專題11.9 三角形章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（人教版）（解析版）

專題11.9三角形章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1確定第三邊的取值范圍】 1【題型2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】 3【題型3利用三角形的中線求長度】 5【題型4三角形的高與面積有關(guān)的計算】 8【題型5三角形的穩(wěn)定性】 13【題型6三角形中的角平分線、中線、高有關(guān)的綜合計算】 15【題型7三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計算】 20【題型8多邊形內(nèi)角和、外角和有關(guān)的計算】 28【題型9多邊形截角、少（多）算一個角問題】 32【題型10多邊形外角和的實際應(yīng)用】 35【題型1確定第三邊的取值范圍】【例1】（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）一個三角形的3邊長分別是xcm、3x-3cm，x+2cm，它的周長不超過39cm．則x的取值范圍是（

）A．53<x<5 B．5<x≤8 C．53【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系和周長不超過39cm可列出不等式組求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得{x+(3x-3)>x+2∴53故選：A．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系和解不等式組，根據(jù)條件列出不等式組求解是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）已知a，b，c為△ABC的三邊長，b，c滿足b-2+(c-3)2=0，且a為方程a-5=1【答案】9【分析】利用絕對值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出b=2、c=3的值，再解絕對值方程可得a=6或a=4，進而利用三角形三邊關(guān)系得出a的值，進而求出△ABC的周長．【詳解】解：∵b-2+∴b-2=0且c-3=0，∴b=2、c=3，∵a為方程a-5=1∴a=6或a=4，又2+3<6，∴a=4，則△ABC的周長為2+3+4=9，故答案為：9．【點睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及絕對值的性質(zhì)和偶次方的性質(zhì)，得出a的值是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·河南鄭州·八年級鄭州中學(xué)校聯(lián)考期中）有長度分別是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任選其中三根首尾相接圍成三角形，可以圍成不同形狀的三角形的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐一判斷即可．【詳解】解：若選取長度分別是4cm、5cm、8cm的小棒，4+5>8，故能圍成三角形；若選取長度分別是4cm、5cm、9cm的小棒，4+5=9，故不能圍成三角形；若選取長度分別是5cm、8cm、9cm的小棒，5+8>9，故能圍成三角形；若選取長度分別是4cm、8cm、9cm的小棒，4+8>9，故能圍成三角形．綜上所述，可以圍成3種不同形狀的三角形．故選：D．【點睛】此題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，掌握三角形的三邊關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）三角形的三邊長分別為2，2x-1，5，則x的取值范圍是．【答案】2<x<4【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：①任意兩邊之和大于第三邊；②任意兩邊之差小于第三邊，即可得出第三邊的取值范圍，進而求出x的取值范圍．【詳解】解：∵三角形的兩邊長分別為2和5，∴第三邊2x-1的取值范圍是：5-2<2x-1<5+2，解得：2<x<4．故答案為：2<x<4．【點睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系和解不等式組，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理是解決問題的關(guān)鍵．【題型2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例2】（2023春·廣東深圳·八年級深圳中學(xué)?？计谀┤鐖D，用五個螺絲將五條不可彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為1、2、3、4、5，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時不破壞此木框，則任兩螺絲的距離之最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】若兩個螺絲的距離最大，則此時這個木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條線段的長來判斷三角形的最長邊時的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可．【詳解】解：相鄰兩螺絲的距離依次為1、2、3、4、5；①選4+5作為三角形的一邊、另外的線段構(gòu)成三角形另外兩邊，而1+2+3=②選3+4作為三角形的一邊，另外的線段構(gòu)成三角形另外兩邊為2和6或3和5，而1+2+5=8>3+4，6-2<7，此時最大邊長為7；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為7．故選：B．【點睛】此題實際考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方法是解答的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）小明家和小亮家到學(xué)校的直線距離分別是5km和3km，那么小明到小亮家的直線距離不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【答案】A【分析】根據(jù)小明家和小亮家與學(xué)校共線，小明家和小亮家與學(xué)校不共線，兩種情況進行求解即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)小明家和小亮家與學(xué)校共線，小明家和小亮家的直線距離為5-3=2（km）或5+3=8（km）；當(dāng)小明家和小亮家與學(xué)校不共線，由三角形三邊關(guān)系可知，小明家和小亮家的直線距離大于2km，小于8km，綜上，小明家和小亮家的直線距離不可能是1km，故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)加減運算的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．【變式2-2】（2023秋·新疆和田·八年級統(tǒng)考期末）已經(jīng)有兩根木條，長分別是2cm和6cm，現(xiàn)要用3根木條組成三角形，還要從下面4根木條中選一根，可以是（

）A．4cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】B【分析】設(shè)第三根木條的長度為xcm，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系列不等式組求出x的范圍，然后選出滿足條件的選項即可【詳解】設(shè)第三根木條的長度為xcm6-2<x<6+2，解得4<x<8.故選：B．【點睛】本題考查了三角形三邊之間的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式2-3】（2023春·北京西城·八年級統(tǒng)考期末）以某公園西門O為原點建立平面直角坐標(biāo)系，東門A和景點B的坐標(biāo)分別是(6,0)和(4,4)．如圖1，甲的游覽路線是：O→B→A，其折線段的路程總長記為l1．如圖2，景點C和D分別在線段OB,BA上，乙的游覽路線是：O→C→D→A，其折線段的路程總長記為l2．如圖3，景點E和G分別在線段OB,BA上，景點F在線段OA上，丙的游覽路線是：O→E→F→G→A，其折線段的路程總長記為l3．下列l(wèi)1，l2

A．l1=l2=l3 B．l1<l【答案】D【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可證明l1>l【詳解】解：由題意可得：l1l2∴l(xiāng)1將線段EF平移可得到線段BG，將線段FG平移可得到線段BE，∴BE=FG,EF=BG，∴l(xiāng)3∴l(xiāng)1故選：D．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，平移的性質(zhì)，題目新穎，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵．【題型3利用三角形的中線求長度】【例3】（2023春·云南·八年級云南師大附中?？计谀┮阎?，已知ΔABC的周長為33cm，AD是BC邊上的中線，AB=3（1）如圖，當(dāng)AC=10cm時，求BD的長．（2）若AC=12cm，能否求出DC的長？為什么？【答案】（1）4cm；（2）不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)三角形周長和邊的關(guān)系解答即可．【詳解】（1）∵AB=32AC∴AB=15cm，又∵ΔABC的周長是33cm，∴BC=8cm，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=1（2）不能，理由如下：∵AB=32AC∴AB=18cm，又∵ΔABC的周長是33cm，∴BC=3cm，∵AC+BC=15<AB=18，∴不能構(gòu)成三角形ABC，則不能求出DC的長．【點睛】此題考查三角形的中線、高、角平分線，關(guān)鍵是根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答．【變式3-1】（2023秋·全國·八年級期中）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多3，AB與AC的和為13，則AC的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線的定義得到BD=DC，根據(jù)三角形的周長公式得到AC-AB=3，根據(jù)題意列出方程組，解方程組得到答案．【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC，由題意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，整理得，AC﹣AB＝3，則AC-AB＝解得，AC＝故選B．【點睛】此題考查三角形的中線的概念，解題關(guān)鍵在于掌握三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．【變式3-2】（2023秋·山東德州·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC的周長為24cm，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，AD，BE相交于點O，CO的延長線交AB于點F，且BD＝4cm，AE＝3.5cm，求AF的長．【答案】AF＝4.5(cm)．【分析】此題主要考查三角形的中線，利用三角形的周長求出AB的長度，然后利用中線便可解出答案.【詳解】∵AD，BE是△ABC的中線，∴BC＝2BD，AC＝2AE，CF是△ABC的中線，∴AF＝AB.∵BD＝4cm，AE＝3.5cm，∴BC＝8cm，AC＝7cm.∵△ABC的周長是24cm，∴AB＝24－(BC＋AC)＝24－(8＋7)＝9(cm)，∴AF＝×9＝4.5(cm)．【點睛】此題主要考查三角形的中線特點，需熟練運用三角形的各種定理來解題.【變式3-3】（2023秋·黑龍江大慶·八年級?？计谥校┤鐖D，已知AD、AE分別是△ABC的高和中線AB=9cm,AC=12cm，BC=15(1)△ABE的面積；(2)AD的長度；(3)△ACE與△ABE的周長的差．【答案】(1)27cm(2)365(3)3cm【分析】（1）先根據(jù)三角形面積公式計算出SΔABC=54cm2，然后利用AE是邊（2）利用面積法得到12AD?BC=12（3）由△ACE的周長－△ABE的周長=AC-AB，即可求得答案．【詳解】（1）解：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴S∵AE是BC上的中線，∴BE=EC，∴S∴S（2）解：∵∠BAC=90°，AD是∴1∴AD=AB?ACBC=（3）解：∵AE是BC邊上的中線，∴BE=CE，∴△ACE的周長－△ABE的周長=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm即△ACE和△ABE的周長差是3cm【點睛】本題考查了三角形的面積公式，以及三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與公式是解決此題的關(guān)鍵．【題型4三角形的高與面積有關(guān)的計算】【例4】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校?？计谀┰凇鰽BC中，AD是高，AD=6，CD=1，若△ABC的面積為12，則線段BD的長度為．【答案】3或5【分析】根據(jù)題意分AD在△ABC內(nèi)部和AD在△ABC外部兩種情況進行討論，根據(jù)三角形的面積公式求得BC長度，再根據(jù)邊之間的和差關(guān)系求解即可．【詳解】當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時，如下圖

根據(jù)題意可知：S△ABC=12S解得：BC=4∵CD=1∴BD=BC-CD=4-1=3當(dāng)AD在△ABC外部時，如下圖

根據(jù)題意可知S△ABC=12S解得：BC=4∴BD=BC+CD=4+1=5故答案為：3或5．【點睛】本題考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出相關(guān)的圖形（AD在△ABC內(nèi)部和外部)，數(shù)形結(jié)合進行求解．【變式4-1】（2023春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC．(1)畫出△ABC的三條高AD、(2)在（1）的條件下，若AB=6，BC=3，CF=2，則AD=______．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）根據(jù)三角形的高線的畫法畫出AD、（2）根據(jù)面積相等可得出12AB?CF=1【詳解】（1）如圖，AD、（2）∵CF是AB邊上的高，AD是BC邊上的高，∴S△ABC∵AB=6，BC=3，CF=2，∴12解得，AD=4，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了三角形高的畫法以及與高有關(guān)的面積計算，正確識圖是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·上海寶山·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，按下列要求畫圖并填空：

(1)畫△ABC邊AB上的高CD；(2)E在CD上，連接BE，使得S△ABC=S(3)已知BD=3，CD=4，DE=1，那么點C到直線AB的距離為_______，△ADC的面積為_______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)4，3【分析】（1）根據(jù)畫高的方法作圖即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)只需要令A(yù)E∥BC即可得到S△ABC（3）根據(jù)點到直線的距離的定義即可求出點C到直線AB的距離；先求出S△BDE=32，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到【詳解】（1）解：如圖所示，CD即為所求；

（2）解：如圖所示，點E即為所求；

（3）解：∵CD⊥AB，CD=4，∴點C到直線AB的距離為4；∵BD=3，DE=1，∴S△BDE∵AE∥BC，∴S△ABC∴S△ACD【點睛】本題主要考查了畫三角形的高，畫平行線，三角形面積，平行線的性質(zhì)等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谥校┤鐖D是由邊長都是1的小正方形組成的網(wǎng)格．圖中各點均在格點上，請按以下要求畫圖．①所畫頂點必須在格點上；②標(biāo)清指定的字母；③不得出格．(1)在圖甲中面出△ABC中BC邊上的高AD；(2)在圖乙中畫出一個Rt△EBC，且△EBC的面積是圖甲中△ABC面積的2(3)在圖丙中畫出一個銳角三角形△MBC，且面積為15．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）延長CB，過點A垂直CB的延長線的線段即所求；（2）根據(jù)S△ABC=5，可得S△EBC=10，即可求出△EBC中BC的高，即可確定點E，再分別連接（3）根據(jù)銳角三角形△MBC的面積可求△MBC中BC上的高為6，即可確定點M，再連接MB、MC即可．【詳解】（1）解：如圖，線段AD即為△ABC中BC邊上的高；（2）解：由（1）可得：S△ABC=5，∵△EBC的面積是圖甲中△ABC面積的2倍，∴S△EBC=2×5=10，如圖，（3）解：∵銳角三角形△MBC的面積為15，BC=5，∴△MBC中BC上的高為：15×25∴點M距離BC邊為6，如圖，△MBC即所求．【點睛】本題考查網(wǎng)格畫三角形的高，三角形高的有關(guān)計算及利用網(wǎng)格求三角形的面積，熟練掌握三角形面積求出三角形的高是解題的關(guān)鍵．【題型5三角形的穩(wěn)定性】【例5】（2023秋·北京·八年級?？计谥校┫铝袌D形中不具備穩(wěn)定性的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】三角形具有穩(wěn)定性，只要選項中的圖形可以分解成三角形，則圖形就有穩(wěn)定性，據(jù)此即可確定．【詳解】解：A、可以看成兩個三角形，而三角形具有穩(wěn)定性，則這個圖形一定具有穩(wěn)定性，故本選項錯誤；B、可以看成三個三角形，而三角形具有穩(wěn)定性，則這個圖形一定具有穩(wěn)定性，故本選項錯誤；C、可以看成一個三角形和一個四邊形，而四邊形不具有穩(wěn)定性，則這個圖形一定不具有穩(wěn)定性，故本選項正確；D、可以看成7個三角形，而三角形具有穩(wěn)定性，則這個圖形一定具有穩(wěn)定性，故本選項錯誤．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，正確理解各個圖形具有穩(wěn)定性的條件是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023秋·四川瀘州·八年級四川省瀘縣第四中學(xué)?？计谀┤鐖D，某中學(xué)的電動伸縮校門利用的數(shù)學(xué)原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點之間，線段最短C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．四邊形的不穩(wěn)定性【答案】D【分析】根據(jù)電動伸縮門的工作原理，結(jié)合四邊形的不穩(wěn)定性即可得到答案．【詳解】解：∵電動伸縮門的整體形狀為四邊形，且電動伸縮門的長度可以伸長和變短，∴利用的是四邊形的不穩(wěn)定性，故選D．【點睛】本題考查四邊形的性質(zhì)，熟練掌握四邊形的相關(guān)知識的解本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023秋·廣西南寧·八年級南寧市天桃實驗學(xué)校?？计谥校┮顾倪呅文炯懿蛔冃?，至少要再釘幾根木條（

）A．4 B．2 C．1 D．3【答案】C【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可得：沿對角線釘上1根木條即可．【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得，至少要再釘上1根木條．故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形具有穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性．【變式5-3】（2023春·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是一個用六根竹條連接而成的凸六邊形風(fēng)箏骨架，考慮到骨架的穩(wěn)固性、美觀性、實用性等因素，需再加竹條與其頂點連接．要求：（1）在圖（1）、（2）中分別加適當(dāng)根竹條，設(shè)計出兩種不同的連接方案．（2）通過上面的設(shè)計，可以看出至少需再加根竹條，才能保證風(fēng)箏骨架穩(wěn)固、美觀和實用．（3）在上面的方案設(shè)計過程中，你所應(yīng)用的數(shù)學(xué)道理是．【答案】（1）答案見解析；（2）三；（3）三角形的穩(wěn)定性．【詳解】解：（1）如圖所示（答案不唯一）（2）至少要三根故答案為：三；（3）三角形的穩(wěn)定性．【題型6三角形中的角平分線、中線、高有關(guān)的綜合計算】【例6】（2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點G，交BE于點H，下面結(jié)論：①△ABE的面積＝A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定△ABE和△BCE的面積關(guān)系以及求出【詳解】解：∵BE是△∴AE∴△ABE的面積等于△BCE故①正確；∵∠BAC=90°，AD是∴∠AFG+∠ACG∵CF是△∠ACG∴∠又∵∠DGC∴∠AFG故②正確；

∵∠FAG∴∠FAG∵∠ACD∴∠FAG故③正確；∵2S∴AD故④錯誤；故選：C【點睛】本題考查了三角形的中線、高、角平分線，靈活運用三角形的中線、高、角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023秋·江西南昌·八年級?？计谀┤鐖D所示，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，∠CAB=90°．(1)求AD的長．(2)求△ABE的面積．【答案】（1）125cm；（2）3cm【分析】（1）利用“面積法”來求線段AD的長度；（2）△AEC與△ABE是等底同高的兩個三角形，它們的面積相等【詳解】解：∵∠BAC=90°，AD是邊BC上的高，∴12AB?AC=12∴AD=AB?ACBC=3×45=125（2）如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm，AC=4cm，∴S△ABC=12AB?AC=12×3×4=6（cm又∵AE是邊BC的中線，∴BE=EC，∴12BE?AD=12EC?AD，即S△ABE=S△∴S△ABE=12S△ABC=3（cm2∴△ABE的面積是3cm2．【點睛】本題考查了中線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用三角形面積的兩個表達式相等，求出AD．【變式6-2】（2023春·陜西商洛·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四個結(jié)論：①AH⊥EF；②∠ABF=∠EFB；③AC∥BE；④A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、余角的性質(zhì)等來判斷即可．【詳解】解：∵AH⊥BC，EF∥BC，∴AH⊥EF，故①正確；∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠CBF，∴∠ABF＝∠EFB，故②正確；∵BE⊥BF，而AC與BF不一定垂直，∴BE∥AC不一定成立，故③錯誤；∵BE⊥BF，∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，∴∠E＝∠ABE，故④正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及余角的性質(zhì)等的運用，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式6-3】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ΔABC中，CD是AB邊上的高，CE是∠ACB的平分線.（1）若∠A=40°，∠B=76（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度數(shù)（用含α，β的式子表示）（3）當(dāng)線段CD沿DA方向平移時，平移后的線段與線段CE交于G點，與AB交于H點，若∠A=α，∠B=β，求∠HGE與α、β的數(shù)量關(guān)系.【答案】（1）∠DCE＝18°；；（2）12(β－α)；（3）∠HGE＝12(β－【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB=64°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ECB=12∠ACB=32°，根據(jù)余角的定義得到∠DCE=90°-∠DEC=184°（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠ACB=180°-α-β，根據(jù)角平分線的定義得到∠ECB=12∠ACB=12（180°-α-β），根據(jù)余角的定義得到（3）作出平移圖，因為GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）得到∠DCE＝12(β－α)，進而得到∠HGE＝12(β【詳解】解：（1）∵∠A＝40°，∠B＝76°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－76°＝64°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝12∠ACB＝12×64°＝∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝40°＋32°＝72°，∵CD是AB邊上的高，∴∠CDE＝90°，∴∠DCE＝90°－∠DEC＝90°－72°＝18°；（2）∵∠A＝α，∠B＝β，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－α－β，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝12∠ACB＝12(180°－α－β)＝90°－12α－∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝α＋90°－12α－12β=90°＋12α－∵CE是AB邊上的高，∴∠CDE＝90°，∴∠ECD＝90°－∠DEC＝90°－(90°＋12α－12β)＝12β＝12(β－α)（3）如圖，由平移知GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）知∠DCE＝12(β－α)所以∠HGE＝∠DCE＝12(β－α)即∠HGE與α，β的數(shù)量關(guān)系為∠HGE＝12(β－α)【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．【題型7三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計算】【例7】（2023春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．點F與A位于線段BC所在直線的兩側(cè)，分別延長AB、AC至點D、E．

【特殊化思考】若∠A=∠F時，請嘗試探究：（1）當(dāng)F在∠A內(nèi)部時，請直接寫出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為__________；（2）當(dāng)F在∠A外部時，請直接寫出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為__________；（3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．無論點F在∠A內(nèi)部（如圖③）還是∠A外部（如圖④）時，都有CG∥BH，請選擇一幅圖進行證明；

【一般化探究】若∠A<∠F時，請嘗試探究：（4）若射線CG、BH分別是∠ECF，∠DBF的n等分線（n為大于2的正整數(shù)），且∠ECG=1n∠ECF，∠HBD=1n∠DBF．當(dāng)CG∥BH時，直接寫出【答案】（1）∠ECF+∠DBF=2∠A；（2）∠ECF-∠DBF=2∠A；（3）見解析；（4）∠F=(n-1)∠A【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義得到∠ECF+∠DBF=∠A+∠F，再根據(jù)∠A=∠F，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義得到∠ECF-∠DBF=∠A+∠F，再根據(jù)∠A=∠F，即可得出結(jié)論；（3）選圖3證明，根據(jù)角平分線的定義及（1）中的結(jié)論得出∠GCF+∠HBF=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定證明即可；（4）先根據(jù)平行公理的推論得到FM∥BH，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可得出∠A與【詳解】解：（1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△FBC中，∠F+∠FBC+∠FCB=180°，∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°-(∠A+∠F)，∵∠ECF+∠ACB+∠FCB=180°，∠DBF+∠ABC+∠FBC=180°，∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°-(∠ECF+∠DBF)，∴∠ECF+∠DBF=∠A+∠F，∵∠A=∠F，∴∠ECF+∠DBF=2∠A，故答案為：∠ECF+∠DBF=2∠A；（2）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△FBC中，∠F+∠FBC+∠FCB=180°，∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°-(∠A+∠F)，∵∠ECF+∠ACB+∠FCB=180°，∠FBC-∠DBF+∠ABC=180°，∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°-(∠ECF-∠DBF)，∴∠ECF-∠DBF=∠A+∠F，∵∠A=∠F，∴∠ECF-∠DBF=2∠A，故答案為：∠ECF-∠DBF=2∠A；（3）選擇圖③，證明：如圖，

過點F作FM∥∴∠GCF=∠CFM，∵CG平分∠ECF，BH平分∠DBF，∴∠GCF=12∠ECF由（1）知∠ECF+∠DBF=2∠A=2∠F，∴∠GCF+∠HBF=1∴∠CFM+∠HBF=∠F，∵∠CFM+∠BFM=∠F，∴∠HBF=∠BFM，∴FM∥∴CG∥選擇圖④，證明：如圖，設(shè)BF與CG交于點N，

∵CG平分∠ECF，BH平分∠DBF，∴∠GCF=12∠ECF同（2）可得：∠DBF-∠ECF=2∠A，∵∠A=∠F，∴∠DBF-∠ECF=2∠F，∴∠HBF-∠GCF=1∵∠FNG是△FCN的一個外角，∴∠FNG=∠GCF+∠F，即∠FNG-∠GCF=∠F，∴∠FNG=∠HBF，∴CG∥（4）證明：∵∠A<∠F，∴F只能在∠A內(nèi)部，如圖，過點F作FM∥

∵CG∥∴FM∥連接AF，∵FM∥∴∠GCF=∠CFM，又∵FM∥∴∠HBF=∠BFM，又∵∠ECG=1n∠ECF∴∠GCF=n-1n∠ECF∴∠BFC=∠CFM+∠BFM=∠GCF+HBF==n-1又∵∠ECF=∠CAF+∠AFC，∠DBF=∠BAF+∠AFB，∴∠ECF+∠DBF=∠CAF+∠AFC+∠BAF+∠AFB=∠BAC+∠BFC，∴∠BFC=n-1∴1n∴∠BFC=(n-1)∠BAC，即∠F=(n-1)∠A．故答案為：∠F=(n-1)∠A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，熟記三角形內(nèi)角和是180°是解題的關(guān)鍵，同時應(yīng)熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定及角平分線的定義．【變式7-1】（2023秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，CD∥AB，點E在BD延長線上，且∠BEF=70°，點H在AB上，HF交BD于G點．

(1)求證：∠AHF>∠CDE；(2)若∠AHF-∠CDE=30°，求∠F的度數(shù)【答案】(1)見解析(2)80°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠CDE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠AHF>∠B，即可推得∠AHF>∠CDE；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠CDE，結(jié)合題意可得∠AHF-∠B=30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠HGB=30°，根據(jù)對頂角的性質(zhì)可得∠EGF=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠F=80°．【詳解】（1）證明：∵CD∥AB，∴∠B=∠CDE，∵∠AHF是△BHG的一個外角，∴∠AHF>∠B，∴∠AHF>∠CDE．（2）解：∵CD∥AB，∴∠B=∠CDE，∵∠AHF-∠CDE=30°，∴∠AHF-∠B=30°，∵∠AHF是△BHG的一個外角，∴∠AHF=∠B+∠HGB，∴∠HGB=∠AHF-∠B=30°，∵∠HGB=∠EGF，∴∠EGF=30°，∵∠BEF=70°，∠BEF+∠EGF+∠F=180°，∴∠F=180°-∠BEF-∠EGF=180°-70°-30°=80°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)校考期中）已知，在△ABC中，∠ACB=∠CDB=m°0<m<180，AE是角平分線，D是AB上的點，AE、CD相交于點F

(1)若m=90時，如圖所示，求證：∠CFE=∠CEF；(2)若m≠90時，試問∠CFE=∠CEF還成立嗎？若成立說明理由；若不成立，請比較∠CFE和∠CEF的大小，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)不成立；當(dāng)m>90時，∠CFE>∠CEF；當(dāng)m<90時，∠CFE<∠CEF；理由見解析．【分析】（1）證明∠CAE=∠BAE，由∠ACB=∠CDB=90°，證明∠ACD=∠B，由三角形的外角的性質(zhì)可得∠CFE=∠ACD+∠CAE，∠CEF=∠B+∠BAE，從而可得結(jié)論．（2）證明∠CFE-∠CEF=∠ACF-∠B，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得∠CFE-∠CEF=m-∠BCD-180-m-∠BCD【詳解】（1）證明：∵AE是角平分線，∴∠CAE=∠BAE，∵∠ACB=∠CDB=m°0<m<180，m=90∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°=∠BCD+∠B，∴∠ACD=∠B，∵∠CFE=∠ACD+∠CAE，∠CEF=∠B+∠BAE，∴∠CFE=∠CEF．（2）不成立．理由如下：∵∠CFE=∠CAF+∠ACF，∠CEF=∠B+∠EAB，∠CAE=∠BAE，∴∠CFE-∠CEF=∠ACF-∠B，∵∠ACB=∠CDB=m°0<m<180∴∠CFE-∠CEF=m-∠BCD-當(dāng)m>90時，∠CFE-∠CEF=2m-180>0，∴∠CFE>∠CEF；當(dāng)m<90時，∠CFE-∠CEF=2m-180<0，∴∠CFE<∠CEF．【點睛】本題考查的是三角形的角平分線是含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟記三角形的外角的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，點D是BC上一點，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交射線BC于點F．

(1)如圖1，當(dāng)DE∥AC時，求證：AE⊥BC(2)若∠C=∠B+10°，∠BAD=x°（0<x<50）①如圖2，當(dāng)DE⊥BC時，求x的值．②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)詳見解析(2)①5°；②存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等，且x=15或30【分析】（1）根據(jù)平行線和翻折的性質(zhì)，推出∠EAC=∠B，進而推出∠EAC+∠C=90°，即∠AFC=90°，即可得證；（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠B,∠C的度數(shù)，翻折得到∠E=∠B=40°，進而求出∠BFE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求出∠BAF的度數(shù)，再根據(jù)翻折即可得出結(jié)果；②分∠EDF=∠DFE，∠EDF=∠E=40°，∠DFE=∠E=40°三種情況討論求解即可．【詳解】（1）∵DE∥AC，∴∠E=∠EAC．∵翻折，∴∠E=∠B，∴∠EAC=∠B∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠EAC+∠C=90°∴∠AFC=90°即AE⊥BC（2）①∵∠C=∠B+10°，∠C+∠B=90°，∴∠C=50°，∠B=40°∵DE⊥BC，∠E=∠B=40°，∴∠BFE=50°．∵∠BFE=∠B+∠BAF，∴∠BAF=10°，由翻折可知，x=∠BAD=1②∠BAD=x°，則∠FDE=∠ADE-∠ADC=140°-x-40°+x=100-2x當(dāng)∠EDF=∠DFE時，100-2x=2x+40，解得，x=15，當(dāng)∠EDF=∠E=40°，100-2x=40，解得，x=30，當(dāng)∠DFE=∠E=40°時，2x+40=40，解得，x=0，∵0<x<50，∴不合題意，舍去，綜上可知，存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等，且x=15或30．【點睛】本題考查與折疊有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題，以及三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，是解題的關(guān)鍵．【題型8多邊形內(nèi)角和、外角和有關(guān)的計算】【例8】（2023秋·河北邢臺·八年級?？计谥校┮阎粋€多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為1440°．(1)求這個多邊形的邊數(shù)；(2)如這個多邊形是正多邊形，則它的每一個內(nèi)角是___________．【答案】(1)12(2)150°【分析】（1）已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為1440°，外角和是360度，因而內(nèi)角和是1800度．n邊形的內(nèi)角和是n-2?180°，代入就得到一個關(guān)于n的方程，就可以解得邊數(shù)n（2）根據(jù)正多邊形每個內(nèi)角相等，用多邊形的內(nèi)角和除以邊數(shù)計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)為n，則：n-2?180=1440+360解得：n=12．答：這個多邊形的邊數(shù)為12．（2）解：這個正多邊形的每一個內(nèi)角是：12-2【點睛】本題考查多邊形內(nèi)角和與外角和，正多邊形，熟練掌握多邊形內(nèi)角和與外角和是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023秋·遼寧葫蘆島·八年級校聯(lián)考期中）一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°．（1）求這個多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和；（2）從該多邊形的一個頂點作對角線，則所作的對角線條數(shù)為，此時多邊形中有個三角形．【答案】（1）這個多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和是900°；（2）從該多邊形的一個頂點作對角線，則所作的對角線條數(shù)為（n﹣3），此時多邊形中有（n﹣2）個三角形．【分析】（1）一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的3倍少180°，而任何多邊形的外角和是360°，因而多邊形的內(nèi)角和等于900°．（2）n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n-2）?180°，設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)，即可求出答案．【詳解】（1）360°×3﹣180°＝1080°﹣180°＝900°．故這個多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和是900°；（2）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為180°（n﹣2），依題意得：180（n﹣2）＝360×3﹣180，解得n＝7，則從該多邊形的一個頂點作對角線，則所作的對角線條數(shù)為（n﹣3），此時多邊形中有（n﹣2）個三角形．【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識點，此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程求解即可．從n邊形一個頂點可以引（n-3）條對角線，此時多邊形中有（n-2）個三角形．【變式8-2】（2023春·安徽滁州·八年級校聯(lián)考期中）按要求完成下列各小題．(1)一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和多900°，求這個多邊形的邊數(shù)．(2)如圖，若正五邊形ABCDE和長方形AFCG按如圖方式疊放在一起，求∠EAF的度數(shù)．【答案】(1)9(2)126°【分析】（1）設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)“多邊形的內(nèi)角和比它的外角和多900°”列出關(guān)于n的方程即可求解；（2）先求出∠EAB=∠ABC=108°，∠F=90°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAF的度數(shù)，最后根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠EAF的度數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得n-2?180°-360°=900°解得n=9，∴這個多邊形的邊數(shù)是9；（2）解：正五邊形ABCDE的內(nèi)角和為5-2×180°=540°∴正五邊形ABCDE每個內(nèi)角為540°÷5=108°，即∠EAB=∠ABC=108°，∵四邊形AFCG是長方形，∴∠F=90°，∴∠BAF=∠ABC-∠F=18°，∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=126°．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形外角和定理等知識，掌握多邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·山東聊城·八年級統(tǒng)考期末）在五邊形ABCDE中，∠A=130°，∠B=110(1)如圖①，畫出五邊形ABCDE的所有對角線；(2)如圖②，若∠C比∠D小40°，求出∠D的度數(shù)；(3)如圖③，若CP，DP分別平分∠BCD與∠CDE的外角，試求出∠CPD的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠D=120°(3)∠CPD=100°【分析】（1）根據(jù)對角線的定義作出所有對角線即可；（2）先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求得內(nèi)角和，再求出∠C+∠D的度數(shù)，最后∠D-∠C=40°求得∠D即可；（3）先根據(jù)多邊形內(nèi)角結(jié)合外角的定義求得∠DCF+∠CDG=160°，然后根據(jù)角平分線的定義、等量代換、角的和差解答即可．【詳解】（1）解：如圖即為所求．（2）解：五邊形ABCDE的內(nèi)角和為5-2×180°=540°∵∠A=130°，∠B=110°，∠E=100°，∴∠C+∠D=540°-∠A-∠B-∠E=540°-130°-110°-100°=200°，又∵∠D-∠C=40°，∴∠D=120°．（3）解：五邊形ABCDE的內(nèi)角和為5-2×180°=540°∵∠A=130°，∠B=110°，∠E=100°，∴∠BCD+∠CDE=540°-∠A-∠B-∠E=540°-130°-110°-100°=200°，又∵∠BCD+∠DCF=180°，∠CDE+∠CDG=180°，∴∠DCF+∠CDG=360°-200°=160°，∵CP平分∠DCF，DP平分∠CDG，∴∠DCP=12∠DCF∴∠DCP+∠CDP=1又∵∠CPD+∠DCP+∠CDP=180°，∴∠CPD=180°-∠DCP-∠CDP=180°-80°=100°．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和、多邊形的外角、對角線以及角平分線的定義等知識點，靈活運用多邊形的內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．【題型9多邊形截角、少（多）算一個角問題】【例9】（2023秋·河南周口·八年級校聯(lián)考期中）解決多邊形問題：(1)一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，它是幾邊形？(2)小華在求一個多邊形的內(nèi)角和時，重復(fù)加了一個角的度數(shù)，計算結(jié)果是1170°，這個多邊形是幾邊形？【答案】(1)八邊形(2)八邊形【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式、多邊形的外角和等于360°建立方程，解方程即可得；（2）設(shè)這個多邊形是n邊形，重復(fù)加的一個角的度數(shù)為x，則0°<x<180°，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式建立等式，結(jié)合0°<x<180°建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】（1）解：設(shè)這個多邊形是n邊形，由題意得：180°n-2解得n=8，答：這個多邊形是八邊形．（2）解：設(shè)這個多邊形是n邊形，重復(fù)加的一個角的度數(shù)為x，則0°<x<180°，由題意得：180°n-2解得x=1530°-180°n，則0°<1530°-180°n<180°，即1530°-180°n>0°1530°-180°n<180°解得152∵n為正整數(shù)，∴n=8，答：這個多邊形是八邊形．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和、一元一次不等式組的應(yīng)用，正確建立方程和不等式組是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·山西陽泉·八年級陽泉市第三中學(xué)校?？计谥校┠惩瑢W(xué)在進行多邊形內(nèi)角和計算時，求得內(nèi)角和為2750°，當(dāng)發(fā)現(xiàn)了之后重新檢查，發(fā)現(xiàn)少加了一個內(nèi)角，問這個內(nèi)角是多少度?并求這個多邊形是幾邊形．【答案】這個內(nèi)角的度數(shù)是130°，這個多邊形的邊數(shù)為18．【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n?2）?180°，多邊形的內(nèi)角一定大于0度，小于180度，比這個數(shù)值大的且最接近的整數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)少加的內(nèi)角為x度，邊數(shù)為n．則（n?2）×180＝2750＋x，即（n?2）×180＝15×180＋50＋x，因此x＝130，n＝18．答：這個內(nèi)角的度數(shù)是130°，這個多邊形的邊數(shù)為18．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，正確理解多邊形角的大小的特點，以及多邊形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·河南開封·八年級統(tǒng)考期末）在一個各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個內(nèi)角都比相鄰?fù)饨堑?倍還大20°．（1）求這個多邊形的邊數(shù)；（2）若將這個多邊形剪去一個角，剩下多邊形的內(nèi)角和是多少？【答案】（1）9；（2）1080o或1260o或1440o．【分析】（1）設(shè)多邊形的一個外角為x，則與其相鄰的內(nèi)角等于3x+20°，根據(jù)內(nèi)角與其相鄰的外角的和是180°列出方程，求出x的值，再由多邊形的外角和為360°，求出此多邊形的邊數(shù)為360°x（2）剪掉一個角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求出答案．【詳解】解：（1）設(shè)每一個外角為x，則與其相鄰的內(nèi)角等于3x+20°，∴180°-x=3x+20°，∴x=40°，即多邊形的每個外角為40°，∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的外角個數(shù)為：360°40°∴這個多邊形的邊數(shù)為9；（2）因為剪掉一個角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，①若剪去一角后邊數(shù)減少1條，即變成8邊形，∴內(nèi)角和為8-2×180°=1080°②若剪去一角后邊數(shù)不變，即變成9邊形，∴內(nèi)角和為9-2×180°=1260°③若剪去一角后邊數(shù)增加1，即變成10邊形，∴內(nèi)角和為10-2×180°=1440°∴將這個多邊形剪去一個角后，剩下多邊形的內(nèi)角和為1080°或1260°或1440°．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，外角和定理，多邊形內(nèi)角與外角的關(guān)系，熟練掌