中考數(shù)學(xué)幾何模型重點突破講練：專題09 三角形中的垂線段最短模型（學(xué)生版）

專題09三角形中的垂線段最短模型【模型1】垂線段最短如圖，已知點P是直線外一點，過點P作，則PB是直線外一點P與直線上各點的連線中最短的線段?！灸Ｐ?】兩條線段的和最小值問題如圖，已知點是內(nèi)任意一點，點、是，上的動點，求的最小值，通常作點關(guān)于的對稱點，過點作于點，交于點。此時的值最小。【例1】如圖，AD是等邊△ABC的BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上動點，當(dāng)EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°【例2】如圖Rt△ABC，，AB=5，BC=3，若動點P在邊AB上移動，則線段CP的最小值是_______．【例3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=8cm，點D為線段AB上的一個動點，從點A出發(fā)沿線段AB向點B運動，速度為2cm/s．(1)求AB，AC的長度；(2)如圖，連接CD，線段CD是否有最小值；若有最小值，請求出這個最小值及此時時間t的值；若沒有最小值，請說明理由；(3)若點E為線段AC的中點，連接DE，當(dāng)△ADE為等腰三角形時，求時間t的值．一、單選題1．如圖，AP平分∠CAB，PD⊥AC于點D，若PD＝6，點E是邊AB上一動點，關(guān)于線段PE敘述正確的是（）A．PE＝6 B．PE＞6 C．PE≤6 D．PE≥62．如圖，從位置O到直線公路l有四條小道，其中路程最短的是（

）A．OA B．OB C．OC D．OD3．如圖，在Rt△ABC中，，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是的平分線，若P，Q分別是AD何AC上的動點，則PC＋PQ的最小值是（

）A．2.4 B．4 C．4.8 D．54．如圖，l是一條水平線，把一頭系著小球的線一端固定在點A，小球從B到C從左向右擺動，在這一過程中，系小球的線在水平線下方部分的線段長度的變化是（

）A．從大變小 B．從小變大 C．從小變大再變小 D．從大變小再變大5．如圖，中，，，，，平分，如果點，分別為，上的動點，那么的最小值是（

）A． B． C． D．6．如圖，BD⊥CD，垂足為D，∠ABD＝30°，∠A＝90°，且AD＝4，DC＝6，點P是邊BC上的一動點，則DP的最小值是（

）A．7.1 B．6.5 C．4.8 D．3.2二、填空題7．如圖，，，，為上一動點，則的最小值為______．8．在△ABC中，，，E是AB邊上的中點，且，點D是AB上一個動點，當(dāng)CD取最小值時，∠DCE=________．9．如圖，已知是的中線，點是邊上一動點，若的面積為10，，則的最小值為_______10．如圖，菱形ABCD中，，，E是對角線AC上的任意一點，則的最小值為______．11．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，BC＝3，點M為BC上一定點且BM＝1，在BC上有一動點Q，在BD上有一動點P，則PM+PQ的最小值為_______．12．如圖，，點M、N分別在射線OA、OB上，MN=6，△OMN的面積為12，P是直線MN上的動點，點P關(guān)于OA對稱的點為，點P關(guān)于OB對稱的點為，當(dāng)點P在直線NM上運動時，的面積最小值為______．三、解答題13．如圖，點在直線外，點在直線上，連接．選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ咦鲌D．(1)在直線上作點，使，連接；(2)在的延長線上任取一點，連接；(3)在，，中，最短的線段是______________，依據(jù)是______________．14．如圖，已知點P在∠AOC的邊OA上，(1)過點P畫OA的垂線交OC于點B；(2)畫點P到OB的垂線段PM；(3)測量P點到OB邊的距離：cm；(4)線段OP、PM和PB中，長度最短的線段是；理由是．15．如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC，點P、Q分別是AD、AC上的動點（點P不與A、D重合，點Q不與A、C重合），求PC＋PQ的最小值16．在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A、B，其中AB＝BC，由于某種原因，由C到B的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點D（A、D、B在同一條直線上），并新修一條路CD，測得CA＝750米，CD＝600米，AD＝450米．(1)問CD是否為從村莊C到河邊最近的路？請通過計算加以說明；(2)求原來的路線BC的長．17．如圖所示，∠AED=80°，EF平分∠AED交AD于點F，∠1=40°(1)寫出判定EFBD的推理過程．(2)當(dāng)∠ADE=50°時，線段EA、EF、ED中最短的是哪段？并說出理由．18．在中，，，是邊上一點，，直線交于點．(1)如圖1，若，則______，______；(2)如圖2，在（1）的條件下，點在直線上運動，且滿足，，連接，請判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，若，點在直線上運動，且滿足，，連接，請求出的最小值．19．(1)如圖1，在中，，D是邊的中點，E、F分別是、邊上的點．若B、E、F在一條直線上，且，探究與的數(shù)量之間有何等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)為了豐富學(xué)生的業(yè)余生活，增強學(xué)生的身體素質(zhì)，某體育課上老師組織學(xué)生進行傳球訓(xùn)練．如圖2所示，體育老師在地面畫了一塊場地，已知米，米，D為的中點，測得的長為15米，受訓(xùn)練的兩名同學(xué)E和F分別在和邊上移動，老師站在C點位置給同學(xué)傳球，先把球傳給E同學(xué)，E同學(xué)再傳給F同學(xué)，請求出所傳球的運動路徑最小值（即的最小值）．20．在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊的中點，E、F分別是AD、AC邊上的點．（1）如圖①，連接BE、EF，若∠ABE＝∠