專題11.9 三角形章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（人教版）（解析版）

專題11.9三角形章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1確定第三邊的取值范圍】 1【題型2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】 3【題型3利用三角形的中線求長度】 5【題型4三角形的高與面積有關(guān)的計(jì)算】 8【題型5三角形的穩(wěn)定性】 13【題型6三角形中的角平分線、中線、高有關(guān)的綜合計(jì)算】 15【題型7三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計(jì)算】 20【題型8多邊形內(nèi)角和、外角和有關(guān)的計(jì)算】 28【題型9多邊形截角、少（多）算一個(gè)角問題】 32【題型10多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用】 35【題型1確定第三邊的取值范圍】【例1】（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)三角形的3邊長分別是xcm、3x-3cm，x+2cm，它的周長不超過39cm．則x的取值范圍是（

）A．53<x<5 B．5<x≤8 C．53【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系和周長不超過39cm可列出不等式組求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得{x+(3x-3)>x+2∴53故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系和解不等式組，根據(jù)條件列出不等式組求解是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知a，b，c為△ABC的三邊長，b，c滿足b-2+(c-3)2=0，且a為方程a-5=1【答案】9【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出b=2、c=3的值，再解絕對(duì)值方程可得a=6或a=4，進(jìn)而利用三角形三邊關(guān)系得出a的值，進(jìn)而求出△ABC的周長．【詳解】解：∵b-2+∴b-2=0且c-3=0，∴b=2、c=3，∵a為方程a-5=1∴a=6或a=4，又2+3<6，∴a=4，則△ABC的周長為2+3+4=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及絕對(duì)值的性質(zhì)和偶次方的性質(zhì)，得出a的值是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·河南鄭州·八年級(jí)鄭州中學(xué)校聯(lián)考期中）有長度分別是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任選其中三根首尾相接圍成三角形，可以圍成不同形狀的三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐一判斷即可．【詳解】解：若選取長度分別是4cm、5cm、8cm的小棒，4+5>8，故能圍成三角形；若選取長度分別是4cm、5cm、9cm的小棒，4+5=9，故不能圍成三角形；若選取長度分別是5cm、8cm、9cm的小棒，5+8>9，故能圍成三角形；若選取長度分別是4cm、8cm、9cm的小棒，4+8>9，故能圍成三角形．綜上所述，可以圍成3種不同形狀的三角形．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，掌握三角形的三邊關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形的三邊長分別為2，2x-1，5，則x的取值范圍是．【答案】2<x<4【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：①任意兩邊之和大于第三邊；②任意兩邊之差小于第三邊，即可得出第三邊的取值范圍，進(jìn)而求出x的取值范圍．【詳解】解：∵三角形的兩邊長分別為2和5，∴第三邊2x-1的取值范圍是：5-2<2x-1<5+2，解得：2<x<4．故答案為：2<x<4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系和解不等式組，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系定理是解決問題的關(guān)鍵．【題型2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例2】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)深圳中學(xué)?？计谀┤鐖D，用五個(gè)螺絲將五條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為1、2、3、4、5，且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整．若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任兩螺絲的距離之最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】若兩個(gè)螺絲的距離最大，則此時(shí)這個(gè)木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條線段的長來判斷三角形的最長邊時(shí)的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可．【詳解】解：相鄰兩螺絲的距離依次為1、2、3、4、5；①選4+5作為三角形的一邊、另外的線段構(gòu)成三角形另外兩邊，而1+2+3=②選3+4作為三角形的一邊，另外的線段構(gòu)成三角形另外兩邊為2和6或3和5，而1+2+5=8>3+4，6-2<7，此時(shí)最大邊長為7；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為7．故選：B．【點(diǎn)睛】此題實(shí)際考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方法是解答的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明家和小亮家到學(xué)校的直線距離分別是5km和3km，那么小明到小亮家的直線距離不可能是（）A．1km B．2km C．3km D．8km【答案】A【分析】根據(jù)小明家和小亮家與學(xué)校共線，小明家和小亮家與學(xué)校不共線，兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)小明家和小亮家與學(xué)校共線，小明家和小亮家的直線距離為5-3=2（km）或5+3=8（km）；當(dāng)小明家和小亮家與學(xué)校不共線，由三角形三邊關(guān)系可知，小明家和小亮家的直線距離大于2km，小于8km，綜上，小明家和小亮家的直線距離不可能是1km，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)加減運(yùn)算的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．【變式2-2】（2023秋·新疆和田·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已經(jīng)有兩根木條，長分別是2cm和6cm，現(xiàn)要用3根木條組成三角形，還要從下面4根木條中選一根，可以是（

）A．4cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】B【分析】設(shè)第三根木條的長度為xcm，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系列不等式組求出x的范圍，然后選出滿足條件的選項(xiàng)即可【詳解】設(shè)第三根木條的長度為xcm6-2<x<6+2，解得4<x<8.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊之間的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式2-3】（2023春·北京西城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）以某公園西門O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，東門A和景點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(6,0)和(4,4)．如圖1，甲的游覽路線是：O→B→A，其折線段的路程總長記為l1．如圖2，景點(diǎn)C和D分別在線段OB,BA上，乙的游覽路線是：O→C→D→A，其折線段的路程總長記為l2．如圖3，景點(diǎn)E和G分別在線段OB,BA上，景點(diǎn)F在線段OA上，丙的游覽路線是：O→E→F→G→A，其折線段的路程總長記為l3．下列l(wèi)1，l2

A．l1=l2=l3 B．l1<l【答案】D【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可證明l1>l【詳解】解：由題意可得：l1l2∴l(xiāng)1將線段EF平移可得到線段BG，將線段FG平移可得到線段BE，∴BE=FG,EF=BG，∴l(xiāng)3∴l(xiāng)1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，平移的性質(zhì)，題目新穎，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．【題型3利用三角形的中線求長度】【例3】（2023春·云南·八年級(jí)云南師大附中?？计谀┮阎?，已知ΔABC的周長為33cm，AD是BC邊上的中線，AB=3（1）如圖，當(dāng)AC=10cm時(shí)，求BD的長．（2）若AC=12cm，能否求出DC的長？為什么？【答案】（1）4cm；（2）不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)三角形周長和邊的關(guān)系解答即可．【詳解】（1）∵AB=32AC∴AB=15cm，又∵ΔABC的周長是33cm，∴BC=8cm，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=1（2）不能，理由如下：∵AB=32AC∴AB=18cm，又∵ΔABC的周長是33cm，∴BC=3cm，∵AC+BC=15<AB=18，∴不能構(gòu)成三角形ABC，則不能求出DC的長．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的中線、高、角平分線，關(guān)鍵是根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答．【變式3-1】（2023秋·全國·八年級(jí)期中）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多3，AB與AC的和為13，則AC的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線的定義得到BD=DC，根據(jù)三角形的周長公式得到AC-AB=3，根據(jù)題意列出方程組，解方程組得到答案．【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝DC，由題意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，整理得，AC﹣AB＝3，則AC-AB＝解得，AC＝故選B．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的中線的概念，解題關(guān)鍵在于掌握三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．【變式3-2】（2023秋·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC的周長為24cm，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，AD，BE相交于點(diǎn)O，CO的延長線交AB于點(diǎn)F，且BD＝4cm，AE＝3.5cm，求AF的長．【答案】AF＝4.5(cm)．【分析】此題主要考查三角形的中線，利用三角形的周長求出AB的長度，然后利用中線便可解出答案.【詳解】∵AD，BE是△ABC的中線，∴BC＝2BD，AC＝2AE，CF是△ABC的中線，∴AF＝AB.∵BD＝4cm，AE＝3.5cm，∴BC＝8cm，AC＝7cm.∵△ABC的周長是24cm，∴AB＝24－(BC＋AC)＝24－(8＋7)＝9(cm)，∴AF＝×9＝4.5(cm)．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的中線特點(diǎn)，需熟練運(yùn)用三角形的各種定理來解題.【變式3-3】（2023秋·黑龍江大慶·八年級(jí)校考期中）如圖，已知AD、AE分別是△ABC的高和中線AB=9cm,AC=12cm，BC=15(1)△ABE的面積；(2)AD的長度；(3)△ACE與△ABE的周長的差．【答案】(1)27cm(2)365(3)3cm【分析】（1）先根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出SΔABC=54cm2，然后利用AE是邊（2）利用面積法得到12AD?BC=12（3）由△ACE的周長－△ABE的周長=AC-AB，即可求得答案．【詳解】（1）解：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴S∵AE是BC上的中線，∴BE=EC，∴S∴S（2）解：∵∠BAC=90°，AD是∴1∴AD=AB?ACBC=（3）解：∵AE是BC邊上的中線，∴BE=CE，∴△ACE的周長－△ABE的周長=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm即△ACE和△ABE的周長差是3cm【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式，以及三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與公式是解決此題的關(guān)鍵．【題型4三角形的高與面積有關(guān)的計(jì)算】【例4】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校校考期末）在△ABC中，AD是高，AD=6，CD=1，若△ABC的面積為12，則線段BD的長度為．【答案】3或5【分析】根據(jù)題意分AD在△ABC內(nèi)部和AD在△ABC外部兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)三角形的面積公式求得BC長度，再根據(jù)邊之間的和差關(guān)系求解即可．【詳解】當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，如下圖

根據(jù)題意可知：S△ABC=12S解得：BC=4∵CD=1∴BD=BC-CD=4-1=3當(dāng)AD在△ABC外部時(shí)，如下圖

根據(jù)題意可知S△ABC=12S解得：BC=4∴BD=BC+CD=4+1=5故答案為：3或5．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出相關(guān)的圖形（AD在△ABC內(nèi)部和外部)，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．【變式4-1】（2023春·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC．(1)畫出△ABC的三條高AD、(2)在（1）的條件下，若AB=6，BC=3，CF=2，則AD=______．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）根據(jù)三角形的高線的畫法畫出AD、（2）根據(jù)面積相等可得出12AB?CF=1【詳解】（1）如圖，AD、（2）∵CF是AB邊上的高，AD是BC邊上的高，∴S△ABC∵AB=6，BC=3，CF=2，∴12解得，AD=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高的畫法以及與高有關(guān)的面積計(jì)算，正確識(shí)圖是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·上海寶山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，按下列要求畫圖并填空：

(1)畫△ABC邊AB上的高CD；(2)E在CD上，連接BE，使得S△ABC=S(3)已知BD=3，CD=4，DE=1，那么點(diǎn)C到直線AB的距離為_______，△ADC的面積為_______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)4，3【分析】（1）根據(jù)畫高的方法作圖即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)只需要令A(yù)E∥BC即可得到S△ABC（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可求出點(diǎn)C到直線AB的距離；先求出S△BDE=32，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到【詳解】（1）解：如圖所示，CD即為所求；

（2）解：如圖所示，點(diǎn)E即為所求；

（3）解：∵CD⊥AB，CD=4，∴點(diǎn)C到直線AB的距離為4；∵BD=3，DE=1，∴S△BDE∵AE∥BC，∴S△ABC∴S△ACD【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫三角形的高，畫平行線，三角形面積，平行線的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考期中）如圖是由邊長都是1的小正方形組成的網(wǎng)格．圖中各點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按以下要求畫圖．①所畫頂點(diǎn)必須在格點(diǎn)上；②標(biāo)清指定的字母；③不得出格．(1)在圖甲中面出△ABC中BC邊上的高AD；(2)在圖乙中畫出一個(gè)Rt△EBC，且△EBC的面積是圖甲中△ABC面積的2(3)在圖丙中畫出一個(gè)銳角三角形△MBC，且面積為15．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）延長CB，過點(diǎn)A垂直CB的延長線的線段即所求；（2）根據(jù)S△ABC=5，可得S△EBC=10，即可求出△EBC中BC的高，即可確定點(diǎn)E，再分別連接（3）根據(jù)銳角三角形△MBC的面積可求△MBC中BC上的高為6，即可確定點(diǎn)M，再連接MB、MC即可．【詳解】（1）解：如圖，線段AD即為△ABC中BC邊上的高；（2）解：由（1）可得：S△ABC=5，∵△EBC的面積是圖甲中△ABC面積的2倍，∴S△EBC=2×5=10，如圖，（3）解：∵銳角三角形△MBC的面積為15，BC=5，∴△MBC中BC上的高為：15×25∴點(diǎn)M距離BC邊為6，如圖，△MBC即所求．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格畫三角形的高，三角形高的有關(guān)計(jì)算及利用網(wǎng)格求三角形的面積，熟練掌握三角形面積求出三角形的高是解題的關(guān)鍵．【題型5三角形的穩(wěn)定性】【例5】（2023秋·北京·八年級(jí)?？计谥校┫铝袌D形中不具備穩(wěn)定性的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】三角形具有穩(wěn)定性，只要選項(xiàng)中的圖形可以分解成三角形，則圖形就有穩(wěn)定性，據(jù)此即可確定．【詳解】解：A、可以看成兩個(gè)三角形，而三角形具有穩(wěn)定性，則這個(gè)圖形一定具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、可以看成三個(gè)三角形，而三角形具有穩(wěn)定性，則這個(gè)圖形一定具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、可以看成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，而四邊形不具有穩(wěn)定性，則這個(gè)圖形一定不具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)正確；D、可以看成7個(gè)三角形，而三角形具有穩(wěn)定性，則這個(gè)圖形一定具有穩(wěn)定性，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，正確理解各個(gè)圖形具有穩(wěn)定性的條件是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023秋·四川瀘州·八年級(jí)四川省瀘縣第四中學(xué)?？计谀┤鐖D，某中學(xué)的電動(dòng)伸縮校門利用的數(shù)學(xué)原理是（）A．三角形的穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．三角形兩邊之和大于第三邊 D．四邊形的不穩(wěn)定性【答案】D【分析】根據(jù)電動(dòng)伸縮門的工作原理，結(jié)合四邊形的不穩(wěn)定性即可得到答案．【詳解】解：∵電動(dòng)伸縮門的整體形狀為四邊形，且電動(dòng)伸縮門的長度可以伸長和變短，∴利用的是四邊形的不穩(wěn)定性，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的性質(zhì)，熟練掌握四邊形的相關(guān)知識(shí)的解本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023秋·廣西南寧·八年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮顾倪呅文炯懿蛔冃危辽僖籴攷赘緱l（

）A．4 B．2 C．1 D．3【答案】C【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可得：沿對(duì)角線釘上1根木條即可．【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得，至少要再釘上1根木條．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形具有穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性．【變式5-3】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是一個(gè)用六根竹條連接而成的凸六邊形風(fēng)箏骨架，考慮到骨架的穩(wěn)固性、美觀性、實(shí)用性等因素，需再加竹條與其頂點(diǎn)連接．要求：（1）在圖（1）、（2）中分別加適當(dāng)根竹條，設(shè)計(jì)出兩種不同的連接方案．（2）通過上面的設(shè)計(jì)，可以看出至少需再加根竹條，才能保證風(fēng)箏骨架穩(wěn)固、美觀和實(shí)用．（3）在上面的方案設(shè)計(jì)過程中，你所應(yīng)用的數(shù)學(xué)道理是．【答案】（1）答案見解析；（2）三；（3）三角形的穩(wěn)定性．【詳解】解：（1）如圖所示（答案不唯一）（2）至少要三根故答案為：三；（3）三角形的穩(wěn)定性．【題型6三角形中的角平分線、中線、高有關(guān)的綜合計(jì)算】【例6】（2023秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面結(jié)論：①△ABE的面積＝A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定△ABE和△BCE的面積關(guān)系以及求出【詳解】解：∵BE是△∴AE∴△ABE的面積等于△BCE故①正確；∵∠BAC=90°，AD是∴∠AFG+∠ACG∵CF是△∠ACG∴∠又∵∠DGC∴∠AFG故②正確；

∵∠FAG∴∠FAG∵∠ACD∴∠FAG故③正確；∵2S∴AD故④錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線、高、角平分線，靈活運(yùn)用三角形的中線、高、角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023秋·江西南昌·八年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，∠CAB=90°．(1)求AD的長．(2)求△ABE的面積．【答案】（1）125cm；（2）3cm【分析】（1）利用“面積法”來求線段AD的長度；（2）△AEC與△ABE是等底同高的兩個(gè)三角形，它們的面積相等【詳解】解：∵∠BAC=90°，AD是邊BC上的高，∴12AB?AC=12∴AD=AB?ACBC=3×45=125（2）如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm，AC=4cm，∴S△ABC=12AB?AC=12×3×4=6（cm又∵AE是邊BC的中線，∴BE=EC，∴12BE?AD=12EC?AD，即S△ABE=S△∴S△ABE=12S△ABC=3（cm2∴△ABE的面積是3cm2．【點(diǎn)睛】本題考查了中線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用三角形面積的兩個(gè)表達(dá)式相等，求出AD．【變式6-2】（2023春·陜西商洛·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四個(gè)結(jié)論：①AH⊥EF；②∠ABF=∠EFB；③AC∥BE；④A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、余角的性質(zhì)等來判斷即可．【詳解】解：∵AH⊥BC，EF∥BC，∴AH⊥EF，故①正確；∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠CBF，∴∠ABF＝∠EFB，故②正確；∵BE⊥BF，而AC與BF不一定垂直，∴BE∥AC不一定成立，故③錯(cuò)誤；∵BE⊥BF，∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，∴∠E＝∠ABE，故④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及余角的性質(zhì)等的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式6-3】（2023春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ΔABC中，CD是AB邊上的高，CE是∠ACB的平分線.（1）若∠A=40°，∠B=76（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度數(shù)（用含α，β的式子表示）（3）當(dāng)線段CD沿DA方向平移時(shí)，平移后的線段與線段CE交于G點(diǎn)，與AB交于H點(diǎn)，若∠A=α，∠B=β，求∠HGE與α、β的數(shù)量關(guān)系.【答案】（1）∠DCE＝18°；；（2）12(β－α)；（3）∠HGE＝12(β－【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB=64°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ECB=12∠ACB=32°，根據(jù)余角的定義得到∠DCE=90°-∠DEC=184°（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠ACB=180°-α-β，根據(jù)角平分線的定義得到∠ECB=12∠ACB=12（180°-α-β），根據(jù)余角的定義得到（3）作出平移圖，因?yàn)镚H∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）得到∠DCE＝12(β－α)，進(jìn)而得到∠HGE＝12(β【詳解】解：（1）∵∠A＝40°，∠B＝76°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－76°＝64°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝12∠ACB＝12×64°＝∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝40°＋32°＝72°，∵CD是AB邊上的高，∴∠CDE＝90°，∴∠DCE＝90°－∠DEC＝90°－72°＝18°；（2）∵∠A＝α，∠B＝β，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－α－β，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝12∠ACB＝12(180°－α－β)＝90°－12α－∴∠DEC＝∠A＋∠ACE＝α＋90°－12α－12β=90°＋12α－∵CE是AB邊上的高，∴∠CDE＝90°，∴∠ECD＝90°－∠DEC＝90°－(90°＋12α－12β)＝12β＝12(β－α)（3）如圖，由平移知GH∥CD，所以∠HGE＝∠DCE，由（2）知∠DCE＝12(β－α)所以∠HGE＝∠DCE＝12(β－α)即∠HGE與α，β的數(shù)量關(guān)系為∠HGE＝12(β－α)【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．【題型7三角形的內(nèi)角和與外角有關(guān)的計(jì)算】【例7】（2023春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．點(diǎn)F與A位于線段BC所在直線的兩側(cè)，分別延長AB、AC至點(diǎn)D、E．

【特殊化思考】若∠A=∠F時(shí)，請(qǐng)嘗試探究：（1）當(dāng)F在∠A內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為__________；（2）當(dāng)F在∠A外部時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為__________；（3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．無論點(diǎn)F在∠A內(nèi)部（如圖③）還是∠A外部（如圖④）時(shí)，都有CG∥BH，請(qǐng)選擇一幅圖進(jìn)行證明；

【一般化探究】若∠A<∠F時(shí)，請(qǐng)嘗試探究：（4）若射線CG、BH分別是∠ECF，∠DBF的n等分線（n為大于2的正整數(shù)），且∠ECG=1n∠ECF，∠HBD=1n∠DBF．當(dāng)CG∥BH時(shí)，直接寫出【答案】（1）∠ECF+∠DBF=2∠A；（2）∠ECF-∠DBF=2∠A；（3）見解析；（4）∠F=(n-1)∠A【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義得到∠ECF+∠DBF=∠A+∠F，再根據(jù)∠A=∠F，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義得到∠ECF-∠DBF=∠A+∠F，再根據(jù)∠A=∠F，即可得出結(jié)論；（3）選圖3證明，根據(jù)角平分線的定義及（1）中的結(jié)論得出∠GCF+∠HBF=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定證明即可；（4）先根據(jù)平行公理的推論得到FM∥BH，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可得出∠A與【詳解】解：（1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△FBC中，∠F+∠FBC+∠FCB=180°，∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°-(∠A+∠F)，∵∠ECF+∠ACB+∠FCB=180°，∠DBF+∠ABC+∠FBC=180°，∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°-(∠ECF+∠DBF)，∴∠ECF+∠DBF=∠A+∠F，∵∠A=∠F，∴∠ECF+∠DBF=2∠A，故答案為：∠ECF+∠DBF=2∠A；（2）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△FBC中，∠F+∠FBC+∠FCB=180°，∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°-(∠A+∠F)，∵∠ECF+∠ACB+∠FCB=180°，∠FBC-∠DBF+∠ABC=180°，∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°-(∠ECF-∠DBF)，∴∠ECF-∠DBF=∠A+∠F，∵∠A=∠F，∴∠ECF-∠DBF=2∠A，故答案為：∠ECF-∠DBF=2∠A；（3）選擇圖③，證明：如圖，

過點(diǎn)F作FM∥∴∠GCF=∠CFM，∵CG平分∠ECF，BH平分∠DBF，∴∠GCF=12∠ECF由（1）知∠ECF+∠DBF=2∠A=2∠F，∴∠GCF+∠HBF=1∴∠CFM+∠HBF=∠F，∵∠CFM+∠BFM=∠F，∴∠HBF=∠BFM，∴FM∥∴CG∥選擇圖④，證明：如圖，設(shè)BF與CG交于點(diǎn)N，

∵CG平分∠ECF，BH平分∠DBF，∴∠GCF=12∠ECF同（2）可得：∠DBF-∠ECF=2∠A，∵∠A=∠F，∴∠DBF-∠ECF=2∠F，∴∠HBF-∠GCF=1∵∠FNG是△FCN的一個(gè)外角，∴∠FNG=∠GCF+∠F，即∠FNG-∠GCF=∠F，∴∠FNG=∠HBF，∴CG∥（4）證明：∵∠A<∠F，∴F只能在∠A內(nèi)部，如圖，過點(diǎn)F作FM∥

∵CG∥∴FM∥連接AF，∵FM∥∴∠GCF=∠CFM，又∵FM∥∴∠HBF=∠BFM，又∵∠ECG=1n∠ECF∴∠GCF=n-1n∠ECF∴∠BFC=∠CFM+∠BFM=∠GCF+HBF==n-1又∵∠ECF=∠CAF+∠AFC，∠DBF=∠BAF+∠AFB，∴∠ECF+∠DBF=∠CAF+∠AFC+∠BAF+∠AFB=∠BAC+∠BFC，∴∠BFC=n-1∴1n∴∠BFC=(n-1)∠BAC，即∠F=(n-1)∠A．故答案為：∠F=(n-1)∠A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，熟記三角形內(nèi)角和是180°是解題的關(guān)鍵，同時(shí)應(yīng)熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定及角平分線的定義．【變式7-1】（2023秋·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，CD∥AB，點(diǎn)E在BD延長線上，且∠BEF=70°，點(diǎn)H在AB上，HF交BD于G點(diǎn)．

(1)求證：∠AHF>∠CDE；(2)若∠AHF-∠CDE=30°，求∠F的度數(shù)【答案】(1)見解析(2)80°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠CDE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠AHF>∠B，即可推得∠AHF>∠CDE；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠CDE，結(jié)合題意可得∠AHF-∠B=30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠HGB=30°，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可得∠EGF=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠F=80°．【詳解】（1）證明：∵CD∥AB，∴∠B=∠CDE，∵∠AHF是△BHG的一個(gè)外角，∴∠AHF>∠B，∴∠AHF>∠CDE．（2）解：∵CD∥AB，∴∠B=∠CDE，∵∠AHF-∠CDE=30°，∴∠AHF-∠B=30°，∵∠AHF是△BHG的一個(gè)外角，∴∠AHF=∠B+∠HGB，∴∠HGB=∠AHF-∠B=30°，∵∠HGB=∠EGF，∴∠EGF=30°，∵∠BEF=70°，∠BEF+∠EGF+∠F=180°，∴∠F=180°-∠BEF-∠EGF=180°-70°-30°=80°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州中學(xué)?？计谥校┮阎?，在△ABC中，∠ACB=∠CDB=m°0<m<180，AE是角平分線，D是AB上的點(diǎn)，AE、CD相交于點(diǎn)F

(1)若m=90時(shí)，如圖所示，求證：∠CFE=∠CEF；(2)若m≠90時(shí)，試問∠CFE=∠CEF還成立嗎？若成立說明理由；若不成立，請(qǐng)比較∠CFE和∠CEF的大小，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)不成立；當(dāng)m>90時(shí)，∠CFE>∠CEF；當(dāng)m<90時(shí)，∠CFE<∠CEF；理由見解析．【分析】（1）證明∠CAE=∠BAE，由∠ACB=∠CDB=90°，證明∠ACD=∠B，由三角形的外角的性質(zhì)可得∠CFE=∠ACD+∠CAE，∠CEF=∠B+∠BAE，從而可得結(jié)論．（2）證明∠CFE-∠CEF=∠ACF-∠B，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得∠CFE-∠CEF=m-∠BCD-180-m-∠BCD【詳解】（1）證明：∵AE是角平分線，∴∠CAE=∠BAE，∵∠ACB=∠CDB=m°0<m<180，m=90∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°=∠BCD+∠B，∴∠ACD=∠B，∵∠CFE=∠ACD+∠CAE，∠CEF=∠B+∠BAE，∴∠CFE=∠CEF．（2）不成立．理由如下：∵∠CFE=∠CAF+∠ACF，∠CEF=∠B+∠EAB，∠CAE=∠BAE，∴∠CFE-∠CEF=∠ACF-∠B，∵∠ACB=∠CDB=m°0<m<180∴∠CFE-∠CEF=m-∠BCD-當(dāng)m>90時(shí)，∠CFE-∠CEF=2m-180>0，∴∠CFE>∠CEF；當(dāng)m<90時(shí)，∠CFE-∠CEF=2m-180<0，∴∠CFE<∠CEF．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的角平分線是含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟記三角形的外角的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交射線BC于點(diǎn)F．

(1)如圖1，當(dāng)DE∥AC時(shí)，求證：AE⊥BC(2)若∠C=∠B+10°，∠BAD=x°（0<x<50）①如圖2，當(dāng)DE⊥BC時(shí)，求x的值．②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等．若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)詳見解析(2)①5°；②存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等，且x=15或30【分析】（1）根據(jù)平行線和翻折的性質(zhì)，推出∠EAC=∠B，進(jìn)而推出∠EAC+∠C=90°，即∠AFC=90°，即可得證；（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠B,∠C的度數(shù)，翻折得到∠E=∠B=40°，進(jìn)而求出∠BFE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，求出∠BAF的度數(shù)，再根據(jù)翻折即可得出結(jié)果；②分∠EDF=∠DFE，∠EDF=∠E=40°，∠DFE=∠E=40°三種情況討論求解即可．【詳解】（1）∵DE∥AC，∴∠E=∠EAC．∵翻折，∴∠E=∠B，∴∠EAC=∠B∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠EAC+∠C=90°∴∠AFC=90°即AE⊥BC（2）①∵∠C=∠B+10°，∠C+∠B=90°，∴∠C=50°，∠B=40°∵DE⊥BC，∠E=∠B=40°，∴∠BFE=50°．∵∠BFE=∠B+∠BAF，∴∠BAF=10°，由翻折可知，x=∠BAD=1②∠BAD=x°，則∠FDE=∠ADE-∠ADC=140°-x-40°+x=100-2x當(dāng)∠EDF=∠DFE時(shí)，100-2x=2x+40，解得，x=15，當(dāng)∠EDF=∠E=40°，100-2x=40，解得，x=30，當(dāng)∠DFE=∠E=40°時(shí)，2x+40=40，解得，x=0，∵0<x<50，∴不合題意，舍去，綜上可知，存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等，且x=15或30．【點(diǎn)睛】本題考查與折疊有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題，以及三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，是解題的關(guān)鍵．【題型8多邊形內(nèi)角和、外角和有關(guān)的計(jì)算】【例8】（2023秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谥校┮阎粋€(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為1440°．(1)求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；(2)如這個(gè)多邊形是正多邊形，則它的每一個(gè)內(nèi)角是___________．【答案】(1)12(2)150°【分析】（1）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為1440°，外角和是360度，因而內(nèi)角和是1800度．n邊形的內(nèi)角和是n-2?180°，代入就得到一個(gè)關(guān)于n的方程，就可以解得邊數(shù)n（2）根據(jù)正多邊形每個(gè)內(nèi)角相等，用多邊形的內(nèi)角和除以邊數(shù)計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)為n，則：n-2?180=1440+360解得：n=12．答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12．（2）解：這個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角是：12-2【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角和與外角和，正多邊形，熟練掌握多邊形內(nèi)角和與外角和是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)校聯(lián)考期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°．（1）求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和；（2）從該多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，則所作的對(duì)角線條數(shù)為，此時(shí)多邊形中有個(gè)三角形．【答案】（1）這個(gè)多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和是900°；（2）從該多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，則所作的對(duì)角線條數(shù)為（n﹣3），此時(shí)多邊形中有（n﹣2）個(gè)三角形．【分析】（1）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于外角和的3倍少180°，而任何多邊形的外角和是360°，因而多邊形的內(nèi)角和等于900°．（2）n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n-2）?180°，設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)，即可求出答案．【詳解】（1）360°×3﹣180°＝1080°﹣180°＝900°．故這個(gè)多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角和是900°；（2）設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為180°（n﹣2），依題意得：180（n﹣2）＝360×3﹣180，解得n＝7，則從該多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，則所作的對(duì)角線條數(shù)為（n﹣3），此時(shí)多邊形中有（n﹣2）個(gè)三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識(shí)點(diǎn)，此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程求解即可．從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對(duì)角線，此時(shí)多邊形中有（n-2）個(gè)三角形．【變式8-2】（2023春·安徽滁州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）按要求完成下列各小題．(1)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和多900°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．(2)如圖，若正五邊形ABCDE和長方形AFCG按如圖方式疊放在一起，求∠EAF的度數(shù)．【答案】(1)9(2)126°【分析】（1）設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)“多邊形的內(nèi)角和比它的外角和多900°”列出關(guān)于n的方程即可求解；（2）先求出∠EAB=∠ABC=108°，∠F=90°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BAF的度數(shù)，最后根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠EAF的度數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得n-2?180°-360°=900°解得n=9，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9；（2）解：正五邊形ABCDE的內(nèi)角和為5-2×180°=540°∴正五邊形ABCDE每個(gè)內(nèi)角為540°÷5=108°，即∠EAB=∠ABC=108°，∵四邊形AFCG是長方形，∴∠F=90°，∴∠BAF=∠ABC-∠F=18°，∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=126°．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形外角和定理等知識(shí)，掌握多邊形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·山東聊城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在五邊形ABCDE中，∠A=130°，∠B=110(1)如圖①，畫出五邊形ABCDE的所有對(duì)角線；(2)如圖②，若∠C比∠D小40°，求出∠D的度數(shù)；(3)如圖③，若CP，DP分別平分∠BCD與∠CDE的外角，試求出∠CPD的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠D=120°(3)∠CPD=100°【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線的定義作出所有對(duì)角線即可；（2）先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求得內(nèi)角和，再求出∠C+∠D的度數(shù)，最后∠D-∠C=40°求得∠D即可；（3）先根據(jù)多邊形內(nèi)角結(jié)合外角的定義求得∠DCF+∠CDG=160°，然后根據(jù)角平分線的定義、等量代換、角的和差解答即可．【詳解】（1）解：如圖即為所求．（2）解：五邊形ABCDE的內(nèi)角和為5-2×180°=540°∵∠A=130°，∠B=110°，∠E=100°，∴∠C+∠D=540°-∠A-∠B-∠E=540°-130°-110°-100°=200°，又∵∠D-∠C=40°，∴∠D=120°．（3）解：五邊形ABCDE的內(nèi)角和為5-2×180°=540°∵∠A=130°，∠B=110°，∠E=100°，∴∠BCD+∠CDE=540°-∠A-∠B-∠E=540°-130°-110°-100°=200°，又∵∠BCD+∠DCF=180°，∠CDE+∠CDG=180°，∴∠DCF+∠CDG=360°-200°=160°，∵CP平分∠DCF，DP平分∠CDG，∴∠DCP=12∠DCF∴∠DCP+∠CDP=1又∵∠CPD+∠DCP+∠CDP=180°，∴∠CPD=180°-∠DCP-∠CDP=180°-80°=100°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和、多邊形的外角、對(duì)角線以及角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．【題型9多邊形截角、少（多）算一個(gè)角問題】【例9】（2023秋·河南周口·八年級(jí)校聯(lián)考期中）解決多邊形問題：(1)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，它是幾邊形？(2)小華在求一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，重復(fù)加了一個(gè)角的度數(shù)，計(jì)算結(jié)果是1170°，這個(gè)多邊形是幾邊形？【答案】(1)八邊形(2)八邊形【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式、多邊形的外角和等于360°建立方程，解方程即可得；（2）設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，重復(fù)加的一個(gè)角的度數(shù)為x，則0°<x<180°，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式建立等式，結(jié)合0°<x<180°建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】（1）解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，由題意得：180°n-2解得n=8，答：這個(gè)多邊形是八邊形．（2）解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，重復(fù)加的一個(gè)角的度數(shù)為x，則0°<x<180°，由題意得：180°n-2解得x=1530°-180°n，則0°<1530°-180°n<180°，即1530°-180°n>0°1530°-180°n<180°解得152∵n為正整數(shù)，∴n=8，答：這個(gè)多邊形是八邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和、一元一次不等式組的應(yīng)用，正確建立方程和不等式組是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·山西陽泉·八年級(jí)陽泉市第三中學(xué)校?？计谥校┠惩瑢W(xué)在進(jìn)行多邊形內(nèi)角和計(jì)算時(shí)，求得內(nèi)角和為2750°，當(dāng)發(fā)現(xiàn)了之后重新檢查，發(fā)現(xiàn)少加了一個(gè)內(nèi)角，問這個(gè)內(nèi)角是多少度?并求這個(gè)多邊形是幾邊形．【答案】這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是130°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為18．【分析】n邊形的內(nèi)角和是（n?2）?180°，多邊形的內(nèi)角一定大于0度，小于180度，比這個(gè)數(shù)值大的且最接近的整數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)少加的內(nèi)角為x度，邊數(shù)為n．則（n?2）×180＝2750＋x，即（n?2）×180＝15×180＋50＋x，因此x＝130，n＝18．答：這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是130°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為18．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，正確理解多邊形角的大小的特點(diǎn)，以及多邊形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·河南開封·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在一個(gè)各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個(gè)內(nèi)角都比相鄰?fù)饨堑?倍還大20°．（1）求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；（2）若將這個(gè)多邊形剪去一個(gè)角，剩下多邊形的內(nèi)角和是多少？【答案】（1）9；（2）1080o或1260o或1440o．【分析】（1）設(shè)多邊形的一個(gè)外角為x，則與其相鄰的內(nèi)角等于3x+20°，根據(jù)內(nèi)角與其相鄰的外角的和是180°列出方程，求出x的值，再由多邊形的外角和為360°，求出此多邊形的邊數(shù)為360°x（2）剪掉一個(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求出答案．【詳解】解：（1）設(shè)每一個(gè)外角為x，則與其相鄰的內(nèi)角等于3x+20°，∴180°-x=3x+20°，∴x=40°，即多邊形的每個(gè)外角為40°，∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的外角個(gè)數(shù)為：360°40°∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9；（2）因?yàn)榧舻粢粋€(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，①若剪去一角后邊數(shù)減少1條，即變成8邊形，∴內(nèi)角和為8-2×180°=1080°②若剪去一角后邊數(shù)不變，即變成9邊形，∴內(nèi)角和為9-2×180°=1260°③若剪去一角后邊數(shù)增加1，即變成10邊形，∴內(nèi)角和為10-2×180°=1440°∴將這個(gè)多邊形剪去一個(gè)角后，剩下多邊形的內(nèi)角和為1080°或1260°或1440°．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，外角和定理，多邊形內(nèi)角與外角的關(guān)系，熟練掌