中考數(shù)學(xué)幾何模型重點突破講練：專題08 三角形中的倍長中線模型（學(xué)生版）

專題08三角形中的倍長中線模型【模型1】如圖，已知AD是的邊BC的中線，延長AD至點E，使得AD=DE，連接BE，結(jié)合BD=CD，，可證得≌?！灸Ｐ?】如圖，已知點D是的邊BC上的中點，點E是邊AC上的一點，連接ED并延長ED至點P，使得ED=DP。結(jié)合BD=CD，，可證得≌?！纠?】如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，則AD的長可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】如圖，中，，，，為邊的中點，則______．【例3】（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED=AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是_______；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF．一、單選題1．如圖，已知AD是△ABC中BC邊上的中線，AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤82．在中，，中線，則邊的取值范圍（

）A． B． C． D．3．如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（

）．A．2 B． C． D．34．如圖，中，為的中點，點為延長線上一點，交射線于點，連接，則與的大小關(guān)系為A． B． C． D．以上都有可能5．在中，，于點，點為的中點，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．如圖，在中，，是中線，是角平分線，點是上任意一點（不與，重合），連接、．給出以下結(jié)論：①；②；③；④．其中一定正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個二、填空題7．如圖，在中，是邊上的中線，，，則的取值范圍是________．8．在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC內(nèi)一點，點E是CD的中點，連接AE，作EF⊥AE，若點F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）9．如圖，平行四邊形ABCD，點F是BC上的一點，連接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于點E，且點E是CD的中點，連接EF，已知AD＝5，CF＝3，則EF＝__．10．在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若AB＝3cm，AC＝5cm，則AD的取值范圍是_______．11．如圖，在正方形中，分別是、邊上的點，將四邊形沿直線翻折，使得點、分別落在點、處，且點恰好為線段的中點，交于點，作于點，交于點．若，則________．12．如圖，為AD上的中點，則BE＝______．三、解答題13．如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．14．如圖，已知，點是的中點，且，求證：．15．如圖，O為四邊形ABCD內(nèi)一點，E為AB的中點，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的長；（2）用等式表示線段OE和CD之間的關(guān)系，并證明．16．某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗活動，請你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】如圖1，延長△ABC的邊BC到D，使DC＝BC，過D作DE∥AB交AC延長線于點E，求證：△ABC≌△EDC．【理解與應(yīng)用】如圖2，已知在△ABC中，點E在邊BC上且∠CAE＝∠B，點E是CD的中點，若AD平分∠BAE．（1）求證：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范圍．17．如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．18．（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．19．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長AD到E點，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時，可以考慮做“輔助線”——把中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點，，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：．【問題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫出AE的長＝______．20．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點D是線段AM上一動點．（1）如圖1，點C是BM延長線上一點，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；（2）如圖2，在（1）的條件下，點E是△ABM外一點，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當(dāng)E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）21．已知：等腰和等腰中，，，．（1）如圖1，延長交于點，若，則的度數(shù)為；（2）如圖2，連接、，延長交于點，若，求證：點為中點；（3）如圖3，連接、，點是的中點，連接，交于點，，，直接寫出的面積．22．（1）基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方