第五節(jié)　空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系

第五節(jié)空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系1.了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置，會簡單應(yīng)用空間兩點(diǎn)間的距離公式.2.了解空間向量的概念，了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積及其坐標(biāo)表示.能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.5.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理.1．空間向量及其有關(guān)概念概念語言描述共線向量(平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相__________共面向量平行于同一個平面的向量共線向量定理對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使_________平行或重合a＝λb2.數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(1)兩個空間向量的數(shù)量積(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算3.直線的方向向量與平面的法向量直線的方向向量如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l

，則稱此向量a為直線l的方向向量平面的法向量直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量平行或共線4.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示l1∥l2直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2n1∥n2?

(k∈R)l1⊥l2n1⊥n2?________l∥α直線l的方向向量為n，平面α的法向量為mn⊥m?_______l⊥αn∥m?

(k∈R)α∥β平面α，β的法向量分別為n，mn∥m?n＝km(k∈R)α⊥βn⊥m?________n1＝kn2n1·n2＝0n·m＝0n＝kmn·m＝0(4)由于0與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，故0不能作為基向量．(5)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．(6)用向量知識證明立體幾何問題，仍離不開立體幾何中的定理．若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外．1．(人教A版選擇性必修第一冊P12·T1改編)若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成空間向量的基底的一組向量是

(

)A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}答案：C4．(人教B版選擇性必修第一冊P25·T5改編)設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m＝________.答案：105．(人教A版選擇性必修第一冊P9·T4改編)正四面體ABCD

的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長為________．層級一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)空間向量的線性運(yùn)算

[題點(diǎn)全訓(xùn)][一“點(diǎn)”就過]進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，有以下幾個關(guān)鍵點(diǎn)(1)結(jié)合圖形，明確圖形中各線段的幾何關(guān)系．(2)正確運(yùn)用向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．(3)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則在空間中仍然成立．層級二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)(一)空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

[典例]如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求線段AC1的長；(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；(3)求證：AA1⊥BD.[方法技巧]空間向量數(shù)量積的3個應(yīng)用重難點(diǎn)(二)利用空間向量證明平行或垂直

[典例]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C的中點(diǎn)．(1)證明：平面A1BD∥平面B1CD1；(2)證明：MN⊥平面A1BD.[方法技巧](1)選取空間不共面的三個向量為基底，用基底表示已知條件和所要解決的問題的過程就是將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的過程；(2)通過計算向量的數(shù)量積為0，可證明垂直問題；(3)要證線面平行，只要證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示即可．[針對訓(xùn)練]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．求證：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.不能正確建立坐標(biāo)系在建系過程中，存在三個方面的問題：一是不證明垂直就建立坐標(biāo)系，二是不清楚在哪里建立坐標(biāo)系，三是坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)寫錯．——————————————————————————————————[典例]如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC.[診治策略]用坐標(biāo)表示空間向量的方法步驟觀圖形觀察圖形特征，尋找兩兩垂直的三條直線建系根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系計算用基底表示向量定結(jié)果確定向量的坐標(biāo)[針對訓(xùn)練]如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖②，連接A1C，A1B.(1)求證：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大??；(3)棱BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由．層級三/細(xì)微點(diǎn)——優(yōu)化完善(掃盲點(diǎn))1．(空間想象能力不足)已知點(diǎn)A(－3,0，－4)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，則|AB|等于

(

)A．12 B．9C．25

D．102．(共面向量定理理解有誤)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ＝

(

)A．9 B．－9C．－3 D．36．(跨學(xué)科綜合命題)構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞，其形狀一般是平行六面體，具體形狀和大小由它的棱長a，b，c及共頂點(diǎn)的三條