習(xí)題和答案文檔

PAGEPAGE4第三章習(xí)題1.考慮如下貝葉斯博弈：（1）自然決定支付矩陣（a）或(b)，概率分別為和；（2）參與人1知道自然的選擇，即知道自然選擇支付矩陣（a）或(b)，但是參與人不知道自然的選擇；（3）參與人1和參與2同時行動（參與人1選擇T或B時不知參與人的選擇，參與人2選擇L或R不知參與人1的選擇）。給出這個博弈的擴展式表述并求純戰(zhàn)略貝葉斯均衡。表3.1.aLRT1,10,0B0,00,0表3.1.bLRT0,00,0B0,02,22.考慮如下擾動的性別戰(zhàn)博弈,其中服從的均勻分布,，和是獨立的,是參與人i的私人信息。a.求出以上博弈所有純戰(zhàn)略貝葉斯均衡。b.證明當(dāng)時，以上貝葉斯均衡和完全信息的混合戰(zhàn)略納什均衡相同。表3.2足球芭蕾足球芭蕾3.考慮如下標(biāo)準(zhǔn)式博弈的均衡，存在的唯一納什均衡就是每個參與人i都以1/2的概率選擇H。利用海薩應(yīng)純化定理，構(gòu)造一個擾動的不完全信息博弈，其純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡收斂于以下完全信息的混合戰(zhàn)略均衡（Gibbons書中習(xí)題3.5）。表3.3HTH1，-1-1，1T-1，11，-14.在一個5人參加的私人價值的一級價格拍賣中是貝葉斯納什均衡，是參與i的叫價，是參與人i的價值信息，獨立的服從于的均衡分布。利用顯示原理構(gòu)造一個直接機制，均衡結(jié)果與以上貝葉斯納什均衡完全相同。5.一個壟斷企業(yè)的成本函數(shù)為,其中是產(chǎn)量，為邊際成本，是固定成本。假定是私人信息，固定成本和市場需求是共同信息?？紤]如下直接機制其中為政府規(guī)定的價格，是政府對企業(yè)的補償，是企業(yè)自己報告的成本。a.證明如果則企業(yè)會謊報邊際成本。b.在時，如何規(guī)定才能誘使企業(yè)說實話。6.兩個企業(yè)同時決定是否進入一個市場。企業(yè)i的進入成本是私人信息，是服從分布函數(shù)的隨機變量以及分布密度嚴(yán)格大于零，并且和兩者獨立。如果只有一個企業(yè)進入，進入企業(yè)i的利潤函數(shù)；如果兩個企業(yè)都進入，則企業(yè)i的利潤函數(shù)為；如果沒有企業(yè)進入，利潤為零。假定和是共同知識，且，計算貝葉斯均衡并證明對稱均衡是唯一的。7.考慮如下結(jié)構(gòu)的非對稱信息的古諾博弈。市場逆需求函數(shù)，企業(yè)的成本函數(shù)為；企業(yè)2的成本函數(shù)為為企業(yè)2的產(chǎn)量水平，可能取值為。企業(yè)2知道確切取值，但是企業(yè)1不知道其確切值，只知道的概率為?，F(xiàn)在假定兩個企業(yè)同時選擇產(chǎn)量水平，且以上博弈結(jié)構(gòu)是共同知識，求解均衡時企業(yè)的產(chǎn)量的水平。8.考慮如下非對稱信息的產(chǎn)品差異化的伯川德博弈：企業(yè)i的市場需求，兩個企業(yè)生產(chǎn)成本都為零；取值是或且，且的概率為，而；是企業(yè)1的私人信息，是共同信息?，F(xiàn)假定兩個企業(yè)同時選擇價格，以上博弈結(jié)構(gòu)是共同知識，求解以上博弈的貝葉斯納什均衡（摘自Gibbons書上習(xí)題3.3）。9.考慮兩個參與人的公共物品供模型。參與人1和2同時決定是否提供某項公共物品，提供公共物品是0—1決策。如果任何一個參與人i已經(jīng)提供公共物品，則每個參與人j都可以得到效用4。參與人i提供公共物品成本是在都定義域為，分布函數(shù)為的隨機變量，而且提供成本是參與人私人信息（摘自Tirole和Fudenberg例子6.1）。a.如果成本服從均勻分布，求解其對稱均衡。b.證明如果滿足條件，證明以上博弈存在非對稱均衡。表3.4提供不提供提供，，4不提供4，0，010.考慮個參與人的公共物品供模型。所有參與人同時決定是否提供某項公共物品，提供公共物品是0—1決策。如果任何個或者以上的參與人已經(jīng)提供公共物品，則每個參與人j都可以得到效用1，否則就是0。參與人i提供公共物品成本是在都定義域為上的均勻分布的隨機變量，而且提供成本是參與人私人信息，求出兩個對稱貝葉斯納什均衡（改自Tirole和Fudenberg練習(xí)6.1）。11.在人參加的私人價值拍賣，參與人的類型都服從上的均勻分布，參與人的類型是私人信息，的分布是共同知識。a.如果實行一級價格拍賣，則求對稱的貝葉斯納什均衡。b.如果實行二級價格拍賣，則求其貝葉斯納什均衡。c.在以上兩種類型拍賣中，證明拍賣人的期望收入相同。12.在一個三人參加的一級價格拍賣中，參與人i的類型都服從的均勻分布，而且和的分布獨立。是參與人i的私人信息，即參與人i只知道的確切值，而不知道確切值，僅僅知道的分布。（根據(jù)Myerson書中練習(xí)3.7和3.8加以改編）。a.如果，其中表示物品對參與人i的價值，則求解此時對稱的貝葉斯納什均衡。b.如果，其中表示物品對參與人i的價值，則求解此時對稱的貝葉斯納什均衡。c.a中標(biāo)價高于b中的，說明理由。13.考慮一個離散兩個參與的一級價格私人價值拍賣。物品對于參與人i的私人價值是私人信息，都取兩個值：。參與人1的私人價值的概率是，參與人1的私人價值的概率是，以上信息都是共同知識。根據(jù)拍賣理論求出以上博弈的貝葉斯納什均衡。14.考慮一個不完全信息兩人博弈的消耗戰(zhàn)模型。兩個參與人同時出價，并且的取值范圍為。每個參與人類型空間是參與人的私人信息，取值范圍為，對應(yīng)的分布函數(shù)為，同時和兩者是獨立的?，F(xiàn)在假定參與人的效用函數(shù)為：反之則（摘自Tirole和Fudenberg例子6.3）。a.證明參與人最優(yōu)出價戰(zhàn)略是的遞增函數(shù)。b.如果，則求出其對稱均衡。c.如果，證明以上博弈存在一個非對稱均衡。15.（顯示原理）證明任何一個貝葉斯納什均衡的結(jié)果都可能用一個直接機制達到。16.海薩尼（1968）認(rèn)為任何參與人關(guān)于博弈結(jié)構(gòu)的不確定性都可以歸結(jié)對于參與人效用函數(shù)的不確定性。更加重要地是，參與人對于其他參與人的效用函數(shù)的不確定性都可以形成主觀概率，而在一般情況下所有參與人的主觀概率分布應(yīng)該是從共同的先驗分布中導(dǎo)出。在此條件下，海薩尼認(rèn)為任何不完全信息的博弈都有標(biāo)準(zhǔn)形式，其中表示戰(zhàn)略，表示參與人私人信息，表示效用函數(shù)，表示所有不確定性的先驗分布。在以上標(biāo)準(zhǔn)式基礎(chǔ)上，海薩尼定義任何不完全信息博弈半標(biāo)準(zhǔn)戰(zhàn)略式和標(biāo)準(zhǔn)的戰(zhàn)略式,其中表示參與人類型依存戰(zhàn)略，表示參與人i類型為時的條件期望效用，表示參與人的預(yù)期效用。在此基礎(chǔ)上，海薩尼在半標(biāo)準(zhǔn)的戰(zhàn)略式定義貝葉斯納什均衡，即任何參與人i在給定類型時最大化此時的條件期望效用。a.類型依存戰(zhàn)略是半標(biāo)準(zhǔn)式的貝葉斯納什均衡充要條件是是標(biāo)準(zhǔn)式的納什均衡。b.任何一個不完全信息的有限博弈都存在一個貝葉斯納什均衡。17.考慮一個壟斷定價模型。消費者的效用函數(shù)為，其中是消費量，是支付給壟斷者的費用。壟斷者成本函數(shù)為，并且壟斷者擁有完全的討價還價能力，消費者保留效用為0。消費者偏好參數(shù)可以取值，,和，并且的概率為。如果存在信息不對稱，壟斷者不知消費者的偏好參數(shù)，但是知道其分布?，F(xiàn)在假設(shè)，求解最優(yōu)的銷售計劃。18.考慮一個壟斷定價模型。消費者的效用函數(shù)為：，其中是消費量，是支付給壟斷者的費用。壟斷者成本函數(shù)為并且壟斷者擁有完全討價還價能力，消費者保留效用為0。消費者偏好參數(shù)可以取值和，并且的概率為（摘自Tirole和Fudenberg練習(xí)7.8）。a.如果信息完全，求解此時最優(yōu)消費和支付。b.如果信息不完全，即壟斷者不了解消費者的偏好參數(shù)時，計算此時最優(yōu)的消費量和支付的費用（假定）。c.現(xiàn)假定消費者可以花費購買一項技術(shù)，其生產(chǎn)的成本函數(shù)為。假定消費要么從壟斷者購買產(chǎn)品，要么自身生產(chǎn)。最后假定技術(shù)滿足：問在此條件下b中壟斷廠商定價方案是否還是最優(yōu)的？d.在c條件下，求出此時最優(yōu)定價方案。19.考慮如下一個規(guī)制問題，政府與一個勞動者管理的企業(yè)的最優(yōu)合同問題。勞動者管理的企業(yè)利潤函數(shù)是：，其中是企業(yè)工人人數(shù)，是企業(yè)收益函數(shù)且，是固定成本，是政府的轉(zhuǎn)移支付，是企業(yè)的私人信息。企業(yè)最優(yōu)目標(biāo)是最大化人均利潤。證明一個單調(diào)遞增的員工函數(shù)滿足激勵相容約束當(dāng)且當(dāng)：。20.考慮如下討價還價模型。買者的估價和賣者的生產(chǎn)產(chǎn)品的邊際成本（固定成本為0）都是私人信息；買者類型為，且概率都為1/2，賣者的類型為，且概率都為1/2。假定且。a.證明如果所有事后有效交易都能實現(xiàn)，則。b.證明如果，則所有事后有效交易必然能實現(xiàn)。21.（無效率定理）考慮一個兩邊不對稱信息的交易模型。假定交易物品對于賣者的價值為，并且是賣者私人信息；交易物品對于買者的價值為并且是買者的私人信息；取值范圍為，且累計分布，且和的分布是獨立的。a.證明如果滿足，所有事后有效交易都能實現(xiàn)。b.證明如果滿足，所有事后有效交易肯定不能都實現(xiàn)。22.考慮如下一個規(guī)制問題。一個公共服務(wù)的企業(yè)的成本函數(shù)，其中是企業(yè)的產(chǎn)出，是企業(yè)的努力，是企業(yè)固定成本。規(guī)制者政府僅僅觀察到企業(yè)的總成本和產(chǎn)出，不能觀察到企業(yè)的類型。企業(yè)的效用函數(shù)是，其中是政府的轉(zhuǎn)移支付，；以及企業(yè)保留效用是0。企業(yè)技術(shù)參數(shù)取值為的概率為，取值為為。社會福利函數(shù)，其中是消費者總剩余，是企業(yè)銷售收入，是公共資金的影子成本（摘自Tirole和Fudenberg練習(xí)7.9）。a.如果政府規(guī)制者可以完全觀察到，則最優(yōu)的銷售數(shù)量和企業(yè)努力。b.如果政府規(guī)制者不能觀察到，則證明最優(yōu)的企業(yè)努力滿足：23.（電子郵件博弈）考慮如下貝葉斯博弈，參與人1為類型概率為0.9，而為的概率為0.1?，F(xiàn)在參與人1和參與人2進行如下方式的交流；如果參與人1為類型，則參與1不向參與人2發(fā)送任何電子郵件；如果為類型,則向參與人2發(fā)送一封電子郵件，告訴參與人2自己是類型；自此之后，參與人2和類型為參與人1則會相互發(fā)送電子郵件，