專題07 函數(shù)的應用（二）【解析版】

專題07函數(shù)的應用（二）專題07函數(shù)的應用（二）(1)定義：對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標就是函數(shù)y＝f(x)的零點．(3)結論：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點二、函數(shù)零點的判定定理條件結論函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)內有零點(1)圖象是連續(xù)不斷的曲線(2)f(a)f(b)＜0三、二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．四、判斷函數(shù)y＝f(x)是否存在零點的方法(1)方程法：判斷方程f(x)＝0是否有實數(shù)解．(2)圖象法：判斷函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸是否有交點．(3)定理法：利用零點的判定定理來判斷．五、有關函數(shù)零點的三個結論(1)若y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且有f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)一定有零點．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．(3)若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調函數(shù)，且f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(a)·f(b)<0?函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上只有一個零點．六、指數(shù)函數(shù)模型的應用f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b＞0，b≠1)對數(shù)函數(shù)模型的應用f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a＞0，a≠1)函數(shù)模型的應用題型01：求函數(shù)的零點【典例1】（2023上·浙江溫州·高一浙江省平陽中學校聯(lián)考期中）若不等式的解集為，則函數(shù)的零點為（

）A．和 B．和 C．2和 D．和【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程根之間的關系求解，然后根據(jù)零點的定義求解即可.【詳解】因為的解集為，所以方程的兩根分別為和2，且，則，解得，故函數(shù)，則與軸的交點坐標為和，所以零點為和.故選：D.【典例2】（2023上·吉林長春·高一汽車區(qū)第三中學校考期中）已知的零點為1和3，則．【答案】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系求解即可.【詳解】因為的零點為1和3，即的兩根為1和3，所以，解得，所以，故答案為：【規(guī)律方法】函數(shù)零點的求法：(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點．題型02：根據(jù)函數(shù)零點求解析式中的參數(shù)【典例3】（2023下·湖南株洲·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的零點是2，則【答案】3【分析】由列式求解．【詳解】由題意得，解得，故答案為：3【典例4】（2022上·廣東佛山·高一校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)有兩個零點和1，且有最小值.則的解析式為.【答案】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法可求出結果.【詳解】因為二次函數(shù)有兩個零點和1，所以可設，又因為有最小值，所以，因為，所以，所以，.故答案為：題型03：根據(jù)函數(shù)零點判斷函數(shù)值的符號【典例5】（2021上·河南濮陽·高一統(tǒng)考期末）已知是函數(shù)的零點，若，則（

）A． B．C． D．的符號不確定【答案】B【解析】根據(jù)題意判斷得函數(shù)的定義域，分析函數(shù)的單調性，由函數(shù)零點的定義可得，利用單調性即可判斷出.【詳解】函數(shù)的定義域為，已知函數(shù)，，在上是減函數(shù)，所以可判斷函數(shù)在上是減函數(shù)，又因為是函數(shù)的零點，即，根據(jù)單調性可得，當，.故選：B.【典例6】（2018上·北京海淀·高一北京市十一學校?？计谥校┮阎呛瘮?shù)的一個零點，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知得出，分析出函數(shù)的單調性，進而可判斷出、的符號.【詳解】由于函數(shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，，.故選：B.題型04：零點存在性定理的應用【典例7】（2023上·北京西城·高一北師大實驗中學?？计谥校┮阎瘮?shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對應值表x1234y以下說法中錯誤的是（

）A． B．當時，C．函數(shù)有且僅有一個零點 D．函數(shù)可能無零點【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性，結合表格中的數(shù)據(jù)判斷AB；利用零點存在性定理判斷CD.【詳解】對于A，因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，正確；對于B，因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以當時，，正確；對于C，因為函數(shù)是上的增函數(shù)，且，即，所以函數(shù)有且僅有一個在區(qū)間的零點，正確；對于D，因為函數(shù)連續(xù)，且，即，所以函數(shù)在區(qū)間上一定存在零點，錯誤，故選：D.【典例8】（2023上·山東日照·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不斷，則“”是“在上存在零點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)“”和“在上存在零點”的互相推出關系進行判斷屬于何種條件.【詳解】當在上存在零點時，不一定能得到，例如，此時的零點為，但，所以必要性不滿足；當時，若三個值中存在，則在上顯然存在零點，若三個值均不為，不妨假設，因為，所以，取等號時不滿足條件，所以，則，根據(jù)零點的存在性定理可知在上存在零點，所以充分性滿足；所以“”是“在上存在零點”的充分不必要條件，故選：A.題型05：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)【典例9】（2024上·內蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學考試）若函數(shù)存在1個零點位于內，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應用零點存在定理結合函數(shù)單調性列不等式求解即可.【詳解】若函數(shù)存在1個零點位于內，單調遞增,又因為零點存在定理，.故選：A.【典例10】（2022上·山東棗莊·高一棗莊市第三中學?？计谥校┖瘮?shù)在上存在零點，則的取值范圍是．【答案】【分析】首先判斷函數(shù)的單調性，在根據(jù)零點情況，結合端點值的正負，列式求實數(shù)的取值范圍.【詳解】為增函數(shù)減函數(shù)=增函數(shù)，若函數(shù)在上存在零點，則且，解得：.故答案為：【規(guī)律方法】利用零點存在性定理，結合給定區(qū)間建立不等式．題型06：根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍【典例11】（2023下·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學?？计谀┮阎瘮?shù)，若函數(shù)有五個零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)的范圍，又即可將問題轉化為，共有四個零點，結合函數(shù)的圖像即可求解.【詳解】當時，則，此時，則或，當時，則，此時，則，故問題轉為，共有四個零點，畫出函數(shù)圖像如下可知：則，故答案為：【典例12】（2022上·浙江臺州·高一臺州一中?？奸_學考試）已知點的坐標分別為，，若二次函數(shù)的圖像與線段有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】結合零點存在定理以及判別式，分成兩種情況進行討論：①當二次函數(shù)與軸有兩個交點時；②當二次函數(shù)與軸僅有一個交點時.【詳解】①當二次函數(shù)與軸有兩個交點時，如圖1，因為二次函數(shù)的圖像與線段有且只有一個公共點，的坐標分別為，，所以，解得.由，得，此時，符合題意.由，得，此時，不符合題意.所以.②當二次函數(shù)與軸僅有一個交點時，如圖2，令，由得，當時，，不合題意；當時，，符合題意.綜上，的取值范圍是或.故答案為：或.【規(guī)律方法】已知函數(shù)的零點個數(shù)，一般利用數(shù)形結合思想轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，這時圖形一定要準確，這種數(shù)形結合的方法能夠幫助我們直觀解題．題型07：根據(jù)一次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍【典例13】（2020·高一課時練習）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】首先判斷函數(shù)在上單調，利用零點存在性定理即可求解.【詳解】∵在區(qū)間上單調且存在零點，∴，∴或．故選：C【典例14】（2020上·高一課時練習）若方程的根在內，則的取值范圍是．【答案】【分析】設，利用零點存在定理可構造不等式求得結果.【詳解】設，則，解得：，即的取值范圍為.故答案為：.【總結提升】利用零點存在定理構造不等式.題型08：根據(jù)二次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍【典例15】（2023上·北京石景山·高一?？计谥校┤絷P于的一元二次方程有兩個實根，且一個實根小于1，另一個實根大于2，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結合已知作出對應二次函數(shù)圖象，列出不等式，求解即可得出答案.【詳解】設，根據(jù)已知結合二次函數(shù)性質，作圖則有，解得.故選：C.【典例16】【多選題】（2023上·山東德州·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在有兩個不同的零點，則可以為（

）A． B．3 C． D．4【答案】BD【分析】根據(jù)將原函數(shù)零點問題，轉化為在只有一解，利用冪函數(shù)性質求解范圍即可判斷.【詳解】因為，所以為函數(shù)的零點，所以函數(shù)在只有一個零點，且，則即在只有一解，因為，所以，對照選項，，，故只有選項BD符合題意.故選：BD【總結提升】結合二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、單調性等，利用零點存在定理構造不等式.題型09：根據(jù)冪、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)零點分布求參數(shù)（范圍）【典例17】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)單調性，根據(jù)零點所在區(qū)間，列出相應不等式，即可求得答案.【詳解】因為函數(shù)，在上單調遞增，所以函數(shù)在上單調遞增，由函數(shù)的一個零點在區(qū)間內得，解得，故選：A【典例18】（2020上·陜西渭南·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)的零點位于區(qū)間內，則.【答案】2【分析】利用函數(shù)單調性和零點存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間內存在零點即可得出結果.【詳解】由題意可知函數(shù)在定義域內單調遞增，易知，而，所以,根據(jù)零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間內存在零點，所以可得.故答案為：【總結提升】注意結合冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性及圖像，依據(jù)函數(shù)零點存在性定理建立不等式.題型10：函數(shù)與方程的綜合問題【典例19】（2022下·湖南長沙·高一長郡中學?？奸_學考試）設函數(shù)，若關于x的方程有三個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)t的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)新定義求出函數(shù)解析式，畫出函數(shù)的圖象，利用轉化的思想將方程的根轉化為函數(shù)圖象的交點，根據(jù)數(shù)形結合的思想即可得出的范圍.【詳解】由題意得：，得：，，由，得：，作出函數(shù)的圖像如圖所示，由方程有個不等的根，得函數(shù)的圖像與直線有個不同交點，所以的取值范圍為：.【典例20】（2023上·北京大興·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，對于任意正數(shù)k，關于x的方程都恰有兩個不相等的實數(shù)根．（1）請判斷是否符合題意：（填“是”或者“否”）；（2）寫出a的所有可能取值：．【答案】否1【分析】（1）將有兩個不相等的實數(shù)根轉化為的圖象與的圖象有兩個交點，然后結合圖象判斷即可；（2）分和兩種情況討論即可.【詳解】（1）當時，，圖象如下所示：由圖可知，當時，有兩個不相等的實數(shù)根不成立，所以不符合題意；（2）當時，，圖象如下所示：所以在單調遞減，，單調遞增，所以，解得，當時，，圖象如下所示：所以在，上單調遞減，上單調遞增，所以，無解，綜上所述，.故答案為：否；1.題型11：求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)【典例21】（2023上·北京·高一北京十四中?？计谥校┖瘮?shù)的零點個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】令求出方程的解，即可判斷.【詳解】令，即，解得，所以函數(shù)有且僅有一個零點.故選：B【典例22】（2023上·湖北·高一湖北省天門中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，當時，方程的根的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出函數(shù)的大致圖象，將方程根的問題轉化為函數(shù)圖象交點問題，結合圖象，即可得到結果.【詳解】

設，則，即，故，因為，故，畫出的大致圖象，由圖象可知與共有6個公共點，故原方程共有6個根.故選：D.【規(guī)律方法】判斷函數(shù)零點個數(shù)的主要方法：(1)利用方程根，轉化為解方程，有幾個根就有幾個零點．(2)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數(shù)，從而判定零點的個數(shù)．(3)結合單調性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數(shù)．(4)轉化成兩個函數(shù)圖象的交點問題．題型12：判斷函數(shù)零點所在區(qū)間【典例23】（2022上·吉林·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點一定位于下列哪個區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用零點的存在性定理進行分析判斷即可.【詳解】在上為單調遞增函數(shù)，又，故，所以的零點一定在內.故選：B.【典例24】（2023上·北京西城·高一北師大二附中?？计谥校┖瘮?shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用轉化法，結合數(shù)形結合思想進行判斷即可.【詳解】函數(shù)和函數(shù)在同一直角坐標系內圖象如下圖所示：一方面，另一方面根據(jù)數(shù)形結合思想可以判斷兩個函數(shù)圖象的交點只有一個，故選：B題型13：比較函數(shù)零點的大小【典例25】（2023上·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知，，的零點分別是，，，則，，的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)的零點，轉化為函數(shù)的圖象分別與函數(shù)、、的圖象交點的橫坐標，利用數(shù)形結合法求解．【詳解】解：函數(shù)，，的零點，即為函數(shù)分別與函數(shù)、、的圖象交點的橫坐標，如圖所示：由圖可得.故選：B【典例26】【多選題】（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的兩個零點分別為，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)零點的性質，將問題轉化為兩函數(shù)求交點問題，利用指數(shù)函數(shù)單調性以及對數(shù)運算以及單調性，可得答案.【詳解】函數(shù)的兩個零點即函數(shù)與的圖象的兩個交點的橫坐標，作出兩個函數(shù)的圖象，如下圖：則，，即，，故D錯誤；由圖可知，且，，則，由，，則，即，可得，即，故A、C正確，B錯誤.故選：AC.題型14：求函數(shù)零點的和【典例27】（2023上·重慶·高一重慶十八中?？计谥校┒x在上的函數(shù)滿足，且當時，，則方程所有的根之和為（

）A．10 B．18C．22 D．26【答案】B【分析】由題意可知函數(shù)關于成軸對稱且又關于成中心對稱，分別畫出函數(shù)與函數(shù)在同一坐標系下的圖象，利用交點坐標關于對稱即可求得所有根之和為.【詳解】根據(jù)題意由可知，函數(shù)關于成軸對稱，由可知函數(shù)關于成中心對稱，由可得；分別畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：顯然兩函數(shù)圖象都過，且都關于成中心對稱，易知當時，，所以兩函數(shù)圖象在兩側各有4個交點，關于對稱的兩根之和為4，所以可得所有的根之和為.故選：B【典例28】（2023上·遼寧沈陽·高一遼寧實驗中學?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，當時，，則的所有零點之和為（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】先由為奇函數(shù)，推出關于對稱，則，進而求出的解析式，則的解析式可求，解出根即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以關于對稱，則關于對稱，即，當時，，當時，，則，所以，則，因為，則或，解得或，所以.故選：A【總結提升】注意應用函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性，結合函數(shù)的圖像判斷零點的特征.題型15：嵌套函數(shù)零點問題【典例29】（2023上·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，則函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【分析】令，根據(jù)，求得或，再根據(jù)和，結合分段函數(shù)的解析式，即可求解.【詳解】令，由得或，所以或，當時，或，當時，則或，解得，所以函數(shù)的所有零點之和為.故選：D.【典例30】（2023上·遼寧大連·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，若函數(shù)，且函數(shù)有5個零點，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，函數(shù)有5個零點等價于與有兩個交點，所以與有三個交點，結合圖象求解即可.【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如下：，且函數(shù)有5個零點等價于有5個解，等價于或共有5個解等價于函數(shù)與，共有5個交點，由圖可得與有兩個交點，所以與有三個交點則直線應位于，之間，或與重合，所以或或故答案為：【總結提升】函數(shù)的零點是高考命題的熱點，主要涉及判斷函數(shù)零點的個數(shù)或范圍，?？疾槿魏瘮?shù)與復合函數(shù)相關零點，與函數(shù)的性質和相關問題交匯．對于嵌套函數(shù)的零點，通常先“換元解套”，將復合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質求解.(1)換元解套，轉化為t＝g(x)與y＝f(t)的零點．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判斷圖象交點個數(shù)．2．抓住兩點：(1)轉化換元．(2)充分利用函數(shù)的圖象與性質．題型16：二分法及其應用【典例31】（2023上·遼寧沈陽·高一遼寧實驗中學?？计谥校┖瘮?shù)有零點，用二分法求零點的近似值（精確度0.1）時，至少需要進行（

）次函數(shù)值的計算．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】取區(qū)間的中點，利用零點的存在性定理判斷零點所在的區(qū)間，并比較區(qū)間的長度與精確度的大小，直到符合要求為止．【詳解】至少需要進行3次函數(shù)值的計算，理由如下：，，取區(qū)間的中點，且，所以.，取區(qū)間的中點，且，所以.，取區(qū)間的中點，且，所以.因為，所以區(qū)間的中點，即為零點的近似值，即函數(shù)的零點，所以至少需進行3次函數(shù)值的計算.故選：B.【典例32】（2023上·高一課時練習）若用二分法求方程在初始區(qū)間內的近似解，則第三次取區(qū)間的中點.【答案】【分析】根據(jù)零點存在定理及二分法求解即可.【詳解】設，則，，∴第一次取區(qū)間的中點，，∴，∴的零點所在的區(qū)間為，∴第二次取區(qū)間的中點，，∴，∴的零點所在的區(qū)間為，∴第三次取區(qū)間的中點.故答案為：.題型17：指數(shù)函數(shù)模型的應用【典例33】（2023上·四川成都·高一?？计谥校┘冸妱悠囀且攒囕d電源為動力，用電機驅動車輪行駛．研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年Peukert提出鉛酸電池的容量C、放電時間t和放電電流I之間關系的經(jīng)驗公式：，其中為與蓄電池結構有關的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當放電電流為15A時，放電時間為30h；當放電電流為50A時，放電時間為7.5h，則該蓄電池的Peukert常數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，再結合對數(shù)式與指數(shù)式的互化及對數(shù)運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，兩式相除可得，所以，可得.故選：B.【典例34】（2023上·陜西西安·高一高新一中?？计谥校┤缃裎覈锪餍袠I(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進了社會經(jīng)濟發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關系（a，b為常數(shù)），若該果蔬在6℃的保鮮時間為216小時，在24℃的保鮮時間為8小時，那么在12℃時，該果蔬的保鮮時間為（

）A．16小時 B．24小時 C．36小時 D．72小時【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出解析式，再將代入求值即可.【詳解】由題設，，所以時，，此時小時.故選：D【總結提升】在函數(shù)應用問題考查中，對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的考查已成為高頻熱點，既能與現(xiàn)代科技活動、科技成果結合，又能較好的考察學生的運算能力，也能激發(fā)學生學習的濃厚興趣.題型18：對數(shù)函數(shù)模型的應用【典例35】和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足關系式.已知某學生視力用五分記錄法記錄的數(shù)據(jù)為4.8，則其視力用小數(shù)記錄法記錄的數(shù)據(jù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】B【分析】根據(jù)表達式，代入，結合指數(shù)式與對數(shù)式的互化，即可求解.【詳解】由題意知：，當時，可得，解得，即，所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為.故選：B.【典例36】（2023上·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）香農(nóng)公式是被廣泛公認的通信理論基礎和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大數(shù)據(jù)傳輸速率C取決于信道帶寬W、信道內信號的平均功率S、信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．根據(jù)香農(nóng)公式，若當，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；當，時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)新定義結合對數(shù)運算求解即可【詳解】由題意可知，故選：C.題型19：函數(shù)模型的增長差異【典例37】（2023上·高一課時練習）下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結合對數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的增長率的快慢，分析可得答案．【詳解】函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減小，當函數(shù)值隨x的增大而增大時，在對數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的增長速度最快，如圖所示，即四個函數(shù)中，隨x的增大而增大且速度最快的是是.故選：A【典例38】（2023上·廣東惠州·高一惠州一中?？计谥校╇S著經(jīng)濟的發(fā)展，越來越多的家庭開始關注到家庭成員的關系，一個以“從心定義家庭關系”為主題的應用心理學的學習平臺，從建立起，得到了很多人的關注，也有越來越多的人成為平臺的會員，主動在平臺上進行學習，已知前3年平臺會員的個數(shù)如下表所示（其中第4年為預估人數(shù)，僅供參考）：建立平臺第年1234會員個數(shù)（千人）14202943(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列三種模型中選擇一個恰當?shù)哪Ｐ凸浪憬⑵脚_年后平臺會員人數(shù)（千人），并求出你選擇模型的解析式：①，②，③(2)為控制平臺會員人數(shù)盲目擴大，平臺規(guī)定會員人數(shù)不得超過千人，依據(jù)（1）中你選擇的函數(shù)模型求的最小值.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知函數(shù)遞增且增長速度越來越快，故選擇模型③；代入表格中三個點即可構造方程組求得未知數(shù)，進而得到所求模型；（2）根據(jù)（1）中結論可將不等式整理為對恒成立，采用換元法，結合二次函數(shù)的性質可求得的最大值，進而得到的取值范圍，從而得到結果.【詳解】（1）從表格數(shù)據(jù)可以得知，函數(shù)是一個增函數(shù)，故不可能是①，函數(shù)增長的速度越來越快，選擇③（且）代入表格中的三個點可得：，解得：，.（2）由（1）可知：，故不等式對恒成立，對恒成立，令，則，，，在單調遞增，則，.【總結提升】函數(shù)模型的增長規(guī)律：(1)對于冪函數(shù)y＝xn，當x＞0，n＞0時，y＝xn才是增函數(shù)，當n越大時，增長速度越快．(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的遞增前提是a＞1，又它們的圖象關于y＝x對稱，從而可知，當a越大，y＝ax增長越快；當a越小，y＝logax增長越快，一般來說，ax＞logax(x＞0，a＞1)．(3)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)，當x＞0，n＞0，a＞1時，可能開始時有xn＞ax，但因指數(shù)函數(shù)是爆炸型函數(shù)，當x大于某一個確定值x0后，就一定有ax＞xn.一、選擇題：1．（2023上·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學校考期末）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷出在上是增函數(shù)，利用零點存在定理列不等式可求a的范圍.【詳解】和在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，只需即可，即，解得．故選：B.2．（2015·吉林·高一吉林毓文中學校考期中）設x0是函數(shù)的零點，若，則的值滿足（

）A． B．C． D．的符號不確定【答案】C【分析】先判斷函數(shù)是單調減函數(shù)，進而可得當時．【詳解】∵x0是函數(shù)的零點，∴，因為是單調遞減函數(shù)，是單調遞增函數(shù)，所以函數(shù)是單調減函數(shù)，故當時，則，故選：C．3.（2023上·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）涼山州地處川西南橫斷山系東北緣，地質構造復雜，時常發(fā)生有一定危害程度的地震，盡管目前我們還無法準確預報地震，但科學家通過多年研究，已經(jīng)對地震有了越來越清晰的認識與了解．例如：地震時釋放出的能量（單位：）與地震里氏震級之間的關系為，年月日，我州會理市發(fā)生里氏級地震，它所釋放出來的能量是年年初云南省麗江市寧蒗縣發(fā)生的里氏級地震所釋放能量的約多少倍（

）A．倍 C．倍 【答案】A【分析】設里氏級、級地震所釋放的能量分別為、，利用對數(shù)的運算性質結合指數(shù)與對數(shù)的互化可求得的值.【詳解】設里氏級、級地震所釋放的能量分別為、，則，上述兩個等式作差可得，則，故.故選：A.4.（2023上·內蒙古鄂爾多斯·高一?？计谥校┭芯堪l(fā)現(xiàn)，X射線放射儀在使用時，其發(fā)射器發(fā)出的射線強度、接收器探測的射線強度與射線穿透的介質厚度（單位：毫米）滿足關系式，其中正實數(shù)為該種介質的吸收常數(shù)．工作人員在測試某X射線放射儀時，向發(fā)射器與接收器之間插入了厚5毫米的金屬板，發(fā)現(xiàn)接收器探測到的射線強度比插入金屬板前下降了90%．現(xiàn)想讓接收器探測到的射線強度會比插入金屬板前下降%．則需要向發(fā)射器與接收器之間插入金屬板的厚度至少為（

）A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米【答案】D【分析】先根據(jù)題意得到，求出，從而得到比插入金屬板前下降%時，，得到答案.【詳解】向發(fā)射器與接收器之間插入了厚5毫米的金屬板，發(fā)現(xiàn)接收器探測到的射線強度比插入金屬板前下降了%，則，有，接收器探測到的射線強度會比插入金屬板前下降%時，，解得.則需要向發(fā)射器與接收器之間插入金屬板的厚度至少為毫米.故選：D5．（2023上·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間內的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的單調性結合零點存在性定理判斷a，b，c所在區(qū)間作答.【詳解】函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)在上都單調遞增，因此函數(shù)在上都單調遞減，在上最多一個零點，，即有，，則，而，即，所以.故選：A6．（2023上·福建福州·高一福建省福州屏東中學?？茧A段練習）對于實數(shù)和，定義運算“”：，設，且關于的方程恰有三個互不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)代數(shù)式和之間的大小關系，結合題中所給的定義，用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結合求出的取值范圍.【詳解】由可得，由可得，所以根據(jù)題意得，即，做出函數(shù)的圖像如圖，當時，開口向下，對稱軸為，所以當時，函數(shù)的最大值