專題27.9 相似章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（人教版）（原卷版）

專題27.9相似章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】 1【題型2由平行判斷成比例的線段】 2【題型3黃金分割】 3【題型4證明兩三角形相似】 4【題型5證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例】 5【題型6確定相似三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 6【題型7相似與翻折】 7【題型8利用相似求坐標(biāo)】 9【題型9在網(wǎng)格中作位似圖形】 9【題型10相似三角形的應(yīng)用】 11【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】【例1】（2023秋·安徽馬鞍山·九年級(jí)安徽省馬鞍山市第七中學(xué)校考期中）已知a+bc=b+ca=c+ab，求a+bb+cc+aabc的值．【變式1-1】（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谥校┮阎猘、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且a3【變式1-2】（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知線段a、b滿足a:b=1:2(1)求a、(2)若線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，求【變式1-3】（2023秋·廣東珠海·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正數(shù).（1）若ab=2，cd=2，則badc，acbd（用“＞（2）若ab=cd,（3）令ac=bd=t,若分式2a+ca-c【題型2平行判斷成比例的線段的運(yùn)用】【例2】（2023秋·安徽六安·九年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，連接BM并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)

A．320 B．29 C．16【變式2-1】（2023秋·陜西榆林·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AD與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF=2，

【變式2-2】（2023春·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，E在BC上，且EC=2BE，則AFFEA．2 B．3 C．4 D．5【變式2-3】（2023秋·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC，△DCE，△FEG是三個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一直線上，且AB=3，BC=1，BF分別交AC，DC，DE于P，Q，R，則PQ的長(zhǎng)為【題型3黃金分割的運(yùn)用】【例3】（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┪褰切鞘俏覀兩钪谐Ｒ?jiàn)的一種圖形，在如圖所示的正五角星中，點(diǎn)C，D為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AB=2，則圖中五邊形CDEFG的周長(zhǎng)為（

）A．25-2 B．103 C．10【變式3-1】（2023春·山東威?！ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考期末）在學(xué)習(xí)畫線段AB的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線BC，取AB的中點(diǎn)M，以點(diǎn)B為圓心，BM為半徑畫弧交射線BC于點(diǎn)D，連接AD，再以點(diǎn)D為圓心，DB為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與AD交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，最后，以A為圓心，“■■”的長(zhǎng)度為半徑畫弧交AB于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為AB的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“■■”指的是線段．

【變式3-2】（2023秋·遼寧錦州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，黃金分割在日常生活中處處可見(jiàn)；例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺(jué)最好．若舞臺(tái)長(zhǎng)AB=20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)B進(jìn)入，她至少走米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上．（結(jié)果保留根號(hào)）

【變式3-3】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谀┮阎€段AB=2，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP>BP），

(1)求線段AP的長(zhǎng)；(2)以AB為三角形的一邊作△ABQ，使得BQ=AP，連接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的長(zhǎng)．【題型4證明兩三角形相似】【例4】（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置，并延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)G．求證：

(1)△BDG∽△DEG；(2)BG⊥DF．【變式4-1】（2023秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知∠B=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25．(1)求CE的長(zhǎng)；(2)求證：△ABC∽△DEF．【變式4-2】（2023秋·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，連接BM，作MN⊥BM，且交AB于點(diǎn)（1）求證：ΔBCP~ΔMAN；（2）除（1）中的相似三角形外，圖中還有其它的相似三角形嗎？若有，請(qǐng)將它們?nèi)恐苯訉懗鰜?lái).【變式4-3】（2023秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處．(1)求證：△ABF∽△FCE；(2)若AB=23，AD=4，求CE(3)當(dāng)點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：AF【題型5證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例】【例5】（2023春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，【變式5-1】（2023春·江西南昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）(1)已知拋物線y=ax2-6x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，-1(2)

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別是BC，AB邊上的點(diǎn)，且∠ADE=∠C．求證：BD·CD=BE·AC【變式5-2】（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是邊AB上一點(diǎn)，CE與對(duì)角線BD交于點(diǎn)F，且求證：(1)△ABD～△FCB；(2)BD?BE=AD?CE．【變式5-3】（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于D，過(guò)B作BE∥CD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：ADDB【題型6確定相似三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例6】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（b，0）（b＞1），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為b4，若△POA和△PAB相似，則符合條件的P

A．0 B．1 C．2 D．3【變式6-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列五幅圖均是由邊長(zhǎng)為1的16個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式6-2】（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=6cm，D是AC上一點(diǎn)，AD=2cm，點(diǎn)P從C出發(fā)沿C→B→A方向，以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A處，線段DP將△ABC分成兩部分，可以使其中一部分與△ABCA．0個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式6-3】（2023秋·安徽宣城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，有如下幾種剪法，其中滿足剪下的陰影三角形與△ABC相似的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型7相似與翻折】【例7】（2023秋·河南漯河·九年級(jí)漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰赗t△ABC中，BC=5，AC=12，點(diǎn)D，E是線段AB，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B，C重合）沿DE翻折△ADE使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在直線BC上，當(dāng)DF與Rt△ABC的一條邊垂直的時(shí)候，線段【變式7-1】（2023秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中校考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，連接BD，把△ABD沿若BD翻折，得到△A'BD．連接A'C．若A'C=6，∠A．3 B．2 C．3 D．2【變式7-2】（2023春·上海徐匯·九年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谀┮阎涸谥苯翘菪蜛BCD中，AD∥BC，∠A=90°，△ABD沿直線BD翻折，點(diǎn)A恰好落在腰CD上的點(diǎn)(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E是腰CD的中點(diǎn)時(shí)，求證：△BCD是等邊三角形；(2)延長(zhǎng)BE交線段AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF，如果CE2=DE?DC【變式7-3】（2023春·山西太原·九年級(jí)山西大附中?？计谥校┤鐖D，已知∠ABC=135°，AB=32，BC=6，點(diǎn)P是邊AC上任意一點(diǎn)，連接BP，將△CPB沿PB翻折，得到△C'PB．當(dāng)C'

【題型8利用相似求坐標(biāo)】【例8】（2023秋·湖北隨州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為-4,0、0,4，點(diǎn)C3,n在第一象限內(nèi)，連接AC、BC．已知∠BCA=2∠CAO，則n=【變式8-1】（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（4，0）和B點(diǎn)（0，3），點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上，若以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【變式8-2】（2023·江西·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(4,4)，(0,4)，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)D在直線AB上，若DA=1，CP⊥DP于點(diǎn)P，則點(diǎn)【變式8-3】（2023春·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線l1：y=-12x與直線l2：y=kx-2k+1相交于點(diǎn)P，且兩直線的夾角為45°【題型9在網(wǎng)格中作位似圖形】【例9】（2023秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示：

(1)在網(wǎng)格內(nèi)畫出和△ABC以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形△A1B1C1，且(2)分別寫出A1、B1、C1三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：A1________；B1(3)△A1B【變式9-1】（2023秋·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·九年級(jí)校考期中）如圖，圖中的小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上．（1）畫出位似中心O；（2）求出△ABC與△A′B′C′的相似比．【變式9-2】（2023秋·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O是格點(diǎn)，△ABC是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格線交點(diǎn)上），且點(diǎn)A1是點(diǎn)A以點(diǎn)O

(1)畫出△ABC以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形△A(2)△A1B1C(3)△A1B1C【變式9-3】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖．(1)在圖①中確定格點(diǎn)D，使以A、(2)在圖②中確定格點(diǎn)D，使以A、(3)在圖③中△ABC的AC、BC邊上分別確定點(diǎn)D、E，使得△CDE與△CAB位似，位似中心為點(diǎn)【題型10相似三角形的應(yīng)用】【例10】（2023秋·陜西榆林·九年級(jí)?？计谥校┪挥陉兾魇”辈可衲究h紅堿淖景區(qū)的大門口，樹(shù)立著一座精致的王昭君雕像．在當(dāng)?shù)厝丝磥?lái)，當(dāng)年王昭君就是走過(guò)神木大地，去完成和親使命的．她因?yàn)檫h(yuǎn)離家鄉(xiāng)而傷心落淚，淚水也因此化作了一顆“沙漠明珠”——紅堿淖．某校社會(huì)實(shí)踐小組為了測(cè)量這座雕像（如圖1）的高度，如圖2，小明先在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標(biāo)桿CD，這時(shí)地面上的點(diǎn)E，標(biāo)桿的頂端點(diǎn)D，雕像的頂端B正好在同一直線上，測(cè)得EC=3米；小明再?gòu)狞c(diǎn)E出發(fā)沿著EG方向前進(jìn)9米，到達(dá)點(diǎn)F．在點(diǎn)F處放置一平面鏡，小剛站在G處時(shí)，恰好在平面鏡中看到雕像的頂端B的像，此時(shí)測(cè)得小剛的眼睛到地面的距離GH為1.5米，GF=3米．已知點(diǎn)G、F、E、C與雕像的底端A在同一直線上，AB⊥AG，CD⊥AG，GH⊥AG，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算該雕像的高度AB．（平面鏡大小忽略不計(jì)）

【變式10-1】（2023秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期中）2022年9月16日，第九批在韓中國(guó)人民志愿軍烈士遺骸歸國(guó)，離家還是少年身，歸來(lái)已是報(bào)國(guó)軀．七十多年前，超過(guò)19萬(wàn)名志愿軍戰(zhàn)士在異國(guó)疆場(chǎng)悲壯地倒下，義無(wú)反顧地用血肉之軀把祖國(guó)護(hù)衛(wèi)在身后，把炮火擋在了國(guó)門之外．丹心赤誠(chéng)，鐵骨錚錚，中國(guó)人民志愿軍用鮮血寫就壯麗篇章，英烈們前仆后繼的犧牲奉獻(xiàn)，換來(lái)了我們這幾十年的和平，換來(lái)了我們國(guó)家的富強(qiáng)和人民的幸福．面對(duì)美帝國(guó)主義精良的精確制導(dǎo)武器，中國(guó)人民志愿軍戰(zhàn)士沒(méi)有被嚇倒，沒(méi)有先進(jìn)的武器裝備，志愿軍戰(zhàn)士只能使用以前一些土辦法，其中“跳眼法”就是炮兵常用的一種簡(jiǎn)易測(cè)距方法（圖1），結(jié)合相似三角形原理和光的直線傳播原理，可以計(jì)算出被測(cè)物的大致距離．如圖2，點(diǎn)A為左眼，點(diǎn)B為右眼，點(diǎn)O為右手大拇指，點(diǎn)C為敵人的位置，點(diǎn)D為敵人正左側(cè)方的某一個(gè)參照物（CD∥AB），目測(cè)CD的長(zhǎng)度后，然后利用相似三角形的知識(shí)來(lái)計(jì)算

(1)“跳眼法”運(yùn)用了相似三角形的哪些知識(shí)？（寫出一條即可）(2)已知大多數(shù)人的眼距長(zhǎng)約為6.4厘米左右，而手臂長(zhǎng)約為64厘米左右．若CD的估測(cè)長(zhǎng)度為50米，那么CO的大致距離為多少米？【變式10-2】（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖為一塊銳角三角形的余料，它的邊BC=60mm，AB=40mm，工人師傅要把它加工成菱形零件，使菱形BGMF的一邊BG在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)F，M分別在邊AB，

【變式1