福建省廈門重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期十二月月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

福建省廈門重點(diǎn)中學(xué)2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期十二月考試高二年數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線過點(diǎn)，且不過第四象限，則直線的斜率的最大值是（）A.2B.1C.D.0

2.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，則（）A.257B.255C.127D.129

3.若離心率為的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則（）A.B.C.±2D.4.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則的前七項(xiàng)和（）A.21B.28C.35D.42

5.已知拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為是上一點(diǎn)，是直線與的交點(diǎn)，若，則（）A.4B.C.2D.6.如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，，與平面交于點(diǎn)，則（）A.B.C.D.7.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體.如圖，已知一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)為分別為棱的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（）A.B.C.D.8.已知是橢圓的左右頂點(diǎn)，是雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，直線分別交橢圓于另外的點(diǎn).若直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則（）A.B.點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為C.向量在上的投影向量為D.點(diǎn)到直線的距離為10.已知直線，設(shè)兩直線分別過定點(diǎn)，直線和直線的交點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)B.C.的最小值為7D.若，則恒滿足11.如圖，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)分別在雙曲線的左?右兩支上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則（）A.雙曲線的離心率B.若且，則的漸近線方程為C.若，則D.若，則12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，將數(shù)列和中的項(xiàng)按照從小到大的順序排列構(gòu)成新的數(shù)列，則（）A.B.數(shù)列中與之間共有項(xiàng)C.D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.圓與圓的公共弦長(zhǎng)等于__________.14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________.15.橢圓上有兩點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，是以為中心的正三角形，則的周長(zhǎng)為__________.16.在平面上有一系列點(diǎn)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上，以點(diǎn)為圓心的都與軸相切，且與外切.若，且的前項(xiàng)之和為，則__________.四?解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（10分）已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，且到的焦點(diǎn)的距離為1.（1）求的方程；（2）若直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，，且，試探究直線是否過定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，請(qǐng)說明理由.19.（12分）設(shè)是等比數(shù)列且公比大于0，其前項(xiàng)和為是等差數(shù)列，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的最大整數(shù)的值.20.（12分）三棱柱中，，線段的中點(diǎn)為，且.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上，且，求平面與平面夾角的余弦值.21.（12分）某高科技企業(yè)研制出一種型號(hào)為的精密數(shù)控車床，型車床為企業(yè)創(chuàng)造的價(jià)值逐年減少（以投產(chǎn)一年的年初到下一年的年初為型車床所創(chuàng)造價(jià)值的第一年）.若第1年型車床創(chuàng)造的價(jià)值是250萬元，且第1年至第6年，每年型車床創(chuàng)造的價(jià)值減少30萬元；從第7年開始，每年型車床創(chuàng)造的價(jià)值是上一年價(jià)值的.現(xiàn)用表示型車床在第年創(chuàng)造的價(jià)值.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)的和，，企業(yè)經(jīng)過成本核算，若萬元，則繼續(xù)使用型車床，否則更換型車床，試問該企業(yè)須在第幾年年初更換A型車床？22.（12分）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為的離心率為上有三點(diǎn)，直線分別過的周長(zhǎng)為8.（1）求的方程；（2）①若，求的面積；②證明：當(dāng)面積最大時(shí)，必定經(jīng)過的某個(gè)頂點(diǎn).高二年數(shù)學(xué)參考答案一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】A【詳解】如圖，，只有當(dāng)直線落在圖中所示位置時(shí)才符合題意，故.故直線的斜率的最大值為2.2.【答案】C【詳解】由數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，所以，即，則.3.【答案】C【詳解】e，所以，得漸近線為，因?yàn)槠渲幸粭l漸近線與直線垂直，則，得.4.【答案】B【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)以及可知，，即，從而.5.【答案】D【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，過作，交于，根據(jù)拋物線的定義得.6.【答案】A【詳解】解：由題設(shè)，因?yàn)椋?，又因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以，解得7.【答案】D【詳解】如圖所示：由題意，可得，，又由正八面體的棱長(zhǎng)都是2，且各個(gè)面都是等邊三角形，在中，由，可得，所以，所以所以，即直線和夾角的余弦值為.8.【答案】A【詳解】由題意可知，設(shè)，可得直線的斜率分別為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，整理得，所以，設(shè)點(diǎn)，可得直線的斜率，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理得，所以，即，則，所以直線與關(guān)于軸對(duì)稱，又因?yàn)闄E圓也關(guān)于軸對(duì)稱，且過焦點(diǎn)，則軸，又，則，所以，整理得，即，解得，或舍去，所以橢圓的離心率為.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】BC【詳解】對(duì)于，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故B正確；對(duì)于C，在上投影向量為正確.對(duì)于，點(diǎn)到直線的距離為錯(cuò)誤.10.【答案】AB【詳解】對(duì)于可化作，可發(fā)現(xiàn)過定點(diǎn)，同理，過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于，易知恒成立，因此是以為直徑的圓上的點(diǎn)，根據(jù)定義，正確；對(duì)于C，由題可知在圓上，所以錯(cuò)誤，對(duì)于，設(shè)，若，則，化簡(jiǎn)可得，與的方程不符合，故錯(cuò)誤.11.【答案】ACD【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，所以兩漸近線夾角小于，即，所以正確；對(duì)于B，時(shí)，為等腰直角三角形，所以，又點(diǎn)在雙曲線上，代入雙曲線方程得即，解得，所以漸近線方程為錯(cuò)誤；對(duì)于，在雙曲線上取關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接，因?yàn)?所以，所以，又，則.又為中點(diǎn)，所以，必有三點(diǎn)共線，因?yàn)闉榻瞧椒志€，所以正確；對(duì)于，在上取一點(diǎn)使得，則有，即，所以，又，所以，所以，D正確.12.【答案】ABD【詳解】由題意可知：數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)也滿足，所以；又因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，所以.則數(shù)列為：，所以，故選項(xiàng)A正確；數(shù)列是由連續(xù)奇數(shù)組成的數(shù)列，都是偶數(shù)，所以與之間包含的奇數(shù)個(gè)數(shù)為，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，前面相鄰的一個(gè)奇數(shù)為，令，解得：，所以數(shù)列從1到共有，也即，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，設(shè)位于與之間，則有，解得，所以前1022項(xiàng)中包含的前10項(xiàng)，的前1012項(xiàng)，即，故D正確.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【答案】【詳解】聯(lián)立，得公共弦所在直線方程為.圓心到距離，所以公共弦長(zhǎng)為14.【答案】16【詳解】解法一：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即①所以當(dāng)時(shí)，解法二：，即，所以所以.解法三：也可遞推列舉，15.【答案】18-6【詳解】設(shè)邊與軸交于點(diǎn)，且是以為中心的正三角形，則，且為的重心，由重心定理可得，，則，在Rt中，，則，所以，由橢圓的定義可得，，即化簡(jiǎn)可得，則.所以的周長(zhǎng)為.16.【答案】【詳解】因?yàn)榕c外切，且都與軸相切，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以，所以，所以，所以所以，四?解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.解：（1）因?yàn)閳A的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過兩點(diǎn)，所以，解得，所以圓的方程為（2）由，可得圓心，半徑為2，因?yàn)橹本€與圓相交于兩點(diǎn)，且，所以圓心到直線的距離為1，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為即，則，解得，所以直線的方程為，即，綜上直線的方程為或18.解：（1）依題意可得解得，所以拋物線方程為：（2）設(shè)直線顯然存在，聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)可得所以在拋物線C上，故，，解得：或2，因?yàn)?，所以，即，解得所以直線過定點(diǎn)19.解：（1）設(shè)的公比為，因?yàn)?，所以，即，解得或（舍），所以，設(shè)的公差為，因?yàn)?，所以，所以，解得，所?（2），所以.，即，解得所以滿足條件的最大整數(shù)20.解：（1）三棱柱中，，在中，，線段的中點(diǎn)為，所以，所以；因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，所以平面；?）做交于點(diǎn)，則兩兩互相垂直以為原點(diǎn)，以所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系，則.所以，因?yàn)?，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，解得，令，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，則.所以平面與平面夾角的余弦值為21.解：（1）題意得構(gòu)成首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.故（萬元）構(gòu)成首頂，公比的等比數(shù)列，故（萬元于是，（萬元（2）由（1）得是單調(diào)遞減數(shù)列，于是，數(shù)列也是單調(diào)遞減數(shù)列當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，（萬元）所以（萬元）；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（萬元）；當(dāng)時(shí)，（萬元）.所以，當(dāng)時(shí)，恒有.故該企業(yè)需要在第12年年初更換A型車床.22.解：（1）依題意可得解得所以所以的方程為（2）①可知直線的方程為，直線的方程為.分別聯(lián)立橢圓方程可解得，因此.②證明：設(shè)直線和直線的