河南省南陽市重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

南陽重點(diǎn)中學(xué)2023年秋期高三年級第五次月考數(shù)學(xué)試題一?單選題（每小題5分共40分）1.已知集合或，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.2.已知是角的終邊上一點(diǎn)，則（）A.B.C.D.3.把按斜二測畫法得到（如圖所示），其中那么是一個（）A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三邊互不相等的三角形4.已知正方體的棱長為為中點(diǎn)，為棱上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，若平面截該正方體所得的截面為四邊形，則線段的取值范圍是（）A.B.C.D.5.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（）A.2B.0C.-3D.-6

6.若直線與曲線和都相切，則的方程為（）A.B.C.D.7.在三棱錐中，與均是邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.B.C.D.8.若函數(shù)的圖象在與處的切線分別為，且，則（）A.B.的最小值為2C.在軸上的截距之差為2D.在軸上的截距之積可能為-1二?多選題（每小題5分共20分）9.給出下列命題，其中正確的是（）A.若空間向量，且，則實(shí)數(shù)B.若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得C.若空間向量，則向量在向量上的投影向量是D.點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是10.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則的值可能為（）A.B.C.D.11.已知，且，則（）A.的最大值為1B.的最小值為-1C.的最小值為4D.的最小值為12.如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為.現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（）A.過棱的截面中，截面面積的最小值為B.若過棱的截面與棱（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)，則C.若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為D.與該木塊各個頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個三?填空題（每小題5分共20分）13.設(shè)向量在向量上的投影向量為，則__________.14函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則__________.15.甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束），根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主客主主客客主”，設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為，客場取勝的概率為，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以獲勝的概率是__________.16.已知的面積為1，且，則當(dāng)取得最小值時，的長為__________.四?解答題（70分）17.（10分）已知向量，函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，，求邊的長.18.（12分）已知橢圓是橢圓的右頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)位于第一象限.（1）若，證明：直線和的斜率之積為定值；（2）若，求四邊形的面積的最大值.19.（12分）如圖，現(xiàn)有三棱錐和，其中三棱錐的棱長均為2，三棱錐有三個面是全等的等腰直角三角形，一個面是等邊三角形，現(xiàn)將這兩個三棱錐的一個面完全重合組成一個組合體.（1）求這個組合體的體積；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.20.（12分）數(shù)列的前項(xiàng)和，已知為常數(shù).（1）求常數(shù)和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，證明：.21.（12分）如圖所示的幾何體是由等高的個圓柱和半個圓柱組合而成，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為圓柱上底面的圓心，為半個圓柱上底面的直徑，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共面，為母線.（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成的較小的二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.22.（12分）已知函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍.第五次月考高三數(shù)學(xué)試題答案1.【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，解?所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.【答案】B【詳解】因?yàn)槭墙堑慕K邊上一點(diǎn)，所以，則，故選：B.3.答案：解析：根據(jù)斜二側(cè)畫法還原直線在直角坐標(biāo)系的圖形，如下圖所示：由圖易得故為等邊三角形，故選4.【詳解】在正方體中，平面平面，而平面平面平面平面，則平面與平面的交線過點(diǎn)，且與直線平行，與直線相交，令交點(diǎn)為，如圖，而平面平面，即分別為與平面所成的角，而，則，且有，當(dāng)與重合時，平面截該正方體所得的截面為四邊形，為棱中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)移動過程中，逐漸增大，點(diǎn)由向點(diǎn)方向移動，當(dāng)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)時，平面只與該正方體的4個表面正方形有交線，即可圍成四邊形，當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上時，直線必與棱交于除點(diǎn)外的點(diǎn)，而點(diǎn)與不重合，此時，平面與該正方體的5個表面正方形有交線，截面為五邊形，如圖，因此，為棱上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，截面為四邊形，點(diǎn)只能在線段（除點(diǎn)外）上，即，顯然，，則，所以線段的CF的取值范圍是.故選：D5.【答案】C【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又為偶函數(shù)，所以，所以，即，所以，故是以4為周期的周期函數(shù)；由，易得，所以，所以，解得，；所以；故選：C.6.【答案】D設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得（舍），則直線的方程為，即故選：D.7.【答案】D如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榕c均為等邊三角形，所以，所以為二面角的平面角，所以.設(shè)與外接圓的圓心分別為，，該三棱錐外接球的球心為，連接，，則平面平面.由題意，得.連接，設(shè)球的半徑為，則，又，所以，所以.所以，解得，所以該三棱錐的外接球的表面積，故選.8.【答案】C【詳解】對于的圖象如下：當(dāng)時，，當(dāng)時，，若，此時，則，兩切線不垂直；同理若，此時，則，兩切線不垂直；時，滿足要求.所以的斜率分別為，因?yàn)?，所以，得，（因?yàn)椋赃@里不能取等號）A，B錯誤.對于C，D：的方程為，即，令，得，所以在軸上的截距為.的方程為，即，可得在軸上的截距為，因?yàn)椋?，（利用將此式子中的代換掉），所以C正確，D錯誤.故選：C9.【答案】AC【詳解】對于，可知，即正確；對于，顯然時，恒成立，此時不唯一或者不存在，故B錯誤；對于，向量在向量上的投影向量，故C正確；對于D，易知點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故D錯誤.故選：AC10.【答案】AC【詳解】將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后，所得函數(shù)解析式為，因?yàn)樗煤瘮?shù)圖象關(guān)于軸對稱，所以，即，當(dāng)時，的值分別為，結(jié)合選項(xiàng)，所以的值可能為，故選：AC.11.【答案】AB【詳解】由于，所以，即，解得，即，故A和B均正確，令，滿足題干的式子，但是，故C錯誤，將變形可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D錯誤，故選：AB.12.【答案】ACD【詳解】設(shè)截面與棱的交點(diǎn)為，對于項(xiàng)，如圖1，過棱的截面為，易知當(dāng)為棱的中點(diǎn)時，，且平面，故平面，取的中點(diǎn)，連接，則，又平面，即是異面直線的公垂線，，故此時的面積取得最小值，最小值為，A正確；對于B項(xiàng)，易知，故結(jié)合項(xiàng)，可設(shè)，在中，由余弦定理，所以，即錯誤；對于C項(xiàng)，如圖2，當(dāng)截面為平行四邊形時，，由正四面體的性質(zhì)可知，故，從而平行四邊形為長方形.設(shè)，則，所以長方形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C正確；對于項(xiàng)，與該木塊各個頂點(diǎn)的距離都相等的截面分為兩類.第一類：平行于正四面體的一個面，且到頂點(diǎn)和到底面距離相等，這樣的截面有4個.第二類：平行于正四面體的兩條對棱，且到兩條棱距離相等，這樣的截面有3個.故與該木塊各個頂點(diǎn)的距離都相等的截面共有7個，D正確.故選：ACD13.【答案】1【詳解】向量在向量上的投影向量為，則，解得.故答案為：1.14.答案1【詳解】，設(shè)，則，記，因?yàn)?，所以是在上的奇函?shù)，最大值為，最小值為，所以，又因?yàn)椋?，故答案為?.15.【解析】欲使甲隊(duì)4：2獲勝，則第六場甲勝，前五場甲獲勝三場負(fù)兩場，故所求概率為.16.【答案】【詳解】記，由已知，，令，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，設(shè)，則時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時，，即取得最小值，此時.故答案為：.17.【小問1詳解】由題意得，所以的最小正周期，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為【小問2詳解】由（1）知，，則，由，得，則，解得，又由，得，已知，則由正弦定理，得.18.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，在橢圓上，為定值.（2）設(shè)，依題意：點(diǎn)在第一象限，.聯(lián)立：得：，設(shè)A到的距離為到的距離為，.又（當(dāng)時取等號），四邊形的面積的最大值為19.【詳解】（1）因?yàn)槿忮F有三個面是全等的等腰直角三角形，是等邊三角形，所以，所以；因?yàn)槿忮F的棱長均為2，所以正三棱錐體積為一個棱長為的正方體減去四個三棱錐，即，（2）如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，易得，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，得，取，可得設(shè)二面角的平面角大小為，由圖易知，二面角為鈍角，則故二面角的余弦值為20.【小問1詳解】由得，兩式相減的，整理得，當(dāng)時，得，當(dāng)時，，，，相加得，所以，當(dāng)時符合，所以，則，則，即.【小問2詳解】由（1）得，所以，因?yàn)?，所以，綜上可得，.21.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，，又0為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?【小問2詳解】由題意知CB，CF，CD兩兩垂直，故以點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)圓柱底