－1)，則角α的最小正值是()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(11π,6)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(3π,4)8．已知α，β是第一象限角，且sinα>sinβ，則()A．α>βB．α<βC．cosα>cosβD．tanα>tanβ9．若α＝1560°，角θ與α終邊相同，且－360°＜θ＜36