第5章虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算

第5章虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移§5-2結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式§5-3荷載作用下的位移計算§5-4荷載作用下的位移計算舉例§5-5圖乘法§5-6溫度改變時的位移計算§5-7變形體的虛功原理§5-8互等定理§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移

一、結(jié)構(gòu)位移計算概述1、位移的概念結(jié)構(gòu)在荷載、溫度變化、支座移動與制造誤差等各種因素作用下發(fā)生變形，因而結(jié)構(gòu)上各點的位置會有變動。這種位置的變動稱為位移。位移是矢量，可分解為三個位移分量，即兩個線位移（一般?？紤]水平位移和豎向位移），一個轉(zhuǎn)角位移（簡稱角位移）。2、位移產(chǎn)生的原因及其計算目的位移計算的目的產(chǎn)生位移的原因(1)荷載作用；(2)溫度變化和材料脹縮；(3)支座沉降和制造誤差。(1)驗算結(jié)構(gòu)的剛度；(2)為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算打下基礎(chǔ)。位移按位置變化的參考狀態(tài)（參照物）可分為：

絕對位移（一般稱位移）

相對位移

3、位移的分類絕對位移指結(jié)構(gòu)上的一個指定截面，位移后的新位置相對其位移前舊位置的改變。如圖1所示C截面的位移。

絕對位移是以結(jié)構(gòu)未變形前的初始狀態(tài)為參考狀態(tài)的。

圖1相對位移指結(jié)構(gòu)上的兩個指定截面，位移后新的位置關(guān)系相對其位移前舊位置關(guān)系的改變。

相對位移是結(jié)構(gòu)上的兩個截面互以對方為參考狀態(tài)的。(a)

(b)

圖2

DAB=DAH+DBHqCD=qC+qDDAB=DAV-DBV二、虛功原理及其兩種表現(xiàn)方式虛功原理：具有理想約束的質(zhì)點系在某一位置處于平衡的充分必要條件是，對于任何虛位移，作用于質(zhì)點系的主動力所作的虛功總和等于零。虛功中的力和位移之間沒有因果關(guān)系，即虛功的力和位移不相關(guān)。這是虛功區(qū)別于實功的重要特點。

虛功可大于零也可小于零。(a)力狀態(tài)

(b)位移狀態(tài)

虛力方程

——求位移。

虛位移方程——求內(nèi)力、約束力；由于虛功中的兩種狀態(tài)不相關(guān)的特點，可使其中的一種狀態(tài)是虛設(shè)的，而另一種是真實的狀態(tài)。因此，虛功方程演變出兩種形式及應(yīng)用：

虛位移方程及應(yīng)用（剛體系）虛位移方程使體系上真實的平衡力系，在體系可能的任意微小的剛體虛位移上，所作的外力總虛功等于零的方程。虛位移方程用于求真實的未知力（內(nèi)力、約束力、支座反力）。虛位移方程用于求真實的未知力（內(nèi)力、約束力、支座反力）。

如圖3所示以杠桿（機構(gòu)），B端上有一集中荷載FP，求A端需用多大的力FA，該杠桿體系能平衡。(a)

(b)

圖3

使機構(gòu)發(fā)生約束允許的任意微小剛體虛位移，見圖(b)。因為欲求的力FA要使圖(a)所示體系為平衡力系，所以該力系上的所有外力在圖(b)所示的虛位移上總外力虛功等于零，得虛位移方程：

即：

由虛位移圖的幾何關(guān)系，知：

(↓)

所以：(a)

(b)

例1試用單位位移法（虛位移法）求圖(a)所示簡支梁的支座B的約束反力。

分析：圖(a)是一個平衡力系。圖(b)是可繞A鉸作剛體轉(zhuǎn)動（1個自由度）的體系?？芍?，靜定結(jié)構(gòu)可利用剛體的虛功原理（虛位移方程）求力。求解：(1)去掉B支座鏈桿(2)按擬求支座反力讓機構(gòu)發(fā)生單位虛位移見圖(b)(3)寫出虛位移方程(4)求解虛位移方程

虛力方程及應(yīng)用使體系上虛設(shè)的平衡力系，在體系真實的剛體位移上所作的外力總虛功等于零的方程。虛力方程虛力方程用以求真實的位移(a)

(b)

圖4靜定結(jié)構(gòu)在支座發(fā)生位移時，是滿足約束允許的剛體位移，并且不產(chǎn)生內(nèi)力。

在擬求位移截面，按假定的位移方向，作用一單位集中荷載（或單位力，或單位力偶），由平衡條件可求得虛力狀態(tài)的支座反力，進而利用虛力原理求得位移。故該方法又稱為單位荷載法。

虛設(shè)力狀態(tài)如圖4(b)所示

在支座移動時的位移計算公式(a)(b)

圖5

虛力方程則所求位移為：

例2(1)求頂鉸C的豎向位移；(2)求C鉸兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角位移求解：(1)

(2)按位移計算公式計算位移(3)計算頂鉸兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角位移q

相對轉(zhuǎn)角位移q(

)

思考1、虛位移原理和虛力原理的相同點和不同點。2、已知支座位移，如何求解靜定結(jié)構(gòu)的位移？第5章虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移§5-2結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式§5-3荷載作用下的位移計算§5-4荷載作用下的位移計算舉例§5-5圖乘法§5-6溫度改變時的位移計算§5-7變形體的虛功原理§5-8互等定理局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算舉例局部變形時的位移公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式位移計算的一般步驟廣義位移和虛設(shè)狀態(tài)圖示懸臂梁在B處兩個相鄰截面有相對轉(zhuǎn)角。求A點的豎向位移例1解：圖a中的實際位移狀態(tài)改用圖b來表示。在B處加鉸，把實際位移狀態(tài)明確的表示為剛體體系的位移狀態(tài)。虛設(shè)力系如圖c所示，在A點沿擬求位移方向虛設(shè)單位荷載，在鉸B處還必須虛設(shè)一對彎矩。一、局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算舉例解答根據(jù)平衡條件可求出：圖c中的平衡力系在圖b中的實際位移上作功，得虛功方程如下：解得：圖a中，截面B有相對剪切位移，試求A點與桿軸成角的斜向位移分量。例2解：如圖b所示，將截面B切開，加上兩根平行桿軸的鏈桿，使能產(chǎn)生相對剪切位移，但不能產(chǎn)生相對軸向位移，從而把實際位移狀態(tài)明確地表示為剛體體系的位移狀態(tài)解答在擬求位移的方向虛設(shè)單位荷載。為保證剛體平衡，在截面B的兩側(cè)設(shè)一對剪力Q，其數(shù)值可根據(jù)平衡條件求出圖c中的平衡力系在圖b中的實際位移上作功，得虛功方程解得圖示為局部變形問題的一個典型情況。懸臂梁除B點附近有微段ds有局部變形外，結(jié)構(gòu)其它部分沒有變形。微段的局部變形包括三部分：軸線伸長應(yīng)變?yōu)?；平均剪切?yīng)變?yōu)?；軸線曲率為二、局部變形時的位移公式微段兩端截面的三種相對位移(b)相對軸向位移相對剪切位移相對轉(zhuǎn)角位移局部變形時的位移公式應(yīng)用剛體體系虛功原理，根據(jù)截面B的相對位移，分別求出A點的位移。并將結(jié)果進行疊加，得局部變形位移公式：三、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式這里的積分號表示沿桿件長度積分，總和號表示對結(jié)構(gòu)中各桿求和。其中最后一項表示給定支座位移cK的影響。結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式還可用變形體的虛功原理導(dǎo)出。由外虛功＝內(nèi)虛功，即得一般公式四、結(jié)構(gòu)位移計算的一般步驟

求結(jié)構(gòu)在某一點沿某一方向的位移Δ，其計算步驟為：(1)虛設(shè)一單位荷載狀態(tài)，在結(jié)構(gòu)的所求位移處作用與位移相應(yīng)的單位荷載，注意單位荷載應(yīng)與所求位移相一致。(2)在單位荷載作用下，根據(jù)平衡條件，求出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和支反力。(3)利用結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式求出相應(yīng)的位移，計算出的結(jié)果為正值時，則表明所求位移與單位荷載方向一致，負值時則表明實際位移與單位荷載方向相反。廣義位移的計算

本章所討論的位移可以引申為廣義位移：它既可以是某點沿某一方向的線位移或某一截面的角位移，也可以是某兩個截面的相對位移等。為了能夠應(yīng)用位移計算的一般公式，虛設(shè)單位荷載必須與所求位移產(chǎn)生虛功，因此，虛設(shè)單位荷載應(yīng)與廣義位移相一致。廣義位移和虛設(shè)狀態(tài)求一點水平方向線位移，沿水平方向加單位集中力實際結(jié)構(gòu)荷載求一點角位移，加單位力偶

求兩點相對位移在其連線加一對反向單位集中力

求一點豎直線位移，沿豎直方向加單位集中力求兩截面相對轉(zhuǎn)角，加一對反向單位力偶水平位移轉(zhuǎn)角位移相對角位移豎向位移相對線位移桁架的轉(zhuǎn)角位移？作業(yè)P1635-1（c）；5-35-8第5章虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移§5-2結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式§5-3荷載作用下的位移計算§5-4荷載作用下的位移計算舉例§5-5圖乘法§5-6溫度改變時的位移計算§5-7變形體的虛功原理§5-8互等定理計算步驟各類結(jié)構(gòu)的位移公式截面平均切應(yīng)變和系數(shù)k計算步驟計算荷載作用下的位移時，可按下列順序求出：荷載——內(nèi)力——應(yīng)力——應(yīng)變，下為靜定結(jié)構(gòu)的彈性位移的具體計算步驟：（1）根據(jù)荷載情況，求出結(jié)構(gòu)各截面的內(nèi)力；（2）根據(jù)內(nèi)力，求出相應(yīng)的彎曲、拉伸、剪切應(yīng)變：

（3）將上述應(yīng)變代入靜定結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式，可得：各類結(jié)構(gòu)的位移公式(1)梁和剛架

由于梁和剛架是以彎曲為主要變形，因此位移計算可簡化為

(2)桁架

桁架中桿件只受軸力作用，且每根桿件的截面面積、軸力均為常數(shù)，故位移計算可簡化為各類結(jié)構(gòu)的位移公式(3)組合結(jié)構(gòu)桁梁混合結(jié)構(gòu)中，一些桿件以彎曲為主，一些桿件只受軸力，故位移計算可簡化為

(4)拱

對于拱結(jié)構(gòu)，當壓力線與拱軸線相近時，應(yīng)考慮彎曲變形和軸向變形，即

截面平均切應(yīng)變和系數(shù)k根據(jù)截面切應(yīng)變的分布函數(shù)，應(yīng)用虛功原理推得截面平均切應(yīng)變?yōu)椋焊鶕?jù)荷載引起的剪力求出切應(yīng)變，代入上式可進一步推導(dǎo)出截面形狀系數(shù)k的公式，根據(jù)不同的截面形狀，系數(shù)k可做如下取值：矩形6/5圓形10/9薄壁圓環(huán)形2工字形或箱形A/A1(腹板)第5章虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移§5-2結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式§5-3荷載作用下的位移計算§5-4荷載作用下的位移計算舉例§5-5圖乘法§5-6溫度改變時的位移計算§5-7變形體的虛功原理§5-8互等定理梁的位移計算桁架的位移計算曲桿的位移計算例3求圖示懸臂梁A端的豎向位移，并比較彎曲變形與剪切變形對位移的影響。設(shè)梁的截面為矩形。彎曲位移虛設(shè)單位荷載實際荷載總位移由于梁的軸力為零，故總位移為較剪切變形與彎曲變形對位移的影響。二者的比值為對比討論設(shè)橫向變形系數(shù)u=1/3，E/G=2(1+u)=8/3，對于矩形截面，I/A=/12(h為截面高度)，代入上式，得：當梁的高跨比h/l是1/10時，則＝1.07％，剪力影響約為彎矩影響的百分之一，故對于一般的梁可以忽略剪切變形對位移的影響。但是，當高跨比增大為0.5時，上式的比值增大為0.27，因此，對于深梁，剪切變形對位移的影響不可忽略。例4圖a為一屋架，屋架的上弦桿和其它壓桿采用鋼筋混凝土桿，下弦桿和其它拉桿采用鋼桿。計算簡圖如b所示。設(shè)屋架承受均布荷載q作用。試求頂點C的位移。內(nèi)力Np(1×F)桿件FNP(kN)l(cm)A(cm2)材料

AD-4.74F0.263lA1鋼筋混凝土－1.581.97DC-4.42F0.263lA1－1.581.84//DE-0.95F0.088l0.75A100//CE1.50F0.278lA2鋼筋00AE4.50F0.278l3A21.500.63//EG3.00F0.222l2A21.500.5//合計1.13桁架的位移計算上表中是上弦桿的截面面積：＝18×24＝432。表中的是22鋼筋的截面面積，等于3.8。根據(jù)表中的結(jié)果，即得：設(shè)原始數(shù)據(jù)給定如下（跨度L＝12m）：荷載混凝土鋼筋代入上式可得：例5.曲桿的位移計算圖6a所示為一等截面圓弧形曲桿AB，截面為矩形，圓弧AB的圓心角為，半徑為R。設(shè)均布豎向荷載q沿水平線作用。試求B點的豎向位移。曲桿的位移計算實際荷載虛設(shè)荷載曲桿的位移計算用分別表示所引起的位移，得用作變數(shù)曲桿的位移計算如果，則代入上式并積分得作業(yè)5-9；5-11第5章虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移§5-2結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式§5-3荷載作用下的位移計算§5-4荷載作用下的位移計算舉例§5-5圖乘法§5-6溫度改變時的位移計算§5-7變形體的虛功原理§5-8互等定理圖乘法及其應(yīng)用條件幾種常見圖形的面積和形心位置應(yīng)用圖乘法時的幾個具體問題圖乘法及應(yīng)用條件

y0是在MK圖形心C對應(yīng)處的Mi

圖標距，A是MK圖的面積。利用靜矩的概念圖乘法及應(yīng)用條件1.應(yīng)用條件桿段應(yīng)是等截面直桿段；兩個圖形中至少有一個是直線，標距y0

應(yīng)取自直線圖形中。2.正負號規(guī)定面積A

與標距y0在同一側(cè)時，乘積取正號；反之取負號。常見圖形的面積和形心

三角形二次拋物線二次拋物線二次拋物線三次拋物線n次拋物線應(yīng)用圖乘法時的幾個具體問題

(1)如果兩個圖形都是直線圖形,則標距可任取自其中一個圖形。(2)如果一個圖形為曲線，另一個圖形為折線，則應(yīng)分段考慮。(3)如果圖形比較復(fù)雜，可以將圖形分解為幾個簡單圖形，分項計算后再進行疊加。應(yīng)用圖乘法時的幾個具體問題

(4)對于非標準拋物線的圖乘，由于彎矩圖中的非標準拋物線是由疊加原理獲得，因此可以將非標準拋物線分解為標準拋物線圖形和直線圖形。例4

試計算下圖所示懸臂粱B點的豎向位移，EI

為常數(shù)。解答

例5

試求出下圖所示剛架結(jié)點B

的水平位移,EI

為常數(shù)。解答

作業(yè)P2025-21；5-24第5章虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移§5-2結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式§5-3荷載作用下的位移計算§5-4荷載作用下的位移計算舉例§5-5圖乘法§5-6溫度改變時的位移計算§5-7變形體的虛功原理§5-8互等定理溫度作用時的位移計算對于靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時，材料發(fā)生伸縮變形，結(jié)構(gòu)因而產(chǎn)生位移。位移的計算仍然應(yīng)用虛功原理。下圖所示位移剛架結(jié)構(gòu)，桿件的上邊緣溫度上升t1，下邊緣上升t2，沿截面高度h是按直線變化的，變形后截面仍將保持為平面。線膨脹系數(shù)溫度改變時的位移計算軸線處溫度升高曲率線膨脹系數(shù)軸向應(yīng)變溫度改變時的位移計算應(yīng)用虛功原理可得當溫度、桿的高度沿每一根桿件的全長為常數(shù)時，可得例6-5

試分析下圖所示剛架

C

點的水平位移，已知剛架各桿外側(cè)溫度無變化，內(nèi)側(cè)溫度上升了100C，剛架各桿的截面相同且與形心軸對稱，截面高為

h，線膨脹系數(shù)為α。解答例6試求圖示剛架C點的豎向位移。梁下側(cè)和柱右側(cè)溫度升高10攝氏度，梁上側(cè)和柱左側(cè)溫度無改變。各桿截面為矩形，截面高度h＝60cm，a＝6m，α＝0.00001。解：在C點加單位豎向荷載，作相應(yīng)得內(nèi)力圖（b、c）結(jié)