2023年高考數(shù)學(xué)第37講怎樣解與折疊有關(guān)的空間圖形問題

第37講怎樣解與折疊有關(guān)的空間圖形問題

一、知識概要

將平面圖形沿某直線折起構(gòu)成一個空間圖形,并對其中有關(guān)元素翻折前后的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)

系進行論證或計算的問題,稱為平面圖形的翻折(或折血)問題，平面圖形翻折問題是立體幾何的

常見題型，它能較好地考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力，解答這類問題時,關(guān)鍵是要搞清

楚翻折前后圖形中哪些元素的位置和數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，再利用有關(guān)知識進行解答.與折疊有

關(guān)的空間圖形問題的求解，核心是運動變化思想的運用.

二、題型精析

【例1】

如圖3—117(1)所示，在等腰直角三角形ABC中,/A=90,BC=6,D,E分別是AC,A3上的

點,CO=BE=應(yīng),O為的中點，將ADE沿DE折起，得到如圖3—117(2)所示的四棱錐

4-8。。及其中4。=6.

⑴證明：A'O_L平面8CDE;

(2)求二面角A—CD—B的平面角的余弦值.

圖3-117

【策略點擊】

本例探求平面圖形翻折后的線面垂直關(guān)系及二面角問題，解題時要注意平面圖形在翻折過程中，

某些幾何元素的幾何量保持不變,但是由于圖形的變化，這些幾何元素間的關(guān)系變得撲朔述離，

從而造成解題的繁難，一定要搞清楚，在翻折過程中，哪些元素之間關(guān)系發(fā)生了變化，是如何

變化的，厘清了不變與變，解題方案便會在腦海里閃現(xiàn)出來。

【解】

(1)證明：由題意，易得OC=3,AC=3jlAO=20.如圖3—118所示，聯(lián)結(jié)OROE，在

OCD中，由余弦定理可得OD=y]0C2+CCr-2OC-CDcos45=#).

由翻折不變性可知A'D=2V2A'O2+OD2=A'D2,:.A'O±OD.

同理可證AO,OE,又ODcOE=O,:.A'O_L平面BC-DE.

(2)【解法一】

過。作。H，CD,交CO的延長線于“，聯(lián)結(jié)A”,如圖3—119所示.

圖3-H9

A'O1平面BCDE,AO_LCD又?A'O,OHu平面A!OH,:.CD±平面AOH.

故AH±CD:.ZA!HO為二面角A'-CD-B的平面角.

結(jié)合OC=3,/BCD=45，得OH=—，從而A'H=>JOH2+OA2=—.

22

cos/A'"。="=叵....二面角A—CD—B的平面角的余弦值為—.

A'H55

【解法二】

(向量坐標(biāo)法)以點。為原點，建立如圖3-120所示的空間直角坐標(biāo)系.

\A

圖3-120

則4的坐標(biāo)為?),(),g),C的坐標(biāo)為(0,—3,0),力的坐標(biāo)為(1,一2,0),

OV=((),3,G),QA=(-1,2,9

/\\n-CA'=0,[3y+>/3z=0,

設(shè)〃=(x,y,z)為平面AC。的一個法向量，則即)J

n-DA'=0,—X+2y+yf3z——0,

解得41,一1,751即八=（1,一1,6）為平面48的一個法向量.

z=75x、'、

由（1）知。4'=（0,0,為平面CDB的一個法向量.

4一8—8即二面角的平面角的余弦值為巫.

【例2】

如圖3—121所示，圓形紙片的圓心為。，半徑為6ftl，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為

O.D,E,尸為圓。上的點，二DBC,_ECA、_FAB分別是以BC,C4,A5為底邊的等腰三角形.沿

虛線剪開后，分別以BC,CA,AB為折痕折起二DBCuECA,_FAB，使得D,E,F重合，得到三棱

錐，當(dāng)AABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位:cn?）的最大值為

【策略點擊】

本題為平面圖形折疊成空間圖形，當(dāng)折疊終止時，幾何體是一個正三棱錐，這個正三棱錐底面

邊長是一個變元，從而導(dǎo)致三棱錐體積的變化，特別要提醒的是，在折疊問題中，必須注意到

折疊過程中哪些要素在變化，哪些要素始終保持不變，其中不變要素是核心要素，根據(jù)平面圖

形的性質(zhì)，尋找不變要素的數(shù)量關(guān)系以及直線與直線平行和垂直的位置關(guān)系，是解決折疊問題

的突破口，因此折疊問題可通過變圖、想圖、構(gòu)圖、用圖的過程，積極思考，體會解題程序方

向性，直擊問題的本質(zhì)。折疊問題既要看清平面轉(zhuǎn)化為空間的過程，又要明確三維空間圖形問

題的平面化處理是解決立體幾何問題的最常見的方法，兩者是互逆的。在建立體積表達式的函

數(shù)模型之后，結(jié)合函數(shù)思想求最值，通常用導(dǎo)數(shù)法，也可考慮運用基本不等式的方法。

【解法一】

由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，當(dāng).A6C的邊長變化時，設(shè)ABC的邊長為

a(a>O)cm,則的面積為二二”,的高為5—二二。，則正三棱錐的高為

46

所得三棱錐的體積V='x走”2—述。=立X\25/一速

34V312V3

令，=25/一名5a5,則「=100。3—至叵由f=0)得”=4百.

33

此時所得三棱錐的體積最大，為4而？3.

【解法二】

如圖3-122所示，聯(lián)結(jié)。。交8c于點G,由題意知,0。_L8C,易得0G=BC.:.0G的長

6

度與BC的長度成正比.

S3-122

2

設(shè)OG=x,則3C=2氐,OG=5-x,5A8C=-3xx1=3^x,

則所得三棱錐的體積

V=1x373%2x7(5-X)2-X2=V3x2-V25-10x=x725x4-10x5

令/(x)=25x4一lOxMxe(0,g),

則r(x)=lOOx3—50f，令r(x)..0,即小—2只,0,得0<X,2,

則當(dāng)xe(0,5時J(x),J(2)=80,

:乂國底=4屈，故所得三棱錐體積的最大值為4詬？3

【解法三】

如圖3—123所示，聯(lián)結(jié)OE交AC于點”，聯(lián)結(jié)A。,。。,設(shè)OH=x,

則AC=2Gx,EH=5-x，三棱錐D-ABC的高為J25-10x,

SABC=3gx2,%A8C=國/(25-10x)

誓孚產(chǎn)于開用后

當(dāng)且僅當(dāng)x=10—4x,即x=2時取等號，

故所得三棱錐體積的最大值為4而？3

【例3】

平面圖形ABB^C.C如圖3-124所示，其中BB?C是矩形.BC=2,BB1=4,

AB=AC=J5，A4=A￡=石，現(xiàn)將該平面圖形分別沿和B?折疊，使4ABe與

A￡G所在平面都與平面BBC。垂直，再分別聯(lián)結(jié)A,A，4B,AQ,得到如圖3-125所示的空

間圖形，對此空間圖形解答下列問題.

(1)證明:A411BC;

(2)求A4的長;

(3)求二面角A-3C-4的余弦值.

4

4

圖3-124圖3-125

【策略點擊】

這是一個折疊問題，要不斷地將折疊前后的圖形加以比較，抓住折疊前后的變與不變量，通常

折疊線同側(cè)的點、線位置關(guān)系折疊前后不發(fā)生變化，而折疊線異側(cè)的點、線位置關(guān)系折疊后常

發(fā)生變化，本題有兩條折疊線，圖形較為復(fù)雜，要冷靜對待。

【解】

⑴證明:如圖3—126所示.取5C,4G的中點分別為。和2，聯(lián)結(jié)AR，DD],AD,AD,AR.由

條件可知BC±AD,B,C,_L4A,

圖3-126

由上可得A￡>J>平面AR，平面,由此得AD//A.D,，即AD和A2確定平

面AD^D.

又::DDJIBBaBB[JLBC,DD[18c.又考慮到AD1BC,ADryDD}=D.

8C"L平面A"A。,故BC_LA41.

⑵延長AR到G點，使GR=A。,聯(lián)結(jié)AG,如圖3—127所示.

BB3-127

AD//GD,,:.AG如

由于，平面A5G，.,.AG1A,G.

由條件可知，AG=4。+AG=3,AG=4;9=5.

(3)'BC_L平面AAA。，

ZADA,為二面角A-BC-A,的平面角.

在Rt.,A中,=4,A°=2，解得sin/￡>QA=當(dāng)

(71

cos/AD4j=cosl—+NDQA一—，

5

即二面角A-BC-A,的余弦值為一手

方法提煉

事物的空間形成，總是表現(xiàn)為不同維數(shù)且遵循由低維到高維的發(fā)展規(guī)律.所謂升維策略，就是把維

數(shù),抽象水平較低的或局部的問題轉(zhuǎn)化為維數(shù)，抽象水平較高或整體性較強的整體間的關(guān)系問題,

通過對整體性質(zhì)或關(guān)系的考慮，而使原問題獲得解決的策略,如平面圖形通過翻折或旋轉(zhuǎn)成為空

間圖形就是二維向三維轉(zhuǎn)化與變換.反之，在解題時，考慮把高維空間的問題轉(zhuǎn)化為低維空間的問

題，這種處理問題的方法叫降維法，也可稱之為降維策略,如將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,

比如求解多面體或旋轉(zhuǎn)體表面上的取離最短問題的一般方法是將空間兒何體（三維）表面展開，轉(zhuǎn)

化為平面上（二維）兩點間的距離問題，這在上一講（第三十六講“怎樣解立體幾何中的最值問題”）

中已有涉及，本講不再重復(fù).

三、易錯警示

【例】

在矩形ABCD中,AC=2V2,AB,,BC,沿對角線AC折起，使，ABC和^ADC所在平面互相

垂直，此時3。的長為石，求AB的長.

【錯解】

如圖3—128所示.作BEVAC，垂足為點E,OE_LAC,垂足為尸，聯(lián)結(jié)DE,BF,設(shè)

AB=x,BC=y.

圖3-128

在」ABC中,AB?+BC2=AC?,則/+=8,即曠2=&一犬2.①

2

由等面積公式知魴八去'仃"公連.

X24-x2

EF=2AE-AC=2近-2

2

，把(1代人上式得/_8Y+12=0,二.X=6或工2=2.

即AB二瓜或五.

【評析及正解】

錯解忽略了題中所給的條件A8WBC,即xWy,說明在解題過程中關(guān)注細節(jié)非常重要。

正確的解法是：

【解】

同上述解法，當(dāng)為2=6時,丁=2不符合x2?X2=2，即AB=0.

四、難題攻略

【例】如圖3-129(1)所示，在正三角形A8C中,E,F,P分別是AB,AC,BC邊上的點，

滿足A￡:E3=C尸：E4=CP:P5=1:2.將AEE沿EE折起到.A.EF的位置，使二面角

A.-EF-B成直二面角，聯(lián)結(jié)45、4P［如圖3129(2)所示］.

(1)求證：4￡_1_平面3批；

(2)求直線AE與平面A8P所成角的大?。?/p>

(3)求二面角B-AP-F的大小.(用反三角函數(shù)值表示)?

(1)(2)

圖3-129

【破難析疑】

本題以平面圖形的翻折為載體考查線面垂直、線面角、二面角等基礎(chǔ)知識以及角和距離的計算

等。注意在證明的推理過程中，找對平面的垂線很重要，若運用空間向量的解法，則正確建立

空間直角坐標(biāo)系是順利解決本題的關(guān)鍵。

【解法一】

(立體幾何方法)不妨設(shè)正三角形..ABC的邊長為3.

(1)證明:如圖3—130(1)所示，取BE的中點。，聯(lián)結(jié)。f

圖3-130

AE:E5=W:E4=1:2".AE=AZ)=2,而/A=60ADF是正三角形.

又AE=DE=1,EF±AD.因此，折起后有4E，EF,BELEF.

：.NAEB為二面角\-EF-B的平面角.由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，A.E1BE.

又BEcEF=E,:.A^El平面BEF,即A,E1平面BEP.

(2)vAE不垂直于4B，二A?是平面ABP的斜線.

又4E，平面BEP,:.A.EVBP,

從而8P垂直于AE在平面A8P內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理).

設(shè)在平面48P內(nèi)的射影為4。,且4Q交于點Q,如圖3-130(2)所示，

則NEAQ就是AE與平面A8P所成的角.且AQ.

在，EBP中,\BE=BP=2,NEBP=60,:.&EBP是等邊三角形.；.BE=EP.

又4"_L平面BEP,:.=4P..?.Q為BP的中點，且EQ=y[3.

又aE=1,在Rt.AE。中,tan/SQ=絲=百.二/gQ=60.

\E

即直線AE與平面A3P所成角為60.

(3)如圖3—131所示，過尸作根_LAP于"，聯(lián)結(jié)QM,QF,

圖3-131

-CF=CP=\,ZC=6QPCP是正三角形.

PF=1,又PQ=gBP=l,PF=PQ.①

A盧1平面BEP,EQ=EF=6

4/=4AAFP三工4QP?從而24尸產(chǎn)=/A尸。?②

由①②及MP為公共邊知.FMP=_QMP.

ZQMP=ZFMP=90，且MF=MQ.

從而NFMQ為二面角B-A.P-F的平面角.

在Rt_AQP中,AQ=A/=2,PQ=I,.14P=6.

MQ1AP,.?.MQ=40.絲=述,MF=—

AP55

在,/CQ中，/C=l,QC=2,4C=60，由余弦定理得Qb=G.

MF2+MQ2-QF27

在乙FMQ中，cos/FMQ=

2MFMQ8

7

，二面角B-\P-F的大小為；r-arccosg.

【解法二】

（向量法）不妨設(shè)正三角形ABC的邊長為3.

（1）同解法一.

⑵如圖3-132（2）所示，分別以砂,石￡昭為x軸、V軸、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系O-孫z,則E（0,0,0），A（0,0,l）,3（2,0,0）,F（0,g,0）,

聯(lián)結(jié)DP,如圖3—132(1)所示.AF=BP=2,AE=BD=1,NA=NB,

:‘FEAtPDB.PD=EF=&

由圖3-132⑴知,/￥7/DE且尸產(chǎn)=DE=1,p(1,百,0),

..45=(2,0,-1),旅=(-1,0,0).

...對于平面ABP內(nèi)任一非零向量a,存在不全為零的實數(shù)九〃,使得a=

248+〃82=(2/1_〃,@/,_/1b又4月=(0,0,_1).

設(shè)4E與a夾角為6,則cos6=|"'勺二=/無.

R目同小分-4沏+4〃2

直線AE與平面所成的角是4K與平面A8P內(nèi)非零向量夾角中最小值,

二可設(shè)2〉0,從而cos0=1

/\2/?\2

又5-4—F4-=4----+4的最小值為4.

2UJU2)

.?.COS。的最大值為;，即4芯與。夾角中最小的角為60.

直線A,E與平面AtBP所成的角為60.⑶過F作FM_L于M，過用作MN_LA/交

3尸于%,見圖3-132(2),則/凡亞為二面角8-4尸一尸的平面角.

設(shè)A/(x,y,z),則M尸=y,—z),

MF±AlP,.-.MFA,P=0,

又4P=(1,瘋T".x+b(y_0