第五章 二次曲線的一般理論課件

第五章二次曲線的一般理論

主要內(nèi)容⑴二次曲線與直線的相關(guān)位置⑵二次曲線的漸近方向、中心、漸近線⑶二次曲線的切線⑷二次曲線的直徑⑸二次曲線的主直徑與主方向⑹二次曲線方程的化簡(jiǎn)與分類⑺用不變量化簡(jiǎn)二次曲線的方程第五章二次曲線的一般理論教學(xué)目的：

⑴了解復(fù)平面的特征；

⑵掌握二次曲線的漸近方向、中心、漸近線、切線、直徑、主方向和主直徑概念及求法；

⑶弄清移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換對(duì)二次曲線方程系數(shù)的影響規(guī)律，以及這兩種坐標(biāo)變換在化簡(jiǎn)二次曲線方程中所起的作用；

⑷能判別二元二次方程所表示的曲線的類型，熟練地化簡(jiǎn)二次曲線方程，并寫出相應(yīng)變換關(guān)系式，作出其圖形。教學(xué)重點(diǎn)：

⑴二次曲線由漸近方向、中心、標(biāo)準(zhǔn)方程得出的不同分類方法；⑵二次曲線方程的化簡(jiǎn)、分類與作圖。教學(xué)難點(diǎn)：

移軸變換和轉(zhuǎn)軸變換對(duì)二次曲線方程系數(shù)的影響規(guī)律及其在化簡(jiǎn)二次曲線方程中所起的作用。第五章教學(xué)要求第五章二次曲線的一般理論§5.1二次曲線與直線的相關(guān)位置

教學(xué)目標(biāo)：

⑴了解復(fù)平面的特征；⑵熟記二次曲線方程中的有關(guān)記號(hào)；⑶掌握二次曲線與直線的相關(guān)位置及判別方法。教學(xué)重點(diǎn)：

二次曲線方程中的有關(guān)記號(hào)及二次曲線與直線的相關(guān)位置。教學(xué)難點(diǎn)：

二次曲線與直線位置的判別方法。第五章二次曲線的一般理論二次曲線的一般理論前言在平面上，由二元二次方程

所表示的曲線，叫做二次曲線。在這一章里，我們將討論二次曲線的幾何性質(zhì)，以及二次曲線的化簡(jiǎn)，最后對(duì)二次曲線進(jìn)行分類。一平面上的復(fù)元素第五章二次曲線的一般理論今在復(fù)平面上引入下列復(fù)元素⑴復(fù)向量：

⑵復(fù)直線：

在直角系下,一次方程ax+by+c=0(a,b為復(fù)數(shù))所表示的圖形,稱為復(fù)直線;若a,b,c與三實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)成比例,則稱其為實(shí)直線,否則稱其為虛直線。注意:實(shí)直線可以有虛點(diǎn)。

注：實(shí)直線上有無窮多個(gè)復(fù)點(diǎn)，但虛直線上只有一個(gè)實(shí)點(diǎn)。第五章二次曲線的一般理論⑶定比分點(diǎn)：

⑷共軛復(fù)元素：第五章二次曲線的一般理論三為了方便起見，特引進(jìn)一些記號(hào)：第五章二次曲線的一般理論第五章二次曲線的一般理論二次曲線與直線的相關(guān)位置討論二次曲線與直線的交點(diǎn)，可以采用把直線方程⑵代入曲線方程⑴然后討論關(guān)于t的方程?！拧茖?duì)⑶或⑷可分以下幾種情況來討論：第五章二次曲線的一般理論第五章二次曲線的一般理論第五章二次曲線的一般理論解:將直線化為參數(shù)形式得:為(1,0),所以直線在二次曲線上，即直線上所有點(diǎn)均為交點(diǎn)。例求直線與二次曲線的交點(diǎn)。因?yàn)?第五章二次曲線的一般理論§5.2二次曲線的漸近方向、中心、漸近線教學(xué)目標(biāo)：⑴理解二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念；⑵掌握二次曲線的漸近方向、中心、漸近線的求法；⑶能根據(jù)漸近方向和中心對(duì)二次曲線進(jìn)行分類。教學(xué)重點(diǎn)：二次曲線的漸近方向、中心、漸近線概念及求法。教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)漸近方向和中心對(duì)二次曲線進(jìn)行分類。第五章二次曲線的一般理論§5.2二次曲線的漸近方向、中心、漸近線1.二次曲線的漸近方向

定義5.2.1滿足條件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲線的漸近方向，否則叫做非漸近方向。事實(shí)上，為漸近方向第五章二次曲線的一般理論事實(shí)上，為漸近方向第五章二次曲線的一般理論可見，對(duì)橢圓，∵對(duì)雙曲線∴它有二不同實(shí)漸近方向；∴它有二相同的實(shí)漸近方向；，∵，∵∴它有二共軛復(fù)漸近方向；對(duì)拋物線對(duì)雙曲線∴它也有二不同實(shí)漸近方向；，∵第五章二次曲線的一般理論

定義5.2.2沒有實(shí)漸近方向的二次曲線叫做橢圓型的,有一個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做拋物線型的,有兩個(gè)實(shí)漸近方向的二次曲線叫做雙曲型的。即:⑴橢圓型:I2>0；⑵拋物型:I2＝0；⑶雙曲型:I2<02.二次曲線的中心與漸近線

定義5.2.3如果點(diǎn)C是二次曲線的通過它的所有弦的中點(diǎn)(C是二次曲線的對(duì)稱中心)，那么點(diǎn)C叫做二次曲線的中心。

定理5.2.1點(diǎn)C(x0

,y0)是二次曲線(1)的中心，其充要條件是：第五章二次曲線的一般理論

定理5.2.1點(diǎn)C(x0

,y0)是二次曲線(1)的中心，其充要條件是：的根，而由弦的任意性,∴第五章二次曲線的一般理論

定理5.2.1點(diǎn)C(x0

,y0)是二次曲線(1)的中心，其充要條件是：

推論坐標(biāo)原點(diǎn)是二次曲線的中心，其充要條件是曲線方程里不含x與y的一次項(xiàng).第五章二次曲線的一般理論二次曲線(1)的的中心坐標(biāo)由下方程組決定：如果I2≠0，則(5.2－2)有唯一解，即為唯一中心坐標(biāo)如果I2＝0，分兩種情況：第五章二次曲線的一般理論

定義5.2.4

有唯一中心的二次曲線叫中心二次曲線,沒有中心的二次曲線叫無心二次曲線,有一條中心直線的二次曲線叫線心二次曲線,無心二次曲線和線心二次曲線統(tǒng)稱為非中心二次曲線。二次曲線分類：第五章二次曲線的一般理論

漸近線求法1：求出中心，再求出漸近方向即可得到漸近線的參數(shù)方程。

定義5.2.5

通過二次曲線的中心，而且以漸近方向?yàn)榉较虻闹本€叫做二次曲線的漸近線。

可見：橢圓型二次曲線有二共軛復(fù)漸近線;雙曲型二次曲線有二不同實(shí)漸近線;而對(duì)拋物型二次曲線,若其為無心的,則其沒有漸近線,若其為線性的,則由于其漸近方向?yàn)?，而這正是中心直線的方向，∴它的漸近線即為中心直線。第五章二次曲線的一般理論

定理5.2.2

二次曲線的漸近線與這二次曲線或者沒有交點(diǎn)，或者整條直線在這二次曲線上成為二次曲線的組成部分。則l與曲線不相交，第五章二次曲線的一般理論

例1

試證明如果二次曲線

a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有漸近線，那么它的兩漸近線方程是

Φ(x-x0,y-y0)≡a11(x-x0)2+2a12(x-x0)(y-y0)+a22(y-y0)2=0,式中(x0,y0)為二次曲線的中心。

證明：設(shè)(x,y)為漸近線上任意一點(diǎn)，則曲線的漸近方向?yàn)椋篨:Y=(x-x0):(y-y0)所以Φ(x-x0,y-y0)=0即：a11(x-x0)2+2a12(x-x0)(y-y0)+a22(y-y0)2=0第五章二次曲線的一般理論例2

求二次曲線x2-3xy+2y2+x-3y+4=0的漸近線。解法一：由,解得中心為C(-5,-3),由Φ(X,Y)=X2-3XY+2Y2=0解得漸近方向?yàn)?X1:Y1=2:1,

X2:Y2=1:1,所以漸近線方程為:,即x-2y-1=0,

x-y+2=0解法二：同解法一求得中心為C(-5,-3)，由上題得漸近線為