第一章 第2節(jié) 復(fù)數(shù)幾何表示

§2復(fù)數(shù)的幾何表示

第一章

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)下載地址:mkejian@163.comPin:mathematics一、復(fù)平面與復(fù)球面

1.復(fù)平面例1

將通過兩點的直線用復(fù)數(shù)形式的方程表示。分析：設(shè)直線上的點M表示復(fù)數(shù)z=x+iy如圖所示即注：若是過兩點線段若z為中點例2求方程表示的曲線分析：（1）以-i為圓心，2為半徑的圓，如圖所示（2）2i,-2的垂直平分線，如圖所示例2求方程表示的曲線分析：（3）設(shè)z=x+iy,則如圖所示O2.復(fù)球面1）.南極、北極的定義南極北極O思考：與N對應(yīng)的數(shù)？一一對應(yīng)除N外規(guī)定包括無窮遠點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面.不包括無窮遠點在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面.注：∞為復(fù)數(shù)，|∞|=+∞，輻角無意義若無特別說明，均認為復(fù)數(shù)集不含∞，無意義二、區(qū)域1.區(qū)域的概念集合中的各類點1）集合的各類點（集）一維空間：鄰域（開區(qū)間）（）二維空間：鄰域（開圓）鄰域:說明z0所對應(yīng)的點P的鄰域和去心鄰域也可分別記作U(P,d),說明O去心鄰域:說明內(nèi)點:內(nèi)點:開集:

如果

G內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點,那末G稱為開集.區(qū)域:

如果平面點集D滿足以下兩個條件,則稱它為一個區(qū)域.(1)D是一個開集；(2)D是連通的,就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.練習(xí)：判斷下列集合是否區(qū)域√√非連通非開集邊界點、邊界:

設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域,如果點

P不屬于D,但在

P

的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點,這樣的

P點我們稱為D的邊界點.D的所有邊界點組成D的邊界.說明

(1)區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的.

(2)區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點邊界有界區(qū)域和無界區(qū)域:(1)圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.2.單連通域與多連通域1）.連續(xù)曲線:平面曲線的復(fù)數(shù)表示:2）.光滑曲線:由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.3）.簡單曲線:

沒有重點的曲線C稱為簡單曲線(或若爾當曲線).換句話說,簡單曲線自身不相交.簡單閉曲線的性質(zhì):任意一條簡單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點集.內(nèi)部外部邊界課堂練習(xí)判斷下列曲線是否為簡單曲線?答案簡單閉簡單不閉不簡單閉不簡單不閉4.單連通域與多連通域的定義:復(fù)平面上的一個區(qū)域B,如果在其中