2023版高三一輪總復習數(shù)學新教材老高考人教版教案：第2章 第1節(jié)　函數(shù)的概念及其表示

第二章函數(shù)

篇U函數(shù)的概念及其表示

［考試要求］

1.了解構成函數(shù)的要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值域.

2.在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解

析法)表示函數(shù).

3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.

［走進教材-夯實基礎］回顧知識?激活技能

€＞梳理?必備知識

1.函數(shù)的概念

一般地，設A,B是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個數(shù)X,按

照某種確定的對應關系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)Y和它對應,那么就稱

f：A-B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),xGA.

2.函數(shù)的定義域、值域

(1)在函數(shù)y=f(x),x6A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定

義域;與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合［f(x)|x￡A｝叫做函數(shù)的

值域.

⑵如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應關系完全一致,則這兩個函數(shù)為

同一個函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內，對于定義域內的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系,

這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).

提醒：分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定

義域的并集，值域是各段值域的并集.

［常用結論］

1.與X軸垂直的直線和一個函數(shù)的圖象至多有1個交點.

2.常見函數(shù)定義域的求法

類型光滿足的條件

2yf(元)(〃￡N*)

2"+,\(x)(〃WN*)/U)有意義

")與網)］。

\oguf(x)(a>0且

小,)(。>0且aWl)7U)有意義

tan四尤)]〉*)壬、+E,kGZ

四則運算組成的函數(shù)各個函數(shù)定義域的交集

實際問題使實際問題有意義

◎激活?基本技能

一'易錯易誤辨析(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)函數(shù)y=l與y=x°是同一個函數(shù).()

(2)對于函數(shù)/：A^B,其值域是集合區(qū)

()

(3VU)=、x—3+、2—x是一個函數(shù).()

(4)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).()

［答案］⑴X(2)X(3)X(4)X

二'教材習題衍生

3J?+2X,X?0,

1.設函數(shù)1/U)=$則歡—1))=()

A.16B.4C.5D.-4

A剛一1))=火2)=161

2.函數(shù).穴方=卜一1|的圖象是()

2

ABCD

x—1,x?l,

B[函數(shù)/U)=|x—l|=J結合選項可知，選項B正確.]

.1—X<1.

3.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

①/□)=1—2/與g(x)=x\l—2x；

②Ax)=|x|與g(x)=正；

③/(x)=』與g(x)=5；

(4)/(JC)=X2—2x—1與g⑺=產―2f—1.

A.①②B.①③C.②③④D.①④

C[①兩個函數(shù)的值域不相同，不是同一函數(shù).②g(x)=d?=|x],兩個函數(shù)

的定義域和對應法則相同，是同一函數(shù).③兩個函數(shù)的定義域均為(-8,o)u(o,

+°°),兩個函數(shù)的定義域和對應法則相同，是同一函數(shù).④兩個函數(shù)的定義域

和對應法則相同，是同一函數(shù).故選C.]

4.已知函數(shù),*x)=x+:，則：(l)?x)的定義域為;(2)若/(a)=2,則

a的值為.

(1)(—8,0)U(0,+°°)(2)1[(1)要使函數(shù)犬X)有意義，必須使x#0,故

1x)的定義域是(一8,0)U(0,+8).

(2)由式々)=2得。+(=2,解得a=L]

[細研考慮/突破題型]重難解惑-直擊高考

□考點一求函數(shù)的定義域慨組通關

3r

1.函數(shù)段)=7三二+111(2r—%2)的定義域為()

yjx-l

A.(2,+8)B.(1,2)C.(0,2)D.[1,2]

x-l>0,

B[要使函數(shù)有意義，則，_2

解得l<x<2.

3Y

所以函數(shù)於)=1=^+ln(2x—%2)的定義域為(1,2).]

3

2.(2021.湖北荊州中學模擬)定義域是一個函數(shù)的三要素之一，已知函數(shù)

Jzzx(x)定義域為[211,985],則函數(shù)shuangyiliu(x)=Jzzx(2018x)+Jzzx(202n)的

定義域為()

-211985~-211985~

A.B.

,2018,2021.2021，2018.

~211985~~211985一

C.D.

_2018,2018._2021*2021.

1[由抽象函數(shù)的定義域可知，

211^2018x^985,.”,211--985

,211^2021x^985,解得2018

-211985

所以所求函數(shù)的定義域為.故選A.]

.201812021.

3.已知函數(shù)/(x-l)的定義域為[0,2022],則函數(shù)g(x)=，的定義

域為.

[-2,1)U(1,2020][由函數(shù)/(x-1)的定義域為[0,2022],得函數(shù)y=/(x)

的定義域為[一1,2021].

一K+1W2021,

令彳得一2WxW2020且x#l.

X手1,

所以函數(shù)g(x)的定義域為[-2,1)U(1,2020].]

4.若函數(shù)兀^)=瞬如2十小+1的定義域為一切實數(shù),則實數(shù)的取值范圍

是.

[0,4][由題意可得如2+〃1￥+120對xWR恒成立.

當機=0時，120恒成立；

m>0,

當加W0時，則41解得0<〃W4.

./=m--4〃zW0,

綜上可得0WmW4.]

令反思領悟求函數(shù)的定義域的策略

(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉化為解不等式(組)的問題，可借助于數(shù)軸，注

意端點值的取舍.

(2)求抽象函數(shù)的定義域：①若y=/(x)的定義域為伍,與，則解不等式a<g(x)。

即可求出y=/(g(x))的定義域；②若y=Ag(x))的定義域為(a,b),則求出g(x)在(a,

4

切上的值域即得./U)的定義域.

D考點二求函數(shù)的解析式神生共轉

[典例1](1)已知/停+l)=lgx,求加)的解析式.

(2)已知/U)是二次函數(shù)，且40)=0,/x+l)=Xx)+x+l,求_/U)的解析式.

(3)已知函數(shù)7U)滿足八-x)+紈x)=2S求兀0的解析式.

[解](1)(換元法)令2彳+1=3得犬=看2.

人I1

2

代入得/Q)=lg=p

又x>0,所以>1.

2

故共幻的解析式是/(x)=lg冗￡(1，+°°).

(2)(待定系數(shù)法)設/(?=以2+云+。3￡0),

由/(0)=0知c=0,所以f(x)=co^+bx.

又由f(x+l)=f(x)+x+1,

得(2(x+l)2+/?(x+l)=ox2+Z?x+x+l,

即ax1+(2a+h)x+a+b=cix2+(b+l)x+1,

2a+/?=b+l,i

所以J.,解得。=。=不

[a+b=l,2

所以/(x)=$+5，x￡R.

(3)(解方程組法)由/(一月+4。)=2',①

得/a)+4(—x)=2飛②

24]-

①X2—②，得3/(x)=2計1-2",即/0)=-3一?

2%+i—2~x

故於：)的解析式是ya)=——,XGR.

⑨反思領悟求函數(shù)解析式的常用方法

5

|待定系數(shù)法|一：若已知函數(shù)的類型,可用待定系數(shù)法

I巳知復合函數(shù)yig")］的解析式，可用

|換元法|一

換元法，此時要注意新元的取值范圍

宙巨蕩裝薦元155…二元方:可落

|配湊法I一F(x)改寫成關于g(工)的表達式，然后

以*替代g(x),便得/(支)的解析式

已知關于/(*)與/(+)或/(-X)的表達

式，可根據已知條件再構造出另外一個

等式，通過解方程組求出/(X)

［跟進訓練］

1.(1)已知46+1)=%一2"，則/U)=_

(2)已知人龍)滿足人龍)一身"=2%,則yu)=

⑶已知危)是一次函數(shù)，且滿足浜龍+1)—次r—l)=2x+17,則危)=

2(4/—

(1)*一4龍+3(x21)(2)-y-y^(3)2x+7[⑴法一：(換元法)令/=也+

1,則X=(L1)2,

代入原式有用)=(/-1)2—2?—1)=尸一付+3,

所以兀x)=/—4x+3(x21).

法二:(配湊法求也+1)=》+25+1—4也一4+3

=(5+1)2—4(m+1)+3,

因為亞+121,所以汽幻二X2—4x+3(xel).

(2)因為?r)—4(；[=2x，①

以《代替①中的工,得/(0一4(幻=；,②

A\A/A

4

①+②X2得一37(x)=2x+：

2r4

所以?￥)=一丁一虱.

(3)(待定系數(shù)法)設./U)=GC+仇aWO),

則3*x+1)—浜x—l)=ox+5a+",

6

所以ax+5a+b=2x+\l對任意實數(shù)x都成立，

。=2,。=2,

所以1,解得{所以?r)=2x+7.]

5a+b=ll,[b=7.

考點三分段函數(shù)修維探究

考向1求分段函數(shù)的函數(shù)值

4+ln2xW0

[典例2—1](2021.山東棗莊二模)已知函數(shù)/)={/:'則/

3),x>0,

(2021)=()

22

A.-B.2eC./D.2e2

A[當x>0時，因為用：)=/(x—3),

所以(x+3),所以/(x)是周期為3的函數(shù)，

所以/(2021)=/(3X673+2)=/(2).

fn29

又因為/(2)=/(_l)=er+m2=_^_=3，

所以/(2021)=5故選A.]

考向2求參數(shù)或自變量的值

[典例2—2]函數(shù)於尸"、若實數(shù)。滿足則

[2X9犬NO,

f8)=()

A.2B.4C.6D.8

D[由分段函數(shù)的結構知，火x)的定義域是(-1,+°°),所以a〉0.

①當0<a<l時，-1<。一1<0,則加)=加-1)可化為2a=g,解得a=；,

火4)=8；

②當時，a—120,則大。)=/3—1)可化為2a=2(。一1),方程無解.故

選D.]

考向3解與分段函數(shù)有關的不等式

[典例2—3](2021.貴陽市四校第二次聯(lián)考)設函數(shù)於)=

7

J10g2(x+1),X，0,

則滿足_/(x+l)V2的x的取值范圍為(

[yj—x,x<0,

A.(-4,3)B.(-5,2)

C.(-3,4)D.(-8,-3)U(4,+°o)

B[法一：當工2—1時，Xx+l)V2等價于log2[(x+l)+l]V2=log24,即x

+2<4,解得一l〈xV2;當xV—l時，?v+l)V2等價于二一(x+1)V2,解

得一5VxV-l.綜上，使得式x+l)V2的x的取值范圍是(一5,2),故選B.

法二：作出函數(shù)的圖象及直線y=2,如圖所示，令1》)=2,解得x=一

4或x=3,由圖象可知，於+1)<2等價于一4Vx+lV3,解得一5VxV2,所以

滿足於+1)V2的x的取值范圍為(-5,2),故選B.

法三：當x=2時，/U+1)=A3)=2,不滿足/U+1)V2,排除A,C,當x

=0時，./(x+l)=/U)=l,滿足./(x+l)V2,排除D,故選B.]

畬反思領信分段函數(shù)的幾類題型及解決方法

(1)若分段函數(shù)中含有參數(shù)，則直接根據條件選擇相應區(qū)間上的解析式代入

求參.

(2)若是求自變量的值，則需要結合分段區(qū)間的范圍對自變量進行分類討論，

再求值.

(3)涉及與分段函數(shù)有關的不等式問題，主要表現(xiàn)為解不等式，當自變量取

值不確定時，往往要分類討論求解；當自變量取值確定，但分段函數(shù)中含有參數(shù)

時，只需依據自變量的情況，直接代入相應解析式求解.

~~[跟進訓練]

啟、

2?⑴已知本)=CO/S711X,)+1,,9,則4#/(管4的值電)

A.gB.-gC.-1D.1

2,v,%>0,

.,若y(a)+/U)=O,則實數(shù)a的值等于()

(x~\1,xW0.

A.-3B.-1C.1D.3

8

2x+1,xW1,

(3)已知函數(shù),則滿足Hx)+_Ax+l)>l的x的取值范圍是

Inx+1,x>l,

A.(—1,+°°)B.(-3，+8)

C.(0,+8)D.(1,+0°)

⑴D(2)A(3)B[(1?《)=/傳-1)+1=/(；)+l=cos,+1=|,

31

-

2-2-

(2)VAD=2'=2,：.J(a)+2=0,/./?)=-2,

當aWO時，/(a)=a+l=—2,'.a=~3,

當a>0時，.穴口)=2。=—2,方程無解，

綜上有a=~3.

(3)由題意，根據函數(shù)的解析式可知,

%W1,3

當彳即xWO時，/(x)+/(x+l)=2x+1+2x+3>l,得一4<rW0;

、x+1<1,

X>1,

即x>l時，]nx+l>l,ln(x+l)+l>l,所以當x>l時，凡。+兀￥

當1x+1>1,

+1)>1恒成立;

當彳,即04W1時，14+1W2,所以於)+/U+l)=2x+l+ln。+

I1>1,

1)+1>1恒成立.

3

綜上，尤>一如故選B.]

命題新視角

2.與高等數(shù)學接軌的函數(shù)新定義問題

高考數(shù)學與高等數(shù)學知識(如歐拉公式、高斯函數(shù)、狄利克雷函數(shù))的接軌，

常以小題的形式呈現(xiàn)，意在考查數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算等核

心素養(yǎng).因此在復習備考中，有意識地加強這方面的訓練是很有必要的，這有利

于培養(yǎng)