2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納（全國(guó)通用）：20 相似三角形重要模型之母子型（共邊共角模型）（學(xué)生版）

專(zhuān)題20.相似三角形重要模型--母子型（共邊共角模型）相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專(zhuān)題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件:如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，，結(jié)論：；例1．（2022·貴州貴陽(yáng)·中考真題）如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，，，則與的周長(zhǎng)比是（

）A． B． C． D．例2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．例3.（2022.山西九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．例4．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．(1)證明：；(2)若，求的長(zhǎng)．

例5．（2023.浙江中考模擬）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）圖1中共有對(duì)相似三角形，寫(xiě)出來(lái)分別為（不需證明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，請(qǐng)你求出CD的長(zhǎng)：（3）在（2）的情況下，如果以AB為x軸，CD為y軸，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段CB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q出B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BA運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)即刻同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例6．（2022·陜西漢中·九年級(jí)期末）如圖，是等腰直角斜邊的中線，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與、的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)、，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖2，過(guò)作于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．例7．（2023·浙江·九年級(jí)期末）（1）如圖1，在中，為上一點(diǎn)，．求證：．（2）如圖2，在中，是上一點(diǎn)，連接，．已知，，．求證：．（3）如圖3，四邊形內(nèi)接于，、相交于點(diǎn)．已知的半徑為2，，，，求四邊形的面積．例8．（2022春·廣東深圳·九年級(jí)?？计谥校净A(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，四邊形為平行四邊形，在邊上，，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，連結(jié)，，，若，，，求的長(zhǎng)；

【拓展提高】（3）如圖3，在中，是上一點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)，分別在，上，連結(jié)，，，若，，，，，求的值．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1.（2023成都市九年級(jí)期中）如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，BF⊥AC，垂足為E，ADAB=12，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為SA．116 B．15 C．14 2．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，作直線分別交，于點(diǎn)．以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，連結(jié)．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．3．（2023·湖北恩施·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，于點(diǎn)，下列關(guān)系中不正確的是（

）

A．B．C．D．4．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧交于點(diǎn)，再分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，連接．以下結(jié)論不正確的是（）A．B．C．D．5．（2023·云南臨滄·統(tǒng)考三模）如圖，在中，D是上的點(diǎn)，，，，則與的面積比為（

）

A． B． C． D．6．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，若，，的面積為，則的面積為．7．（2020·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．8．（2022·河北邢臺(tái)·?？级＃┤鐖D1，在中，，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)的最短距離為_(kāi)_____．如圖2，連接，作，使得，交于，則當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．9．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正五邊形的對(duì)角線，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①平分；

②；

③四邊形是菱形；

④其中正確的結(jié)論是．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）

10．（2020·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，分別交對(duì)角線于點(diǎn)，若，則的值為．11．（2021·四川南充·中考真題）如圖，在中，D為BC上一點(diǎn)，，則的值為_(kāi)_______．12．（2022·四川宜賓·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長(zhǎng)．13．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在與中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若___________，則．請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫(xiě)序號(hào)），并加以證明．14．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．(1)證明：；(2)若，求的長(zhǎng)．

15．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景：數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開(kāi)探究．

探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，．（1）操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，，則_______，設(shè)，，那么______（用含的式子表示）；（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：，這個(gè)比值被稱(chēng)為黃金比．在（1）的條件下試證明：；拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的是黃金三角形．如圖2，在菱形中，，．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．16．（2023·廣東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長(zhǎng)．17．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形為菱形，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．18．（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，點(diǎn)D在的邊上，連接．(1)如圖1，若．求證：；(2)如圖2，若，，，．求線段的長(zhǎng)；(3)如圖3，M、N分別是上的兩點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，當(dāng)，時(shí)，若，直接寫(xiě)出的值______．

19．（2022·湖南長(zhǎng)沙·?？既＃┘s定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個(gè)小三角形中有一個(gè)三角形與原三角形相似，我們則稱(chēng)原三角形為關(guān)于該邊的“華益美三角”．例如，如圖1，在中，為邊上的中線，與相似，那么稱(chēng)為關(guān)于邊的“華益美三角”．

(1)如圖2，在中，，求證：為關(guān)于邊的“華益美三角”；(2)如圖3，已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為直徑的⊙恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)．①求證：直線與相切；②若的直徑為，求線段的長(zhǎng)；(3)已知為關(guān)于邊的“華益美三角”，，，求的面積．20．（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）已知在?ABCD，AB＝2，BC＝10，∠B＝60°，E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為一邊作?AEFG，且使得直線FG經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．（1）如圖1，EF與AD相交于H，若H是EF的中點(diǎn)．①求證：GF＝DF；②若GF⊥CD，求GD的長(zhǎng)；（2）如圖2，設(shè)AE＝x，AG＝y(tǒng)，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)時(shí)，始終保持∠AEF＝45°，①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)y的取值范圍；②連接ED，當(dāng)△AED是直角三角形時(shí)，求DF的值．21．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．規(guī)定：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的n倍，則稱(chēng)三角形為“n倍角三角形”．當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為“1倍角三角形”，顯然等腰三角形是“1倍角三角形”；當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為“2倍角三角形”，小康通過(guò)探索后發(fā)現(xiàn)：“2倍角三角形”的三邊有如下關(guān)系．如圖，在中，所對(duì)的邊分別為，若，則．下面是小康對(duì)“2倍角三角形”的結(jié)論的兩種探索證明過(guò)程：證法1：如圖1，作的平分線，∴．

設(shè)，則．證法2：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，……

任務(wù)：(1)上述材料中的證法1是通過(guò)作輔助線，構(gòu)造出__________三角形來(lái)加以證明的（填“全等”或“相似”）．(2)請(qǐng)補(bǔ)全證法2剩余的部分．22．（2022·安徽·校聯(lián)考三模）在中，，平分．（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，過(guò)分別作交于，于．①求證：；②求的值．23．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)，在邊上，連接，，使，且．(1)請(qǐng)判定的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的面積．

24．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）鮮艷的中華人民共和國(guó)國(guó)旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國(guó)旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星．為了增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)家榮譽(yù)感、民族自豪感等．?dāng)?shù)學(xué)老師組織學(xué)生對(duì)五角星進(jìn)行了較深入的研究．延長(zhǎng)正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星．如圖，正五邊形的