2023年高考數(shù)學(xué)第56講 平面圖形的翻折問題及求解

第56講平面圖形的翻折問題及求解——升維與降維

一、知識(shí)聚焦

將平面圖形沿某直線折起構(gòu)成一個(gè)空間圖形,并對(duì)其中有關(guān)元素翻折前后的位置關(guān)系及

數(shù)量關(guān)系進(jìn)行論證或計(jì)算的問題，稱為平面圖形的翻折問題，解答這類問題時(shí),關(guān)鍵是要搞清

楚翻折前后圖形中哪些元素的位置和數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，然后再利用有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答.

二、精講與訓(xùn)練

【核心例題1]

如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，NA=90。,BC=6,DE分別是AC,AB上的點(diǎn).

CD=BE=42.0為8。的中點(diǎn)，將AADE沿DE折起得到四A—BCDE,其中40=百.

(1)證明:A0J?平面BC￡>E.

⑵求二面角4一C?！?的平面角的余弦值.

A

【解題策略】

解答折疊問題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后平面圖形和立體圖形.主抓兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即不變

的線線關(guān)系和不變的數(shù)量關(guān)系.這是研究空間位置關(guān)系的重要起點(diǎn)和依據(jù)，同時(shí)進(jìn)一步分析

折疊后有哪些關(guān)系發(fā)生了變化，只要將圖形變化情況分析清楚，問題是不難解決的，本題求

解的是翻折后線面垂直關(guān)系的證明以及二面角問題

⑴證明:由題意，易得OC=3,AC=3五,4。=2及,如圖所示,連接。力,在,在八。。中,

由余弦定理可得OD=VOC-+CD2-2OC-CDcos450=.

由翻折不變性可知4。=2A'O2+OD2=A'D2,:.AO±OD

同理可證AO1OE，且ODcOE=O,A'O±平面BCDE.

(2)【解法二】

(定義法)過。作，CD,交CO的延長線于H.連接AH，如圖所示.

???AO±平面BCD,：.AO1CD

又平面A'OH,

：.CD±平面AOH，故A'H±CD,

二.NA'“。為二面角A-CD-B的平面角.

結(jié)合OC=3,NBCD=45。得OH=之叵，從而A'H=>]OH2+OA2=—.

22

,s_OH_岳

??cosNAHO----------

A!H5

二面角A-CO—8的平面角的余弦值為年

【解法二】(向量坐標(biāo)法)

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則4(0,0,0C(0,-3,0),￡>(1,-2,0).

CA=(0,3,5,DA=(-1,2,百)

n-CA'=0,臥+百z=0

設(shè)n=(x,y,z)為平面A'CO的一個(gè)法向量，則《B\

n-DA=0,[-x+2y+y/3z=0

y=-xt-

解得《r，令x=l彳導(dǎo)n=(l,-1,百).

z=v3x

而=(0,0,V3)為平面CDB的一個(gè)法向量，

/.cos/n-OA'\=ny=3=巫

、/|n|pA〔Gx65

二二面角A—CD—8的平面角的余弦值為當(dāng)5.

【變式訓(xùn)練】

TT

如圖所示，在直角梯形ABC。中,A。//8C,NBAD=—,AB=BC=l,AD=2.E是A。

2

的中點(diǎn)，。是AC與BE的交點(diǎn)，將AABE沿BE折起到BE的位置.

(1)證明:CD，平面A。。.

⑵若平面ABE_L平面8C0E,求平面ABC與平面AtCD夾角的余弦值.

【核心例題2]

如圖所示，等腰MBC的底邊AB=6指,高CD=3點(diǎn)E是線段3。上異于點(diǎn)B,D的動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)尸在BC邊上，且￡F_LAB,現(xiàn)沿EF將ABEF折起到"EF的位置，設(shè)PELAE.記

BE=x,V(x)起到APEF的位置，設(shè)PEVA1表示四棱錐P-ACFE的體積.

⑴求V(x)的表達(dá)式.

⑵當(dāng)x為何值時(shí)，力)取得最大值？

(3)當(dāng)V(x)取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值.

【解題策略】

本例以平面圖形折疊為背景，融空間動(dòng)態(tài)最值問題，單調(diào)性的證明或?qū)?shù)的應(yīng)用，異面

直線所成角的計(jì)算于一體,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法以及空間想象與推理論證能力，本例的綜

合性較強(qiáng),在解題方法上也極具典型性.第(2)問是用函數(shù)或?qū)?shù)的思想方法求解幾何體體積

的最值，是代數(shù)方法與幾何問題的完美結(jié)合.第⑶問，其解法精彩之處是“一題多解”，既可應(yīng)

用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，也可應(yīng)用自由向量的運(yùn)算以及向量的夾角公式，將空間問題轉(zhuǎn)化為平

面問題(降維)應(yīng)用余弦定理也是一個(gè)不錯(cuò)的解法.

解:⑴???EF±AB,:.EF±PE.X-/PE±AE,EFcAE=E^PEU平面ACFE,

1?.PE_L平面ACEE.

ppxCDx

-：EF±AB,CD±AB,EF//CD,:.——=/一得EF=——x=-j=

CDBDBDV6

：.SACFE=SMBC_SABEF=3X6^^x3_3Xx=9>/6—x-

3

"e'Vp_ACFE=2SACFE-PE=3nx—6"X，=3屈x--V.

即V(x)=3\[6x-x，(0vx<3>/6).

36

⑵【解法一】

由(1)得V(x)=3V^x-逅*3(0<%<3遙)

設(shè)0<玉</<3指則/(芯)_/(%2)=6(％_/)3_卷(%；+玉工2+￥).

經(jīng)判斷，當(dāng)xw(0,6］時(shí)即〃%)<〃%)；

當(dāng)xe(6,376)W,/(x,)-/(x2)>0,gp/(jq)>/(x2).

故/(x)在(0,61上是增函數(shù)，在(6,376)上是減函數(shù).

即當(dāng)x=6時(shí),/(x)有最大值為1276.

【解法二】

由⑴知V'=3n一書/令v，(x)=o得》=6

.?當(dāng)0<x<6時(shí),V，(x)>0,當(dāng)0<x<3指時(shí),S(x)<0.

，當(dāng)BE=x=6時(shí),V(x)有最大值，最大值為V(6)=12A/6.

(3)【解法一】

如圖所示，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量EAEEEP分別為x軸,y軸,z軸的正向建立空間

直角坐標(biāo)系.

則E(0,0,0),P(0,0,6),F(0,46,0),46#—6,0,0),0(376-6,3,0),

于是AC=(-3函,3,0),PE=(0,遙,一6),AC與PF所成角。的余弦為

cos^ACPF

\AC\\PF\

異面直線AC與PE所成角的余弦值為

7

【解法二】

-：AC-PF=(DC-DA)(PE+EF)=DCEF=3屈.

ACPF3娓1

/.cos(AC,PF)

|AC||PF|-742x763-7

即異面直線AC與PF所成角的余弦值為

【解法三】

過點(diǎn)尸作EG〃AC交AE于點(diǎn)G,連接PG,則ZPFG為異面直線AC與PF所成的角.

-??AABC是等腰三角形，

AGBF也是等腰三角形，于是FG=BF=PF=BE2+EF1=J石,

從而PG=y]PE2+GE2=\lBE2+GE2=672

PF2*FC12—i

在\GPF中，根據(jù)余弦定理得cosNPFG=一~—=-

2PF?FG7

即異面直線AC與PF所成角的余弦值為

7

【變式訓(xùn)練】

如圖所示，已知平行四邊形ABCO,滿足NA=45°,BC=應(yīng)、又H為邊DC上一點(diǎn)，且滿足

BH±OC,現(xiàn)將\CBH沿BH翻折至"BH處，使得PDA.PB

(1)證明:PD_L平面

⑵若=1,求鈍二面角A—依一”的平面角的余弦值.

【核心例題3]

(1)如圖所示，在直三棱柱A6C-4與G中，底面為直角三角形，

ZACB=90°,AC=6,BC=CC.=0,P是BQ上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+PA的最小值是.

⑵如圖所示,圓臺(tái)的上底面半徑為2cm.下底面半徑為4cm,母線長為6cm,求軸截面相對(duì)頂

點(diǎn)AC在圓臺(tái)側(cè)面上的最短距離.

不論是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，從表面移動(dòng)或從不同的平面移動(dòng)的最短距離,總是沒法把空

間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形(由三維向二維轉(zhuǎn)化),多面體是把不同的面“打開”成同一平面，旋轉(zhuǎn)

體通常把側(cè)面展開.第(1)問，連接A/，沿BG將AGBC展開與AABG在同一平面內(nèi);第(2)

問，空間圖形f平面圖形，即展開圓臺(tái)側(cè)面,AC兩點(diǎn)所成的線段即為所求的最短距離.

⑴連接,沿BC,將AGBC展開與M5C,在同一平面內(nèi).連接AC,則AC的長度就是所

求的最小值通過計(jì)算可得展開前N4G。=90°,又NBCC=45°,

.??展開后NAG。=135°,由余弦定理求得AC