物質(zhì)結(jié)構(gòu)綜合練習(xí)（含答案）

物質(zhì)結(jié)構(gòu)綜合練習(xí)含答案

《物質(zhì)結(jié)構(gòu)》第一章習(xí)題(下)?

Lz(xiy)ixy(xiy)iixy(xiy)

yx

2

(注：習(xí)題中，分別用L和Lz表示軌道角動量的平方和z分量，課

2?

本上所采用的符號是M和Mz)Lz(xiy)ixy(xiy)iixy(xiy)

yx

?

1.證明函數(shù)x+iy，x-iy和z都是Lz的本征函數(shù)，并求相應(yīng)的本征值.?

Lzzixyz00z

yx

2.球諧函數(shù)Ylm(,)是_____和_____的共同本征函數(shù)，相應(yīng)的本征

值分別是___和____。故本征值分別為,,0

?2?2

3.球諧函數(shù)Ylm(,)lm(,)m()，其中l(wèi)m(,)是______，2.軌道角動量平方算符L，軌道角動量z分量算符Lz；l(l1)，

m()_____。m

12

11im

4.設(shè)一粒子的狀態(tài)為cosθ，證明：該狀態(tài)下，軌道角3.歸一化的聯(lián)屬勒讓德函數(shù)；()e

22

動量的平方L2有確定值，并求出角動量的大小。

4.只需證明L?2常數(shù)，其中常數(shù)(本征值)即為該狀態(tài)下L2的值。

2

11112

已知：在球極坐標(biāo)系中，L?22sinθ.L?22sinNcos

22sinθθ22

sinθθθsinθsinθ

212

12Nsin0

1sinθ

5.設(shè)一粒子的狀態(tài)為cosθsinθei，證明：該狀態(tài)下，

2

22Ncosθ22

軌道角動量的z分量有確定值。2

故L2有確定值2，得L2

6.設(shè)一個粒子的狀態(tài)是2YY，其中Y為球諧函數(shù)。問L2

2,12,0在球極坐標(biāo)系中，?，于是

5.Lzi

和Lz有無確定值，若有，其值是多少，若無，則求平均值。

設(shè)A?是任一可物理觀測量A的算符，其本征方程為?ii

LziNcossineNcossine

?

Aiaii

故有確定值。

(注意，本征值ai代表物理量A的僅有可能值，在本征函數(shù)i所Lz

描述的狀態(tài)下本征態(tài)，有確定值?222

()Aai)6.①Y2,1和Y2,0都是L的本征函數(shù)，并且本征值都是221＝6，

?2

【態(tài)疊加原理】體系的任一狀態(tài)可表示為任一量子力學(xué)算符A?因此，線性組合2Y2,1Y2,0仍是L的對應(yīng)于同一本征值的本征函數(shù)

線性算符的性質(zhì)。故2有確定值2。

的本征函數(shù)的線性組合(即本征態(tài)i的疊加)：()L6

?

Ψc11c22c33...cii②Y2,1和Y2,0都是Lz的本征函數(shù)，但本征值不同，分別是，0，

i?

故線性組合2Y2,1Y2,0不是Lz的本征函數(shù)?？梢则炞C如下：

??

可以證明：若本征函數(shù)i已經(jīng)是歸一化的，則LzLz(2Y2,1Y2,0)2Y2,10Y2,02Y2,1常數(shù)

2因此，在狀態(tài)下沒有確定值，，都有一定的出現(xiàn)幾率。

⑴疊加態(tài)的歸一化條件要求ci1Lz0

i

2在中，球諧函數(shù)是歸一化的，但線性組合系

⑵疊加態(tài)下A的平均值A(chǔ)ciai(ai是i對應(yīng)的本征值)2Y2,1Y2,0Ylm

i

2數(shù)的絕對值平方和=22+121，說明不是歸一化的。設(shè)的歸一

ci的意義：對性質(zhì)A測量時得到本征值ai的幾率。

化系數(shù)為N，則

222

7.類氫原子的定態(tài)波函數(shù)nlmr,θ,是____、_____、_____的共NN2Y2,1Y2,02NN1N1/5

同本征函數(shù)，本征值分別是____、____、____。224

于是，Lz的平均值L2NN0

z5

8.類氫原子的定態(tài)波函數(shù)nlmr,θ,可以寫作Rr,θ,三

2

個函數(shù)的乘積，這三個函數(shù)分別由量子數(shù)_____,_____,_____來7.哈密頓算符H?、軌道角動量平方算符L?、軌道角動量z分量算

?222

規(guī)定。符Lz；RZ/n、l(l1)、m.

8.n,l；l,m；m

9.寫出單電子原子的,R,,函數(shù)歸一化時的積分變量及積分區(qū)

間。9.:dτr2sinθdrdθd,r:0,,θ:0,,:0,2;

R:r2dr,0,

:sinθdθ,0,

【答案1-9】

:d,0,2.

?

1.在笛卡爾坐標(biāo)系中，Lzixy

yx

10.已知RYR，其中,R,Y,,皆為歸一化的波【答案10-21】

函數(shù)，請寫出,R,Y,,的歸一化表達(dá)式。22

10.r2sinθdrdθd1；

000

11.已知RYR，其中R,Y,,皆已歸一化，則下

2

2

列式中哪些成立？()Rr2drR2r2dr1；Ysinθdθd1

0000

2π

(A)2dr1(B)R2dr1(C)Y2dθd1

2

000022

sinθdθ2sinθdθ1；d1；

000

2π2π2

(C)Y2sinθdθd1(D)Ysinθdθd1

000022222

或者，r2sindrddRr2drYsindrdd

000000

π2π

(E)2sinθdθ1(F)2dθ1

002222

Rr2drsindrdd1111

000

12.以下關(guān)于方程的敘述何者有錯()

注意，R,是實函數(shù)，其絕對值平方就等于函數(shù)的平方，但以

(A)方程的解為mAexpim

及Y和有可能是復(fù)函數(shù)(除非明確是實函數(shù)，否則不可

2

(B)根據(jù)歸一化條件||2d1，可得A1/2去掉絕對值符號。

0m)

11.(D)(E)。

(C)由于m必須單值(邊界條件)，故m0,1,2,,l

?12.(C)。根據(jù)函數(shù)的單值性可確定m0,1,2,，但m的最大

(D)m是算符Lz的本征函數(shù)，故Lzm

(E)由方程的一對復(fù)函數(shù)解，線性組合可得實函數(shù)值l是通過解方程確定的。

im

13.解方程時，由于波函數(shù)eim要滿足連續(xù)條件，所以量子數(shù)m13.不對。e是連續(xù)函數(shù)，但不一定單值。若要求函數(shù)單值，則

只能為整數(shù)，對嗎？m只能為整數(shù).

不對，只能得到，自旋是非相對論量子力學(xué)的基本假設(shè)。

14.求解氫原子的Schr?dinger方程能自然得到n,l,m,ms四個量子14.n,l,m

數(shù)，對嗎？

23e2

15.2E；2s和2p態(tài)能量相同

15.寫出Li2+的薛定諤方程；比較Li2+的2s和2p態(tài)能量的高低。2m4ε0r

3/2Zr

2

1Za1*12

16.H原子的e0，列式計算①1/r的平均值，16.①1srsindd

1sr000r1s

a0

2

r

nbxn1121

②r的平均值。積分公式：xedxn!b,(n1,b0)rea0drsindd

03000

a0a0

17.對于H原子，2s和2p電子，平均來說，哪一個離核近些？

23

②r*rr2sindda

0001s1s20

3r3r

112r112r

R(r)2e2a0,R(r)e2a0

2s2p*2*2

22a0a026a0a017.rrdrrsindrdd

000

nbxn1

積分公式：xedxn!b,(n1,b0)232223

0RrdrYsindrddRrdr

0000

3+

18.三價鈹離子(Be)的1s軌道能應(yīng)為多少-R？()r

2

1r

對于2s電子，r2ea0r3dr6a

(A)13.6(B)1(C)16(D)4(E)0.52s300

8a0a0

19.若氫原子基態(tài)到某激發(fā)態(tài)躍遷光譜波長為1.217×10-5cm，求該

r

182

激發(fā)態(tài)的量子數(shù)n。(R13.6eV2.1810J)

1ra03

對于2p電子，rerdr5a0

2p24a30a

20.Li2+的一個電子所處的軌道的能量等于氫原子1s軌道能量，求00

該軌道可能是Li2+的哪個軌道？因此，2p電子離核的平均距離較近。

2+

該軌道是Li的主量子數(shù)為3的軌道，可能是3s,3p0,1或3d0,1,218.(C)

+2

21.H原子(氣態(tài))的電離能為___eV，He(氣態(tài))的電離能為___eV。1hchc

19.EEnE1R1，En12

n2λR

32

20.EHRE2RRn=3

Lin2

21.I=-E=13.6eV；54.4eV

22.求氫原子基態(tài)的動能和勢能平均值。并根據(jù)玻爾原子模型求電

子的線速度和deBr?glie波長.【答案22-38】

23.有兩個氫原子，第一個氫原子的電子處于主量子數(shù)n=1的軌1

22.①根據(jù)維里定理TV，

道，第二個氫原子的電子處于n=4的軌道。①原子勢能較低的2

是______，②原子的電離能較高的是____。有TE13.6eV，V2E27.2eV

24.對于單電子原子，在無外磁場時，能量相同的軌道數(shù)()61

②2T/m2.1910ms，h/(m)3.321010m

(A)n2(B)2(l+1)(C)2l+1(D)n-1(E)n-l-1

23.①第一個，②第一個

25求氫原子分別屬于能級①-R，②-R/9，③-R/25的簡并度。

24.(A)

26.分別寫出氫原子4d軌道和4f軌道的角動量的大小。

25.1,9,25

27.氫原子中的電子處在3d軌道之一，它的軌道量子數(shù)n,l,m的

26.4d軌道：l(l1)6;4f軌道：l(l1)23

可能值各是多少？

27.n=3,l=2,m=0,1,2

28.測定處于3d態(tài)的氫原子的軌道角動量的z分量，可能得到幾個

測定值？()28.(E)

(A)1(B)2(C)3(D)4(E)529.2；0

29.氫原子3d軌道角動量沿磁場方向分量的最大值和最小值分別30.不對，l確定后，軌道角動量的大小是能確定的，但其方向不

為___和___。能確定。

31.不對。m相同的軌道，l不一定相同，所以角動量不一定相等.

30.對單電子原子來說，角量子數(shù)l確定后，它的軌道角動量矢

32.1s,2s,2p,3s,3p,3d

量是能夠完全確定的，對嗎？000

33.3；0，2或6；2l+1=5

31.在單電子原子中，磁量子數(shù)m相同的軌道，其角動量的大小必

然相等，對嗎？34.(B)cosLz/L2/6

32.若一原子軌道的磁量子數(shù)為m=0，主量子數(shù)n≤3，則可能35.2p0軌道的量子數(shù)n=2,l=1,m=0

的軌道為____。12

①13.63.4eV②l(l1)2

2

33.已知一類氫離子處于E=-1.51Z2eV狀態(tài)，該狀態(tài)的n=_______，2

L0

該狀態(tài)中軌道角動量的大小為________，其中角動量最大的狀態(tài)③cosz090o

L2

下，角動量與外磁場方向(z軸方向)的可能夾角有_____個.

36.是歸一化的，故

34.類氫原子處于軌道322r,θ,中的電子，其軌道角動量與外

212121

磁場方向的夾角是()Ec1Rc2Rc1R

323222

(A)0°(B)35.5°(C)45°

2222222

Lc12c26c12

1r

35.已知H原子的era0cosθ

2p012

3a0222

42a0

Lzc1c20c1

試回答：①原子軌道能E；②軌道角動量的大小L；③軌道角動

37.態(tài)是四個本征態(tài)nlm的疊加，由于nlm是歸一化的，且線性

量和z軸夾角的度數(shù)。

組合系數(shù)的絕對值平方和=1，故也是歸一化的。

36.H原子中的歸一化波函數(shù)ccc所描述

131123203211Z2R

①ER，由Z=2得n=4。

的狀態(tài)的能量、角動量的平方和z軸分量的平均值各為多少？n24

2

1231R11

37.已知He+處于波函數(shù)E出現(xiàn)的幾率為

42104321232144214416

狀態(tài)，計算：①E=-R/4出現(xiàn)的幾率，②L2=22出現(xiàn)的幾率，③②L2l(l1)222，得l=1

2

Lz=-出現(xiàn)的幾率。11

L2=22出現(xiàn)的幾率為

416

38.已知類氫原子波函數(shù)nlmRnllmm，當(dāng)_____時，nlm為

實函數(shù)，否則為復(fù)函數(shù)。③Lzm，得m=1

22

3113

Lz=-出現(xiàn)的幾率為

2416

38.m0

2

③E和L仍有確定值，但Lz沒有確定值[因為線性組合得到的

39.類氫原子的一對復(fù)波函數(shù)n,l,m(m0)的線性組合給出一對

實函數(shù)，①寫出實函數(shù)的表達(dá)式，②指出這對實函數(shù)和復(fù)函數(shù)在?

這對實函數(shù)不再是Lzi(/)的本征函數(shù)]，由①知Lz

形式上有何不同，③在這對實函數(shù)描述的狀態(tài)下，能量、軌道角

動量的大小以及z分量有確定值嗎？的平均值為0。

40.①2px(cos型)和2py(sin型)是2p1的線性組合；

40.說明①2px,2py,2pz和2p0,1之間的關(guān)系；②3dxz,3dyz,3dx2-y2,

2pz2p0

3dxy,3dz2,3dxz和3d0,1,2之間的關(guān)系。

②3dxz(cos型)和3dyz(sin型)是3d1的線性組合；

41.2px,2py,2pz是簡并軌道，它們是否分別可用三個量子數(shù)表示：

3dx2-y2(cos型)和3dxy(sin型)是3d2的線性組合；

2px(n=2,l=1,m=+1);2py(n=2,l=1,m=-1);2pz(n=2,l=1,m=0)

3dz23d0

42.210與2p是否代表相同的狀態(tài)？

z41.除2pz外，否

43.與是否代表相同的狀態(tài)？是

2112px42.

43.否

44.類氫原子波函數(shù)①2pz,②2px,③2p+1中，是算符H?的本征函數(shù)

44.①②③；①②③；①③

?2?

是___，算符L的本征函數(shù)有___，算符Lz的本征函數(shù)有___。

45.①②③④；①②③④；①②③

45.波函數(shù)①2p+1,②3d+1,③3dz2,④(3d0+3d2)都是類氫原子的許可

46.-1.511，

狀態(tài)，其中是算符H?的本征函數(shù)是___，算符L?2的本征函數(shù)有

1im1

___，算符L?的本征函數(shù)有___。r和(因為3pz態(tài)3p0態(tài)，其函數(shù)為e)；

z22

氫原子處于定態(tài)的能量為，原子軌道只與變量

46.3pz____eV3pzE和角L2(或L)。

____有關(guān)，3p與3p____相同的簡并態(tài)。

zx47.(E)

47.氫原子波函數(shù)311與下列哪些波函數(shù)線性組合后的波函數(shù)與48.z分量有確定值0，但x和y分量都無確定值，平均值為0。[注：

???

屬于同一簡并能級？①，②，③。正確答npz即np0態(tài)，是L的本征函數(shù)，本征值為零。但npz不是L,L

300321311300zxy

????

案是()的本征函數(shù)，若用Lx,Ly計算平均值Lx,Ly，結(jié)果將皆為0]

(A)②(B)①②(C)①③(D)②③(E)①②③49.x分量有確定值0；y和z分量無確定值,平均值為0。[注，將npz

波函數(shù)中的rcos=z替換為rsincos=x可得npx波函數(shù)，替換為

48.類氫原子處于2pz態(tài)的電子，其角動量在x,y,z方向上的分量是

rsinsin=y可得np波函數(shù)，從圖形上看，np,np,np電子云圖

否具有確定值？若有，其值是多少？若沒有，其平均值是多少？yxyz

的形狀相同，只是空間取向不同。另外，對x,y,z循環(huán)替換，算符

49.類氫原子處于2px態(tài)的電子，其角動量在x,y,z方向上的分量是???

Lx,Ly,Lz也循環(huán)替換。于是，根據(jù)48題的結(jié)果容易得出答案]

否具有確定值？若有，其值是多少？若沒有，其平均值是多少？

Zr