大學(xué)物理《靜電場》

第4篇電磁學(xué)第9章靜電場第10章穩(wěn)恒磁場第11章電磁感應(yīng)引言引言電磁現(xiàn)象是自然界中極為普遍的自然現(xiàn)象。

公元前600年古希臘哲學(xué)家泰利斯就知道一塊琥珀用木頭摩擦之后會吸引草屑等輕小物體

春秋戰(zhàn)國時期

《韓非子》和《呂氏春秋》都有天然磁石（Fe3O4）的記載1785年庫侖定律提出，電磁學(xué)進(jìn)入科學(xué)行列

1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)（電產(chǎn)生磁）

1831年法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象

（磁產(chǎn)生電）1865年麥克斯韋建立了以麥克斯韋方程組為基礎(chǔ)的完整的電磁場理論1887年赫茲利用振蕩器在室驗上證實了電磁波的存在

1905年愛因斯坦創(chuàng)立了相對論，解決了經(jīng)典力學(xué)時空觀與電磁現(xiàn)象新的實驗事實的矛盾

電磁場是一個統(tǒng)一的整體,電磁學(xué)的研究在現(xiàn)代物理學(xué)中也具有相當(dāng)重要的地位。本章內(nèi)容第9章靜電場

§9.1電荷庫倫定律§9.2電場電場強度§9.3靜電場中的高斯定律§9.4靜電場中的環(huán)路定律電勢§9.5靜電場中的導(dǎo)體電容§9.6靜電場中的介質(zhì)§9.7靜電場的能量§9.1電荷庫倫定律9.1.1電荷及其性質(zhì)1.正負(fù)性:

同種電荷相斥；異種電荷相吸

3.量子性2.守恒性在一個孤立系統(tǒng)中總電荷量不變

等量的正、負(fù)電荷相遇后，對外不再呈現(xiàn)電性，這種現(xiàn)象稱為電中和

4.相對論不變性一個電荷的電量與它的運動狀態(tài)無關(guān)，運動粒子的電量不隨速度的變化而變化。在不同的參考系觀察，同一帶電粒子的電量保持不變．9.1.2庫倫定律點電荷

帶電體的大小、形狀可以忽略

把帶電體視為一個帶電的幾何點(一種理想模型)庫倫定律(1785)

在真空中兩個靜止點電荷之間的靜電作用力與這兩個點電荷所帶電量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比，作用力的方向沿著兩個點電荷的連線。電荷q1對q2的作用力F21電荷q2對q1的作用力F12

(Coulomb)真空中的介電常數(shù)(2)庫侖定律適用于真空中的點電荷；(3)庫侖力滿足牛頓第三定律；(4)電荷之間距離小于10-10m時,庫侖定律仍保持有效.至于大距離方面,雖然未作過實驗驗證,但也并沒有特殊的理由預(yù)料在大距離情況下庫侖定律將失效.

討論(1)庫侖定律中比率系數(shù)k為氫原子中電子和質(zhì)子的距離為解例此兩粒子間的靜電力和萬有引力。求兩粒子間的靜電力大小為兩粒子間的萬有引力為

討論(1)庫侖力和萬有引力都是有心力和長程力

(2)靜電力既有引力也有斥力，而萬有引力只是引力；兩種力的作用強度不同

§9.2電場電場強度9.2.1電場場的作用超距作用電荷電荷電荷電荷電場場的存在的客觀依據(jù)(1)對位于其中的帶電體有力的作用(3)電場力的傳遞是需要時間的(2)帶電體在電場中運動,電場力要作功

場是物質(zhì)存在的一種形態(tài)。一方面，它和實物有共性的一面，即能量、質(zhì)量和動量等物質(zhì)的基本屬性．另一方面，電場又有其特殊性，它是無形的，彌漫在整個空間。歷史上的兩種觀點：9.2.2電場強度在給定電場中的確定點來說：場源電荷Q：試驗電荷：帶電量足夠小質(zhì)點==

電場中某點的電場強度的大小等于單位電荷在該點受力的大小，其方向為正電荷在該點受力的方向。

定義：PQ帶電量為Q的帶電體。它所在的位置稱為源點，把電場中待求場性質(zhì)的點（例如p點）叫做場點．是由源點到場點徑矢的單位矢量。

說明：（1）電場強度矢量是空間的位置函數(shù)

（2）場強的定義式具有普遍的適用性，適用于任何場空間。9.2.3場強疊加原理點電荷產(chǎn)生的場點電荷系：

點電荷系在某點P產(chǎn)生的電場強度等于各點電荷單獨在該點產(chǎn)生的電場強度的矢量和。這稱為電場強度疊加原理。連續(xù)分布帶電體:P對于電荷連續(xù)分布的帶電體、帶電面和帶電線，我們可相應(yīng)地引入電荷體密度,則相應(yīng)的元電荷為

:電荷線密度

:電荷面密度

:電荷體密度Br求電偶極子在中垂線上一點產(chǎn)生的電場強度。例解電偶極矩（電矩）定義方向從負(fù)電荷指向正電荷。aPxyO它在空間一點P產(chǎn)生的電場強度。（P點到桿的垂直距離為

a

）解dqr

由圖上的幾何關(guān)系

2

1例長為L

的均勻帶電直桿，電荷線密度為

求無限長直導(dǎo)線討論aPxyOdqr

2

1P點位于中垂線時解：例長為L

的均勻帶電直桿，電荷線密度為

，求它在其延長上P點的電場強度。（P點到桿的中心距離為a

）aPxOdqOx圓環(huán)軸線上任一點P

的電場強度RP解dqr

例半徑為R

的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，帶電量為q

求由于圓環(huán)上電荷分布關(guān)于x

軸對稱(1)當(dāng)

x=0（即P點在圓環(huán)中心處）時，

(2)當(dāng)

x>>R

時可以把帶電圓環(huán)視為一個點電荷討論RPdqOxr

(3)當(dāng)

時E可取最大值。求面密度為

的圓板軸線上任一點的電場強度解PrxO例R

已知帶電系統(tǒng)的電荷分布時，根據(jù)電場強度的定義求電場中任一點P的電場強度，其方法和步驟是：應(yīng)用點電荷電場強度的計算公式，在選定的坐標(biāo)系中寫出某一電荷元dq在P點電場強度；根據(jù)給定的電荷分布，恰當(dāng)?shù)倪x擇電荷元和坐標(biāo)系；再應(yīng)用電場強度疊加原理將每個電荷元產(chǎn)生的電場強度相加，即可得到該點的電場強度；注意：要把向各坐標(biāo)軸上投影，化矢量相加或矢量積分為標(biāo)量相加或標(biāo)量積分，同時還要重視對稱性的分析，這樣可省略一些不必要的計算；圓環(huán)對桿的作用力qL解OxR例已知圓環(huán)帶電量為q

，桿的電荷線密度為

，長為L

求例解相對于O點的力矩：(1)力偶矩最大力偶矩為零

(電偶極子處于穩(wěn)定平衡）(2)(3)力偶矩為零（電偶極子處于非穩(wěn)定平衡）求電偶極子在均勻電場中受到的力偶矩。討論§9.3靜電場中的高斯定律9.3.1電通量

電場線(幾個典型帶電體周圍電場線的分布)場強方向沿電場線切線方向，場強大小取決于電場線的疏密

為了有效的描述電場，引入電場線時規(guī)定:(2)任何兩條電力線不相交.說明靜電場中每一點的場強是惟一的.(1)不形成閉合回線也不中斷，而是起自正電荷(或無窮遠(yuǎn)處)、止于負(fù)電荷(或無窮遠(yuǎn)處).靜電場電場線特點：

電通量穿過任意曲面的電場線條數(shù)稱為電通量。

1.均勻場中dS

面元的電通量矢量面元2.非均勻場中曲面的電通量

3.閉合曲面電通量以曲面的外法線方向為正方向，因此：與曲面相切或未穿過曲面的電力線，對通量無貢獻(xiàn)。

,從曲面穿出的電力線，電通量為正值；

,穿入曲面的電力線，電通量為負(fù)值；總的通量Φe穿出、穿入閉合面電力線條數(shù)之差

9.3.2高斯定理

(2)q在任意閉合面內(nèi)，

e

與曲面的形狀和q的位置無關(guān)的，只與閉合曲面包圍的電荷電量q

有關(guān)。q穿過球面的電力線條數(shù)為q/

0穿過閉合面的電力線條數(shù)仍為q/

0(1)q在球心處，r球面電通量為電通量為以點電荷電場為例的簡單證明1.一個點電荷+q(3)q在閉合面外2.多個電荷q1q2q3q4q5P穿出、穿入的電力線條數(shù)相等任意閉合面電通量為

真空中的任何靜電場中，穿過任一閉合曲面的電通量，等于該曲面所包圍的電荷電量的代數(shù)和乘以

(不連續(xù)分布的源電荷)(連續(xù)分布的源電荷)

是所有電荷產(chǎn)生的;

e

只與內(nèi)部電荷有關(guān)?！咚苟ɡ?.任意帶電系統(tǒng)結(jié)論與電荷量，電荷的分布有關(guān)與閉合面內(nèi)的電量有關(guān),與電荷的分布無關(guān)(2)庫侖定律只適用于靜電場，而高斯定理適用于迅變電磁場，因此高斯定理比庫侖定律應(yīng)用更廣泛。

(3)

凈電荷就是電荷的代數(shù)和

(1)高斯定理是靜電場的基本定理之一，揭示了場和場源的內(nèi)在聯(lián)系．它從一個側(cè)面反映了靜電場是有源場。說明高斯定律的應(yīng)用利用高斯定理求解特殊電荷分布電場的思路分析電荷對稱性；

根據(jù)對稱性取高斯面；根據(jù)高斯定理求電場強度。均勻帶電球面，總電量為Q，半徑為R電場強度分布例求解對稱性分析

1.電荷均勻分布的球面，其球面內(nèi)任一點的場強一定為零。

注意：不能簡單地說，因為球面內(nèi)沒有電荷，所以球面內(nèi)任一點的場強為零

2.球面外一點的場強均勻帶電球面在球面外的電場分布具有球?qū)ΨQ性（或說點對稱性）因此，過P點作一與帶電球面同心的高斯球面，則由對稱性可知，球面上各點的E值相同，于是有根據(jù)高斯定理

Edr

dq

P

/dq

O

R

R

P

例已知球體半徑為R，帶電量為q（電荷體密度為

）解球內(nèi)均勻帶電球體的電場強度分布求q球外解電場強度分布具有面對稱性

選取一個圓柱形高斯面已知“無限大”均勻帶電平面上電荷面密度為

電場強度分布求例根據(jù)高斯定理有

帶等量異號電荷的兩塊無限大均勻帶電平面的電場分布：根據(jù)場強疊加原理由圖可知：已知“無限長”均勻帶電直線的電荷線密度為+

解電場分布具有軸對稱性過P點作高斯面例距直線r

處一點P

的電場強度求根據(jù)高斯定理得P

當(dāng)電場分布不具備對稱性，或雖有一定的對稱性，但對稱性不夠高時，這里難以用高斯定理求解電場分布，并不是說在這種情況下高斯定理不正確，而是電場強度E不能作為常量從積分號內(nèi)分離出來，使得計算相當(dāng)困難。這時應(yīng)該用點電荷的場強公式和場強疊加原理這一基本方法求解電場分布。

高斯定理無法完全確定空間電場分布，只能求解高度對稱的電場分布。§9.4靜電場中的環(huán)路定律電勢9.4.1.靜電場的環(huán)路定理靜電場力作功單個點電荷產(chǎn)生的電場與路徑無關(guān)＝baL

Oq0電場力做功只與始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)，所以靜電力是保守力，靜電場是保守場。任意帶電體系產(chǎn)生的電場在電荷系q1、q2、…的電場中，移動q0，靜電力所作功為:＝結(jié)論q0abL??q0在靜電場中，沿閉合路徑移動q0，電場力作功L1L2靜電場的環(huán)路定理abq0(1)環(huán)路定理要求電力線不能閉合，是無旋場。(2)靜電場是有源、無旋場，可引進(jìn)電勢能。討論靜電場中電場強度沿閉合路徑的線積分等于零。——環(huán)路定律電勢能9.4.2.電勢電勢差q0q0電荷q0自p1

點移至p2

點過程中電場力所做的功定義為電荷q0在p1

、p2

兩點的電勢能之差，即取電勢能零點

W“p2”=0q0在電場中某點

p1的電勢能：

電荷在電場中某點所具有的電勢能等于將電荷從該處移至電勢能為零的參考點的過程中電場力做的功。(1)電勢能應(yīng)屬于q0

和產(chǎn)生電場的源電荷系統(tǒng)所共有。(3)選電勢能零點原則：(2)電荷在某點電勢能的值與電勢能零點有關(guān),而兩點的差值與電勢能零點無關(guān)實際應(yīng)用中取大地、儀器外殼等為勢能零點。當(dāng)(源)電荷分布在有限范圍內(nèi)時，一般選無窮遠(yuǎn)處。無限大帶電體，勢能零點一般選在有限遠(yuǎn)處一點。說明電勢定義與q0無關(guān)，只與移動單位正電荷自該點

“勢能零點”過程中電場力作的功。電勢差移動單位正電荷自a

b過程中電場力作的功。說明（1）電勢能的值在零點確定后，不僅與電場有關(guān)，還與電荷q0

有關(guān)。它是電場和電荷整個系統(tǒng)共有的，它并不直接描述電場中某一點的性質(zhì).但電勢卻與q0無關(guān)，只決定于場源的情況以及場中給定的位置。所以電勢和場強一樣是反映電場本身客觀性質(zhì)的物理量。（2）電勢是一個標(biāo)量，在國際單位制中，電勢的單位為V。產(chǎn)生電場的電荷分布一旦確定，場中的電勢分布就確定。（3）電場中各點電勢的大小與參考點的位置選擇有關(guān)，但兩點之間的電勢差與參考位置的選取無關(guān)。電勢只有相對意義，而電勢差才有絕對意義。(4)一般地，如果場源電荷分布在有限空間，則可選取無窮遠(yuǎn)處為零電勢點。（如果場源電荷分布在無限空間，則只有在選取空間某一確定點為零電勢點才有意義。）電勢疊加原理arq點電荷的電勢P

點電荷系的電勢

對n

個點電荷:在點電荷系產(chǎn)生的電場中，某點的電勢是各個點電荷單獨存在時，在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。這稱為電勢疊加原理。對連續(xù)分布的帶電體：結(jié)論P半徑為R均勻帶電球面，所帶電量為＋q。例求帶電球面產(chǎn)生的電勢分布OR＋＋＋＋＋＋＋＋＋Pr解由電荷分布的球?qū)ΨQ性，用高斯定理很容易求出電場強度的分布為：對球面外一點P：對球面上一點P：對球面內(nèi)一點P：均勻帶電球面產(chǎn)生的電勢分布為：OR＋＋＋＋＋＋＋＋＋PrOR＋＋＋＋＋＋＋＋＋Pr半徑為R，帶電量為q

的均勻帶電球體解根據(jù)高斯定律可得：求帶電球體的電勢分布例++++++RrP對球外一點P：對球內(nèi)一點P1：++++++RP1求電荷線密度為

的無限長帶電直線空間中的電勢分布解取無窮遠(yuǎn)為勢能零點例取a點為電勢零點，a點距離直線為xa(場中任意一點P的電勢表達(dá)式最簡捷)XO

P離帶電直線的距離xp

axa取均勻帶電圓環(huán)半徑為R，電荷線密度為

。解建立如圖坐標(biāo)系，選取電荷元dq例圓環(huán)軸線上一點的電勢求RPOxdqr當(dāng)x=0

時，即圓環(huán)中心O處的電勢為：當(dāng)x＞＞R時，RPOx（另解

）由電荷分布，先求出來電場強度的分布取無窮遠(yuǎn)處為電勢零參考點9.4.3.場強與電勢的關(guān)系等勢面電場中電勢相等的點連成的面稱為等勢面。(1)(2)電力線指向電勢降的方向(3)等勢面的疏密反映了電場強度的大小等勢面等勢面的性質(zhì):電勢與電場強度的關(guān)系取兩個相鄰的等勢面，把點電荷從P移到Q，電場力做功為：電場強度的大小等于沿過該點等勢面法線方向上電勢的變化率某點的電場強度等于該點電勢梯度的負(fù)值，這就是電勢與電場強度的微分關(guān)系。在直角坐標(biāo)系中：QoRrx

求半徑為R，帶電量為Q(電荷無規(guī)則分布)的細(xì)圓環(huán)軸線上任意一點的電勢和電場強度按軸線的分量x例解P?§9.5靜電場中的導(dǎo)體電容9.5.1.靜電場中的導(dǎo)體導(dǎo)體內(nèi)存在大量的自由電荷.無外場時，整個金屬的電量代數(shù)和為零，呈電中性，這時電子只是作無規(guī)則的熱運動。金屬導(dǎo)體的電結(jié)構(gòu)當(dāng)把導(dǎo)體引入場強為E0的外場后，導(dǎo)體中的自由電子就在外電場的作用下，沿著與場強方向相反的方向運動，從而引起導(dǎo)體內(nèi)部電荷的重新分布現(xiàn)象，這就是靜電感應(yīng)。靜電平衡導(dǎo)體是等勢體表面是等勢面E表面⊥導(dǎo)體表面處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體的性質(zhì)(1)導(dǎo)體的內(nèi)部處處不帶電，電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上。證明：在導(dǎo)體內(nèi)任取體積元由高斯定理

體積元任取導(dǎo)體內(nèi)各處如果有空腔,且空腔中無電荷,則如果有空腔,且空腔中有電荷,則電荷只能分布在外表面！+q---------------在內(nèi)外表面都分布有電荷！設(shè)P

是導(dǎo)體外緊靠導(dǎo)體表面的一點,相應(yīng)的電場強度為(2)靜電平衡導(dǎo)體表面附近的電場強度與導(dǎo)體表面電荷的呈正比。設(shè)導(dǎo)體表面電荷面密度為確定電場強度E和電荷密度

的關(guān)系:++++ds++++(

為導(dǎo)體外法線方向)（3）對于孤立導(dǎo)體，導(dǎo)體表面曲率越大的地方，電荷密度越大，電場強度也越大；反之，表面曲率越小的地方，電荷密度越小，電場強度也越?。诒砻姘歼M(jìn)去的地方（曲率為負(fù)），電荷密度最小，甚至可以忽略不計。孤立導(dǎo)體+++++++++++++++++++尖端放電AC導(dǎo)體球孤立帶電B靜電屏蔽(腔內(nèi)、腔外的場互不影響)++++++++已知導(dǎo)體球殼A帶電量為Q

，導(dǎo)體球B帶電量為q

(1)將A接地后再斷開，電荷和電勢的分布；解A與地斷開后，ArR1R2B-q電荷守恒(2)再將B接地，電荷和電勢的分布。A接地時，內(nèi)表面電荷為-q外表面電荷設(shè)為例求(1)B球的電勢:ArR1R2B-q設(shè)B上的電量為根據(jù)孤立導(dǎo)體電荷守恒(2)導(dǎo)體附近沒有其他導(dǎo)體或帶電體電容只與導(dǎo)體的幾何因素和介質(zhì)有關(guān)，與導(dǎo)體是否帶電無關(guān)。9.5.2.孤立導(dǎo)體的電容單位:法拉(F)“孤立”導(dǎo)體孤立導(dǎo)體的電容

+

+++++++++++++++Qu↑E↑

物理意義：使孤立導(dǎo)體每升高單位電勢所需的電量。

電勢為電容為R

求半徑為R的孤立導(dǎo)體球的電容。9.5.3.電容器的電容電容器BACDqA導(dǎo)體B外無帶電體：

UA，UB與外界導(dǎo)體有關(guān)，但UA－UB任不受外界影響，且腔內(nèi)電場僅由導(dǎo)體A所帶電量qA以及A表面和B內(nèi)表面形狀決定，與外界情況無關(guān)．導(dǎo)體B外有其他帶電體：A、B兩導(dǎo)體構(gòu)成的整體稱為電容器。電容器的電容（電容器電容的大小取決于極板的形狀、大小、相對位置以及極板間介質(zhì)）。d

uS+Q-Q(1)平行板電容器電容器電容的計算(2)球形電容器R1+Q-QR2ab(3)柱形電容器R1R2l電容器的串連和并聯(lián)(1)電容器的串聯(lián)根據(jù)電容的定義總的電容和每一個電容的關(guān)系為電容器串聯(lián)時的電容的倒數(shù)等于分電容的倒數(shù)和。串聯(lián)后的電容器的總電容小于原來任一分電容，即容電能力減小了，但是它的耐壓能力提高了。(1)電容器的并聯(lián)根據(jù)電容的定義總的電容和每一個電容的關(guān)系為電容器并聯(lián)時，總電容等于各分電容之和．雖然總電容增大了，但整個電容器的耐壓能力降低了，為了避免被擊穿的危險，連接外電源時，只能選擇電容器中最低的耐壓值來確定外加電壓．

§9.6靜電場中的介質(zhì)9.6.1.電介質(zhì)的極化電介質(zhì):絕緣體-++OH+H++H2OH+++-+H+H+NNH3（氨）+-+-1.有極分子電介質(zhì)分子的等效正、負(fù)電荷中心不重合的電介質(zhì)稱為有極分子電介質(zhì)，如HCl

、H2O、CO、SO2、NH3…..等。其分子有等效電偶極子、它們的電矩稱作分子的固有電矩，記作Pe。分子的等效正、負(fù)電荷中心重合的電介質(zhì)稱為無極分子電介質(zhì)。其分子的固有電矩Pe=0

如所有的惰性氣體及CH4等。--+HeH+++-++H+H+H+CH4（甲烷）CHe+--2.無極分子電介質(zhì)電介質(zhì)的極化在外電場作用下，介質(zhì)中出現(xiàn)電荷集聚的現(xiàn)象——極化現(xiàn)象。聚集起來的電荷稱為——極化電荷。(無極分子電介質(zhì))(有極分子電介質(zhì))整體對外不顯電性（熱運動）無外場時有外場時位移極化取向極化

無極分子電介質(zhì)

有極分子電介質(zhì)束縛電荷

′束縛電荷

′說明⑴兩種極化的宏觀效果一樣。①極化電場與外電場方向相反。②各向同性的均勻介質(zhì)中極化電荷僅出現(xiàn)在介質(zhì)的表面處。⑵極化電荷的電場不能完全抵消外電場，除非介質(zhì)被擊穿。⑶取向極化中也有位移極化。外電場E0↑

極化

′↑

介質(zhì)內(nèi)電場E↑

擊穿。9.6.2.電介質(zhì)中的電場在外電場作用下，介質(zhì)中總場外電場束縛電荷產(chǎn)生的附加場極化電荷產(chǎn)生的電場在電介質(zhì)內(nèi)部總是起著削弱外電場的作用．電極化強度每個分子的電偶極矩定義電偶極子排列的有序程度反映了介質(zhì)被極化的程度,排列愈有序，說明極化愈強烈。實驗表明：對于大多數(shù)常見的各向同性的電介質(zhì)，有------電極化率說明可以證明，均勻介質(zhì)極化時，其表面上某點的極化電荷面密度，等于該處電極化強度在外法線上的分量．即可以證明，在電場中，穿過任意閉合曲面的極化強度矢量的通量等于該閉合曲面內(nèi)極化電荷總量的負(fù)值．即：S面內(nèi)包含的極化電荷總和以充滿相對介電常數(shù)為

r

的各向同性均勻電介質(zhì)的平行板電容器為例

,來討論E與E0的關(guān)系。外電場強度：

附加電場強度：

介質(zhì)中總的場強：

另，即相對介電常數(shù)

，則

該式表明，充滿電場空間的各向同性均勻電介質(zhì)內(nèi)部的場強大小等于真空中場強的

1/ε0倍，這一結(jié)論雖然是從無限大平行金屬板間充滿電介質(zhì)的特例中得到，但它適用于任何其它形狀的帶電體情形．9.6.3.電位移矢量電介質(zhì)中的高斯定律平行板電容器加入電介質(zhì)(εr

)，取高斯面S令：電位移矢量通過高斯面的電位移通量等于高斯面所包圍的自由電荷的代數(shù)和，與極化電荷及高斯面外電荷無關(guān)。這一結(jié)論稱為有電介質(zhì)時的高斯定理。

其中，帶入上式討論+++++++++---------++++