2023-2024學(xué)年山西省太原市高二上學(xué)期期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat19頁(yè)2023-2024學(xué)年山西省太原市高二上學(xué)期期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】根據(jù)直線的斜率求得傾斜角.【詳解】直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：C2．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得，從而確定正確答案.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A3．圓的圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求得圓心坐標(biāo).【詳解】圓可化為，所以圓心坐標(biāo)為.故選：D4．已知，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B．5 C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】由于，所以.故選：A5．直線與直線之間的距離是（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)兩平行直線間的距離公式求得正確答案.【詳解】依題意，直線與直線之間的距離是：.故選：C6．已知直線，圓，則直線l與圓C的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【分析】求出直線所過(guò)定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】已知直線，變形為，由，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，代入圓的方程的左端有，即點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選：A7．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得正確答案.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：D8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義轉(zhuǎn)化，結(jié)合三點(diǎn)共線來(lái)求得的取值范圍.【詳解】依題意，，，，，，所以，當(dāng)位于線段與橢圓交點(diǎn)處時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)橢圓的定義可知，如圖所示，設(shè)的延長(zhǎng)線與橢圓相交于，則當(dāng)位于時(shí)，取得最大值為，綜上所述，的取值范圍為.故選：B【點(diǎn)睛】在橢圓中，求解橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、定點(diǎn)的距離的和或差的最值，可以考慮通過(guò)橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合三點(diǎn)共線來(lái)確定最值.在解題過(guò)程中，要畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖象，結(jié)合圖象來(lái)進(jìn)行求解.二、多選題9．已知圓與圓關(guān)于直線l對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．圓與圓相交C．直線的方程為 D．直線l的方程為【答案】BD【分析】根據(jù)對(duì)稱性求得，然后根據(jù)兩個(gè)圓的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓即，根據(jù)對(duì)稱性可知，解得，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.此時(shí)，圓心為，半徑.，由于，所以兩圓相交，B選項(xiàng)正確.直線的方程，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線斜率為，所以直線l的方程為，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD10．已知點(diǎn)分別是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為 B．橢圓的離心率C．面積的最大值為 D．的最大值為【答案】AD【分析】根據(jù)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、三角形面積、余弦定理、三角恒等變換等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】橢圓，，，設(shè)，，則，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以A選項(xiàng)正確.橢圓的離心率，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于為定值，所以當(dāng)位于橢圓的左右頂點(diǎn)時(shí)，三角形的面積取得最大值為，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為，當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最大值，此時(shí)為銳角，，所以此時(shí)也取得最大值，且的最大值為，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD11．已知直線，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線與相交于點(diǎn)B．直線和軸圍成的三角形的面積為C．直線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的直線方程為D．直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為【答案】AC【分析】通過(guò)聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積、對(duì)稱性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為，A選項(xiàng)正確.直線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，直線過(guò)原點(diǎn)，由圖可知，直線和軸圍成的三角形的面積為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.由上述分析可知，直線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的直線過(guò)點(diǎn)，所以直線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的直線方程為，所以C選項(xiàng)正確.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，所以直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為，即，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC12．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在上，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為B．的最大值為C．過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為D．過(guò)P作直線，使得直線與直線的夾角為，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，則的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、圓與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，直線和圓相離，所以的最小值為，A選項(xiàng)正確.由于是直線上任意一點(diǎn)，所以沒(méi)有最大值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，由于直線與直線的夾角為，所以等于到直線的距離的倍，所以的最大值為，D選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，的中點(diǎn)為，，所以以為圓心，為半徑的圓的方程為，整理得，由、兩式相減并化簡(jiǎn)得，即直線的方程為，到直線的距離為，所以，對(duì)于函數(shù)，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以，所以，所以，所以C選項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線和圓的位置關(guān)系有關(guān)題目，主要的方法是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，根據(jù)圖象以及圓的幾何性質(zhì)來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行研究.求解圓與圓相交所得弦長(zhǎng)，可利用兩個(gè)圓的方程相減來(lái)求得相交弦所在直線方程.三、填空題13．直線在軸上的截距為．【答案】【分析】根據(jù)截距的知識(shí)求得正確答案.【詳解】由，令，解得，所以直線在軸上的截距為.故答案為：14．已知，則向量與的夾角為．【答案】【分析】根據(jù)向量的夾角公式求得正確答案.【詳解】，則為銳角，所以.故答案為：15．已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（是坐標(biāo)原點(diǎn)），且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】（）【分析】設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由以及三點(diǎn)共線求得正確答案.【詳解】設(shè)，設(shè)，依題意可知，由于三點(diǎn)共線，所以，則，由于，所以，整理得（）.故答案為：（）

16．已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)P在C上（異于點(diǎn)），點(diǎn)Q是弦的中點(diǎn)，則的最大值為．【答案】/【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得坐標(biāo)，進(jìn)而求得的表達(dá)式，并利用三角恒等變換、基本不等式等知識(shí)求得的最大值.【詳解】依題意，設(shè)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，以及題目所求“的最大值”，不妨設(shè)，，則，即，所以由于，所以由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：

【點(diǎn)睛】在橢圓中，求解最值有關(guān)問(wèn)題，如線段長(zhǎng)度、面積、角度等量的最值，可考慮先求得其表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)選取合適的求最值的方法來(lái)進(jìn)行求解，如本題中，利用三角換元，然后結(jié)合基本不等式來(lái)求.還可以考慮二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解.四、解答題17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．(1)求直線的一般式方程；(2)求邊的垂直平分線的斜截式方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程并轉(zhuǎn)化為一般式方程.（2）求得垂直平分線的斜率，進(jìn)而求得其斜截式方程.【詳解】（1）由于分別是的中點(diǎn)，所以，所以，直線的方程為，即.（2），所以邊的垂直平分線的斜率為，所以邊的垂直平分線的斜截式方程為.18．如圖，四面體OABC各棱的棱長(zhǎng)都是1，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，記．(1)用向量表示向量；(2)利用向量法證明：．【答案】(1)(2)證明詳見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得正確答案.（2）通過(guò)證明來(lái)證得結(jié)論成立.【詳解】（1）連接，則（2），所以，所以.19．已知圓的圓心在x軸上，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)．(1)求圓的一般方程；(2)求圓與圓的公共弦的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過(guò)求圓心和半徑來(lái)求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再轉(zhuǎn)化為一般方程.（2）先求得公共弦所在直線方程，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理求得公共弦長(zhǎng).【詳解】（1）設(shè)，由得，解得，則，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑為，所以圓的一般方程為.（2）圓即，圓心為，半徑為，兩點(diǎn)的距離為，而，所以兩圓相交，由、，兩式相減并化簡(jiǎn)得，到直線的距離為，所以公共弦長(zhǎng)為.20．已知橢圓的離心率是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線分別與軸相交于點(diǎn)，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)直線求得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算出線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【詳解】（1）依題意，解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，畫(huà)出圖象如下圖所示，由圖可知直線的斜率存在，且，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，而，所以直線的方程為，令，解得，同理可求得，則，所以線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).

21．如圖，在幾何體中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D，E分別是，的中點(diǎn)，，平面ABC，．(1)若，求證：平面；(2)若平面與平面ABC夾角的余弦值為，求直線DE與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取AC的中點(diǎn)O，連接OD，易證OD⊥平面ABC，然后以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，論證，即可；（2）設(shè)，則，易知是平面ABC的一個(gè)法向量，再求得平面的一個(gè)法向量，由求得a，再利用線面角公式求解.【詳解】（1）證明：取AC