重積分習(xí)題課

習(xí)題課一、重積分計(jì)算的根本方法二、重積分計(jì)算的根本技巧三、重積分的應(yīng)用

第十章重積分的計(jì)算及應(yīng)用1精選ppt定義幾何意義性質(zhì)計(jì)算法應(yīng)用二重積分定義幾何意義性質(zhì)計(jì)算法應(yīng)用三重積分一、主要內(nèi)容2精選ppt1、二重積分的定義3精選ppt２、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．4精選ppt性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２３、二重積分的性質(zhì)5精選ppt性質(zhì)３對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積性質(zhì)５假設(shè)在D上，特殊地6精選ppt性質(zhì)６性質(zhì)７〔二重積分中值定理〕7精選ppt４、二重積分的計(jì)算［X－型］

X-型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).〔１〕直角坐標(biāo)系下8精選ppt

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).［Y－型］9精選ppt〔２〕極坐標(biāo)系下10精選ppt11精選ppt5、二重積分的應(yīng)用(1)體積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面積12精選ppt當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.(3)重心13精選ppt薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對(duì)于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(4)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量14精選ppt薄片對(duì)

軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力為引力常數(shù)(5)引力15精選ppt6、三重積分的定義16精選ppt7、三重積分的幾何意義8、三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)．17精選ppt9、三重積分的計(jì)算(１)直角坐標(biāo)18精選ppt(２)柱面坐標(biāo)19精選ppt(３)球面坐標(biāo)20精選ppt10、三重積分的應(yīng)用(１)重心21精選ppt(２)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量22精選ppt二、典型例題例1解X-型23精選ppt例2計(jì)算積分其中D由所圍成

.提示:如下圖連續(xù),所以24精選ppt例3解先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖25精選ppt例4解26精選ppt27精選ppt例5解28精選ppt例6解29精選ppt30精選ppt例7

證31精選ppt例8

解32精選ppt33精選ppt例9

解利用球面坐標(biāo)34精選ppt例10

解35精選ppt例11

證思路：從改變積分次序入手．36精選ppt測(cè)驗(yàn)題37精選ppt38精選ppt39精選ppt40精選ppt41精選ppt42精選ppt43精選ppt44精選ppt測(cè)驗(yàn)題答案45精選ppt46精選ppt一、重積分計(jì)算的根本方法1.選擇適宜的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量別離.2.選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內(nèi)到外:

面、線、點(diǎn))3.掌握確定積分限的方法——累次積分法47精選ppt二、重積分計(jì)算的根本技巧分塊積分法利用對(duì)稱性1.交換積分順序的方法2.利用對(duì)稱性或重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算3.消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)4.利用重積分換元公式48精選ppt例1.

計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對(duì)稱性.圍成.49精選ppt(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對(duì)稱性,得50精選ppt例2.計(jì)算二重積分其中D是由曲所圍成的平面域.解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標(biāo)51精選ppt例3.計(jì)算二重積分在第一象限局部.解:(1)兩局部,那么其中D為圓域把與D分成作輔助線52精選ppt(2)提示:兩局部說(shuō)明:假設(shè)不用對(duì)稱性,需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào).作輔助線將D分成53精選ppt例4.如下圖交換以下二次積分的順序:解:54精選ppt例5.解:

在球坐標(biāo)系下利用洛必達(dá)法那么與導(dǎo)數(shù)定義,得其中55精選ppt三、重積分的應(yīng)用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積,形心質(zhì)量,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,質(zhì)心,引力證明某些結(jié)論等2.物理方面3.其它方面56精選ppt例6.證明證:左端=右端57精選ppt例7.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,其中(1)討論F(t)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性;(2)證明t>0時(shí),(03考研)58精選ppt解:

(1)

因?yàn)閮蛇厡?duì)

t

求導(dǎo),得59精選ppt(2)

問(wèn)題轉(zhuǎn)化