第一節(jié)(復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算)

數(shù)學(xué)物理方法主講教師：張銘麗mingli@1第一篇復(fù)變函數(shù)論第二篇數(shù)學(xué)物理方程2重要性普通物理與四大力學(xué)的粘合劑研究生考試的基礎(chǔ)課基礎(chǔ)研究的重要工具培養(yǎng)邏輯思維能力、創(chuàng)造思維能力等3把握課堂、適當(dāng)作業(yè)、及時(shí)復(fù)習(xí)平時(shí)成績(jī)（測(cè)驗(yàn)、考勤、作業(yè)、提問(wèn)）期末考試4第一篇復(fù)變函數(shù)論第一章復(fù)變函數(shù)第二章復(fù)變函數(shù)的積分第三章冪級(jí)數(shù)展開(kāi)第四章留數(shù)定理第五章傅里葉變換第六章拉普拉斯變換5引言復(fù)變函數(shù)論統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。

先驅(qū)：歐拉、達(dá)朗貝爾，拉普拉斯，柯西、黎曼，維爾斯特拉斯，維爾斯特拉斯的學(xué)生，列夫勒、彭加勒、阿達(dá)瑪?shù)?引言一、復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容：1、將實(shí)變函數(shù)中：函數(shù)、極限、連續(xù)、微商、積分、級(jí)數(shù)等概念推廣至復(fù)變函數(shù)中；2、解除了實(shí)數(shù)鄰域中若干禁令；3、建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，雙曲函數(shù)的關(guān)系；二、復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用：1、解偏微分方程的邊值問(wèn)題，如：保角變換法；2、解微分方程的初值問(wèn)題，如：拉普拉斯變換法；3、計(jì)算實(shí)積分，如：留數(shù)定理。7第一章復(fù)變函數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算第二節(jié)復(fù)變函數(shù)第三節(jié)導(dǎo)數(shù)第四節(jié)解析函數(shù)第五節(jié)平面標(biāo)量場(chǎng)第六節(jié)多值函數(shù)8第一章復(fù)變函數(shù)中心內(nèi)容：解析函數(shù)學(xué)習(xí)目的：1、熟練掌握復(fù)數(shù)的各種表示及運(yùn)算規(guī)則；2、熟練掌握復(fù)變函數(shù)中與實(shí)變函數(shù)平行的概念；3、重點(diǎn)掌握解析函數(shù)的概念和性質(zhì)；9§1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算1.1.1復(fù)數(shù)的基本概念虛數(shù)單位復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部純虛數(shù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等實(shí)部和虛部分別相等第一章復(fù)變函數(shù)ZxyzO代數(shù)式幾何表示：復(fù)數(shù)復(fù)平面上的點(diǎn)復(fù)平面上的矢量復(fù)數(shù)的代數(shù)表示10復(fù)數(shù)的三角表示式：復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式：z?；蚪^對(duì)值：z的輻角：輻角不確定.的輻角中，滿足的角.ZxyzO歐拉公式2.復(fù)數(shù)的三角式和指數(shù)式：11設(shè)3.共軛復(fù)數(shù)i)ii)iii)iv)定義ZxyzO121.1.2無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)N為北極，S為南極除去北極N，球面上的點(diǎn)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).這種對(duì)應(yīng)叫做因當(dāng)A點(diǎn)無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)或者說(shuō)，當(dāng)復(fù)數(shù)z的模無(wú)限地變大時(shí)，點(diǎn)A'就無(wú)限地接近于N.所以，規(guī)定：復(fù)平面上有一個(gè)唯一的“無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)”與N相對(duì)應(yīng).相應(yīng)地，規(guī)定：復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大”與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)N相對(duì)應(yīng).記為∞測(cè)地投影，球叫做復(fù)數(shù)球定義：在復(fù)平面上，模為無(wú)窮大的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)1314注意：1，∞高數(shù)中的+∞，–∞有著根本的區(qū)別，在高數(shù)中只是變量變化的記號(hào)。2，規(guī)定：但實(shí)部、虛部和輻角則認(rèn)為是無(wú)意義的151.1.3復(fù)數(shù)的運(yùn)算和差積交換律結(jié)合律交換律、結(jié)合律、分配律商除法是乘法的逆運(yùn)算16有的時(shí)候采用三角式或者指數(shù)式表示更加簡(jiǎn)單：輻角不能唯一確定，可以相差的整數(shù)倍17定義棣莫弗(DeMoivre)公式：18下面求出w由棣莫弗公式得：1920例1i解21若z不在負(fù)實(shí)軸和原點(diǎn)上，則復(fù)數(shù)的加減與向量的加減一致22擴(kuò)充復(fù)平面：復(fù)平面（有限復(fù)平面）：包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面不包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面如無(wú)特殊說(shuō)明，所謂“平面”一般仍指有限平面，所謂“點(diǎn)”仍指有限平面上的點(diǎn).復(fù)數(shù)可用實(shí)部和虛部表示，故復(fù)數(shù)