高中數(shù)學(xué)圓錐曲線基本知識與典型例題

PAGE高中數(shù)學(xué)圓錐曲線基本知識與典型例題第一部分：橢圓基本知識點(diǎn)1.橢圓的定義：第一定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓,這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.第二定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(0<e<1)的點(diǎn)的軌跡是橢圓,定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線,常數(shù)叫做橢圓的離心率.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)(如下表所示)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn),,對稱軸軸，軸，長軸長為，短軸長為焦點(diǎn)、、焦距焦距為離心率(0<e<1)準(zhǔn)線方程點(diǎn)P(x0,y0)的焦半徑公式|PF右|=a-ex0,|PF左|=a+ex0(“左加右減”)|PF上|=a-ey0,|PF下|=a+ey0注:1.焦半徑(橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的連線段)公式不要求記憶,但要會運(yùn)用橢圓的第二定義.2.橢圓參數(shù)方程：如圖點(diǎn)的軌跡為橢圓.典型例題例1.F1，F(xiàn)2是定點(diǎn)，且|F1F2|=6，動點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=6，則M點(diǎn)的軌跡方程是()(A)橢圓(B)直線(C)圓(D)線段例2.已知的周長是16，，B,則動點(diǎn)的軌跡方程是()(A)(B)(C)(D)例3.若F(c，0)是橢圓的右焦點(diǎn)，F(xiàn)與橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為M，最小值為m，則橢圓上與F點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是()(A)(c，)(C)(0，±b)(D)不存在例4.如果橢圓上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離為2.5，那么P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與到左焦點(diǎn)的距離之比是()。(A)3:1(B)4:1(C)15:2(D)5:1例5.設(shè)F1(-c，0)、F2(c，0)是橢圓+=1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點(diǎn),若∠PF1F2=5∠PF2F1,則橢圓的離心率為()(A)(B)(C)(D)例6.設(shè)A(－2,)，橢圓3x2＋4y2=48的右焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P在橢圓上移動，當(dāng)|AP|＋2|PF|取最小值時P點(diǎn)的坐標(biāo)是()。(0,2)(B)(0,－2)(C)(2,)(D)(－2,)例7.P點(diǎn)在橢圓上，F(xiàn)1、F2是兩個焦點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是.例8.寫出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸與短軸的和為18，焦距為6;.(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,并且經(jīng)過點(diǎn)(2，1);.(3)橢圓的兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,且短軸是長軸的;____.(4)離心率為，經(jīng)過點(diǎn)(2，0);.例9.是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，則的最大值是．例10.橢圓中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，e=，過橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，|PQ|=，且OP⊥OQ，求此橢圓的方程.第三部分：拋物線基本知識點(diǎn)1.拋物線的定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(點(diǎn)F不在上).定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)(如下表所示)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形對稱軸軸軸軸軸焦點(diǎn)頂點(diǎn)原點(diǎn)準(zhǔn)線離心率1點(diǎn)P(x0,y0)的焦半徑公式用到焦半徑自己推導(dǎo)一下即可如:開口向右的拋物線上的點(diǎn)P(x0,y0)的焦半徑等于x0+.注:1.通徑為2p，這是拋物線的過焦點(diǎn)的所有弦中最短的弦.2.(或)的參數(shù)方程為(或)(為參數(shù)).典型例題例21.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是的拋物線方程是()(A)x2=8y(B)x2=8y(C)y2=8x(D)y2=8x例22.拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()(A)(B)(C)(D)0例23.過點(diǎn)P(0,1)與拋物線y2=x有且只有一個交點(diǎn)的直線有()(A)4條(B)3條(C)2條(D)1條例24.過拋物線(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于()(A)2a(B)(C)(D)例25.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，2)，F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動，為使|PA|+|PF|取最小值，P點(diǎn)的坐標(biāo)為()(A)(3，3)(B)(2，2)(C)(，1) (D)(0，0)例26.動圓M過點(diǎn)F(0，2)且與直線y=-2相切，則圓心M的軌跡方程是.例27.過拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1、y2，則y1y2＝_________.例28.以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，通徑長為半徑的圓的方程是_____________.例29.過點(diǎn)(-1,0)的直線l與拋物線y2=6x有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的范圍是.例30設(shè)是一常數(shù)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）。(Ⅰ)試證:拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；(Ⅱ)求圓H的面積最小時直線AB的方程.第四部分：軌跡問題如何求曲線(點(diǎn)的軌跡)方程,它一般分為兩類基本題型：一是已知軌跡類型求其方程，常用待定系數(shù)法，如求直線及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類型，此時除了用代入法、交軌法、參數(shù)法等求軌跡的方法外，通常設(shè)法利用已知軌跡的定義解題，化歸為求已知軌跡類型的軌跡方程。因此在求動點(diǎn)軌跡方程的過程中，一是尋找與動點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的方程(等量關(guān)系)，側(cè)重于數(shù)的運(yùn)算，一是尋找與動點(diǎn)有關(guān)的幾何條件，側(cè)重于形，重視圖形幾何性質(zhì)的運(yùn)用。求軌跡方程的一般步驟:建、設(shè)、現(xiàn)（限）、代、化.例31.已知兩點(diǎn)M（－2，0），N（2，0），點(diǎn)P滿足=12，則點(diǎn)P的軌跡方程為（） 例32.⊙O1與⊙O2的半徑分別為1和2，|O1O2|=4，動圓與⊙O1內(nèi)切而與⊙O2外切，則動圓圓心軌跡是()(A)橢圓 (B)拋物線 (C)雙曲線 (D)雙曲線的一支例33.動點(diǎn)P在拋物線y2=-6x上運(yùn)動,定點(diǎn)A(0,1),線段PA中點(diǎn)的軌跡方程是()（A）(2y+1)2=-12x（B）(2y+1)2=12x（C）(2y-1)2=-12x（D）(2y-1)2=12x例34.過點(diǎn)（2，0）與圓相內(nèi)切的圓的圓心的軌跡是（）（A）橢圓（B）雙曲線（C）拋物線（D）圓例35.已知的周長是16，，B則動點(diǎn)的軌跡方程是()(A)(B)(C)(D)例36.橢圓中斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程為.例37.已知動圓P與定圓C:（x＋2）＋y＝１相外切，又與定直線l：x＝１相切,那么動圓的圓心P的軌跡方程是______________.例38.在直角坐標(biāo)系中,,則點(diǎn)的軌跡方程是______.第五部分：圓錐曲線綜合問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系⑴直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切、相離.直線方程是二元一次方程,圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組,經(jīng)過消元得到一個一元二次方程,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是、、.⑵直線與圓錐曲線相交所得的弦長直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,則它的弦長注:實質(zhì)上是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出來的,只是用了交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求的技巧而已(因為，運(yùn)用韋達(dá)定理來進(jìn)行計算.當(dāng)直線斜率不存在是,則.注:1.圓錐曲線，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡化運(yùn)算。2.當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理；二是點(diǎn)差法.3.圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍。例39.AB為過橢圓=1中心的弦，F(xiàn)(c，0)為橢圓的右焦點(diǎn)，則△AFB的面積最大值是()(A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc例40.若直線y＝kx＋2與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是（）,,,,例41.若雙曲線x2－y2=1右支上一點(diǎn)P(a,b)到直線y=x的距離為，則a＋b的值是().或(D)2或－2例42.拋物線y=x2上的點(diǎn)到直線2x-y=4的距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是())(B)(1,1)(C)()(D)(2,4)例43.拋物線y2=4x截直線所得弦長為3，則k的值是()(A)2(B)-2(C)4(D)-4例44.把曲線按向量平移后得曲線，曲線有一條準(zhǔn)線方程為，則的值為（） 例45.如果直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是.例46.已知拋物線上兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，且，那么m的值為.例47.以雙曲線－y2=1左焦點(diǎn)F，左準(zhǔn)線l為相應(yīng)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的橢圓截直線y=kx+3所得弦恰被x軸平分，則k的取值范圍是___________.例48.雙曲線3x2-y2=1上是否存在關(guān)于直線y=2x對稱的兩點(diǎn)A、B?若存在，試求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.例題答案例1.D例2.B例3.C先考慮M+m=2a，然后用驗證法.例4.B提示：e=,P點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為2.5，它到左焦點(diǎn)的距離是2，2a=10,P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是8，∴P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與到左焦點(diǎn)的距離之比是4:1;例5.B∵，∴.例6.C提示：橢圓3x2＋4y2=48中，a=4,c=2,e=,設(shè)橢圓上的P點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為d，則=,∴|AP|＋2|PF|=|AP|＋d,∴當(dāng)AP平行于x軸且P點(diǎn)在A點(diǎn)與右準(zhǔn)線之間時，|AP|＋d為一直線段，距離最小，此時P點(diǎn)縱坐標(biāo)等于，∴P點(diǎn)坐標(biāo)是(2,)例7.(3,4)或(-3,4)例8.(1)或;(2);(3)或;(4)或.例9.≤例10.解:設(shè)橢圓方程為+=1,(a>b>0)⑴PQ⊥x軸時，F(xiàn)(-c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=與題設(shè)e=不符,所以PQ不垂直x軸.⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2,所以橢圓方程可化為:3x2+12y2-4c2=0,將PQ方程代入，得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=,x1x2=由|PQ|=得·=①∵OP⊥OQ,∴·=-1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②把，代入，解②得k2=，把代入①解得c2=3∴a2=4,b2=1，則所求橢圓方程為+y2=1.例11.B例12.C例13.D例14.C例15.C例16.A假設(shè),由雙曲線定義且,解得而由勾股定理得[點(diǎn)評]考查雙曲線定義和方程思想.例17.例18.例19.⑴設(shè)雙曲線方程為(λ≠0),∴∴,∴雙曲線方程為;⑵設(shè)雙曲線方程為∴,解之得k=4,∴雙曲線方程為評注：與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為(λ≠0)，當(dāng)λ>0時，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)λ<0時，焦點(diǎn)在y軸上。與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線為(a2+k>0，b2-k>0)。比較上述兩種解法可知，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)可以提高解題質(zhì)量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準(zhǔn)確地理解解析幾何的基本思想.例20.解題思路分析：法一：顯然AB斜率存在設(shè)AB：y-2=k(x-1)由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0當(dāng)△>0時，設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）則∴k=1，滿足△>0∴直線AB：y=x+1法二：設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）則兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)∵x1≠x2∴∴∴AB：y=x+1代入得：△>0評注：法一為韋達(dá)定理法，法二稱為點(diǎn)差法，當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時，常用這兩種途徑處理。在利用點(diǎn)差法時，必須檢驗條件△>0是否成立。（2）此類探索性命題通?？隙M足條件的結(jié)論存在，然后求出該結(jié)論，并檢驗是否滿足所有條件.本題應(yīng)著重分析圓的幾何性質(zhì)，以定圓心和定半徑這兩定為中心設(shè)A、B、C、D共圓于⊙OM，因AB為弦，故M在AB垂直平分線即CD上；又CD為弦，故圓心M為CD中點(diǎn)。因此只需證CD中點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0設(shè)C（x3,y3），D（x4,y4），CD中點(diǎn)M（x0,y0）則∴M（-3，6）∴|MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|∴A、B、C、D在以CD中點(diǎn)，M（-3，6）為圓心，為半徑的圓上評注：充分分析平面圖形的幾何性質(zhì)可以使解題思路更清晰，在復(fù)習(xí)中必須引起足夠重視.例21.B()例22.B例23.B(過P可作拋物線的切線兩條，還有一條與x軸平行的直線也滿足要求。)例24.C作為選擇題可采用特殊值法,取過焦點(diǎn)，且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所形成線段分別為p,q，則p=q=|FK|,例25.解析：運(yùn)用拋物線的準(zhǔn)線性質(zhì).答案：B例26.x2=8y例27.－p2例28.例29.例30.解：由題意，直線AB不能是水平線，故可設(shè)直線方程為：.又設(shè)，則其坐標(biāo)滿足消去x得由此得∴因此,即.故O必在圓H的圓周上.又由題意圓心H（）是AB的中點(diǎn)，故由前已證OH應(yīng)是圓H的半徑，且.從而當(dāng)k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.此時，直線AB的方程為：x=2p.注:1.解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般方法是聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，必須討論二次項系數(shù)和判別式△，利用韋達(dá)定理尋找兩根之和與兩根之積之間的關(guān)系．求解有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為簡潔．此題設(shè)直線方程為x=ky+2p；因為直線過x軸上是點(diǎn)Q(2p，0)，通常可以這樣設(shè)，可避免對