2023版 大一輪 數(shù)學(xué) 人教A版 新教材（京津瓊魯鄂渝湘閩粵冀浙）第9節(jié)　函數(shù)模型及其應(yīng)用

第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用

知識(shí)分類落實(shí)回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

L指數(shù)、對(duì)數(shù)、器函數(shù)模型性質(zhì)比較

數(shù)y=axy=log?xy=x!'

(?>1)3D(心0)

在(0,+8)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表隨X的增大逐漸表隨n值變化

圖象的變化

現(xiàn)為與y軸平行現(xiàn)為與X軸平行而各有不同

值的比較存在一個(gè)xo,當(dāng)x>xo時(shí)，有l(wèi)ogoxvfva"

2.幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù)，aWO)

二次函數(shù)模型fix)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),aWO)

與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的

J(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù)，o>0且aWl,bWO)

模型

與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的

/(x)=Z4og“x+c(a,b,c為常數(shù)，a>0且aWl,b#0)

模型

與幕函數(shù)相關(guān)的模

f(x)=ax',+b{a,b,n為常數(shù)，a#0)

型

常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.“直線上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；“指數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快，其增

長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢，其增長(zhǎng)量越

來(lái)越小.

2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.易忽視實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)

學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.

診斷自測(cè)

〉思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“義”)

(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，若

按九折出售，則每件還能獲利.()

(2)函數(shù)y=2,的函數(shù)值比y=/的函數(shù)值大.()

(3)不存在配，使/°<X(<log?xo.()

(4)在(0,+8)上，隨著x的增大，>的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于丁=

力”>0)的增長(zhǎng)速度.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

9

解析(1)9折出售的售價(jià)為100(1+10%)X證=99(元).

二每件賠1元，(1)錯(cuò)誤.

(2)中，當(dāng)x=2時(shí)，2x=f=4.不正確.

(3)中，如a=xo=T，〃=；,不等式成立，因此(3)錯(cuò)誤.

2.(多選題)某工廠一年中各月的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說(shuō)法

中正確的是()

A.收入最高值與收入最低值的比是3：1

B.結(jié)余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同

D.前6個(gè)月的平均收入為40萬(wàn)元

答案ABC

解析由題圖可知，收入最高值為90萬(wàn)元，收入最低值為30萬(wàn)元，其比是3：

1,故A正確；

由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為80—20=60(萬(wàn)元)，故B正確；

由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故

C正確；

由題圖可知，前6個(gè)月的平均收入為上乂(40+60+30+30+50+60)=45(萬(wàn)元),

故D錯(cuò)誤.

3.當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一

半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之

一時(shí)，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性

探測(cè)器探測(cè)不到，則它經(jīng)過(guò)的“半衰期”個(gè)數(shù)至少是()

A.8B.9C.10D.11

答案C

解析設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,則經(jīng)過(guò)〃個(gè)“半衰期”后的

含量為目，由舊<丁篇，得心W

所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它至少需要經(jīng)

過(guò)10個(gè)“半衰期”.

4.(2020?西安一中月考)已知左)=/,g(x)=2x,/?(%)=logzx?當(dāng)xG(4,+8)時(shí),

對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是()

A危)>g(x)>〃(x)B.g(x)次x)>〃(x)

C.g(x)>%(x)次x)D麻)>〃(x)>g(x)

答案B

解析在同一坐標(biāo)系內(nèi)，根據(jù)函數(shù)圖象變化趨勢(shì)，當(dāng)x￡(4,+8)時(shí)，增長(zhǎng)速度

大小排列為g(x)>/(x)>/?(x).

5.(2020?全國(guó)川卷)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有

學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)7(/)(/的單位：天)的

Logistic模型：/(f)=]+eo￡「5子，其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)/(f*)=0.95K時(shí)，

標(biāo)志著已初步遏制疫情，則/*約為（In19心3）（）

A.60B.63C.66D.69

答案C

KK

=

解析因?yàn)??）=]+c。-23-53：，所以當(dāng)/（r）=0.95K時(shí),!_!_c（）,23'/*S3'

0?95長(zhǎng)=訐島廣布=0-95=1+e"3"*F）=康高一

*In19

e023（，-53）=]9=0.23（「一53）=ln190/*=萬(wàn)元+53心萬(wàn)天+53-66.故選C.

6.（2019?北京卷）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、

京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加

銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少

付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.

（1）當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

（2）在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,

則x的最大值為.

答案⑴130⑵15

解析（1）顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，原價(jià)應(yīng)為60+80=140（元），超過(guò)了

120元可以優(yōu)惠，所以當(dāng)x=10時(shí),顧客需要支付140—10=130（元）.（2）由題意知，

當(dāng)x確定后，顧客可以得到的優(yōu)惠金額是固定的，所以顧客支付的金額越少，優(yōu)

惠的比例越大.而顧客要想得到優(yōu)惠，最少要一次購(gòu)買2盒草莓，此時(shí)顧客支付

的金額為（120—x）元，所以（120—X）X80%2120X0.7,所以xW15.即x的最大值

為15.

考點(diǎn)一利用函數(shù)的圖象刻畫實(shí)際問(wèn)題

1.（多選題）（2021?青島質(zhì)檢）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)

量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）

的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較

平穩(wěn)

答案BCD

解析由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

其余全部正確.

2.（多選題X2020?北京卷改編）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)

企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量少與時(shí)

間,的關(guān)系為%=/⑺，用的大小評(píng)價(jià)在［。，們這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)

污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系

如圖所示.

A.在口1,勿這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)

B.在介時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)

C.在“時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)

D.甲企業(yè)在［0,3，山，口，口2,用這三段時(shí)間中，在［0,用的污水治理能力

最強(qiáng)

答案ABC

解析―，表示在[圓切上割線斜率的相反數(shù)，越

大治理能力越強(qiáng).

對(duì)于A,在山，句這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)對(duì)應(yīng)圖象的割線斜率的相反數(shù)大，故甲企

業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，正確；

對(duì)于B,要比較/2時(shí)刻的污水治理能力，即看在/2時(shí)刻兩曲線的切線斜率，切線

斜率的相反數(shù)越大，污水治理能力越強(qiáng)，故在f2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比

乙企業(yè)強(qiáng)，正確；

對(duì)于C,在73時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達(dá)標(biāo)排放量以下，正確；

對(duì)于D,甲在[力，句這段時(shí)間內(nèi)的污水治理能力最強(qiáng)，錯(cuò)誤.

3.（2020?武漢調(diào)研）為研究西南高寒山區(qū)一種常見樹的生長(zhǎng)周期中前10年的生長(zhǎng)

規(guī)律，統(tǒng)計(jì)顯示，生長(zhǎng)4年的樹高為;米，如圖所示的散點(diǎn)圖，記錄了樣本樹的

生長(zhǎng)時(shí)間（年）與樹高興米）之間的關(guān)系.請(qǐng)你據(jù)此判斷，在下列函數(shù)模型：?y=

2'—a；②y=a+log2f；③_y=，+a；@y=\[t+a中（其中a為正的常實(shí)數(shù)），擬合

生長(zhǎng)年數(shù)與樹高的關(guān)系最好的是（填寫序號(hào)），估計(jì)該樹生長(zhǎng)8年后的樹

高為米.

y

4

3.-

2-???

1*,

-Q]~1234567/

5但公10

答案②?

解析由散點(diǎn)圖的走勢(shì)，知模型①不合適.

曲線過(guò)點(diǎn)（4,3，則后三個(gè)模型的解析式分別為②y=g+iog2f；③歹=?+*?y

=3+g，

4

當(dāng)f=l時(shí)，代入④中，得歹=），與圖不符，易知擬合最好的是②.

將/=8代入②式，得夕=；+log28=￥（米）.

感悟升華1.當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化

快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，

選出符合實(shí)際情況的答案.

2.圖形、表格能直觀刻畫兩變量間的依存關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng).

考點(diǎn)二已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題師生共研

【例1】（2020?新高考山東卷）基本再生數(shù)治與世代間隔T是新冠肺炎的流行病

學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間

傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/?）=e"描述

累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與凡，丁近似

滿足Ro=l+/T.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R）=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎

疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為（In2心0.69）（）

A.L2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

答案B

解析由Ro=l+",Ro=3.28,7=6,

Ro~13.28—1

得r=T-6-=0.38.

由題意，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍，則/（切=2/（九），

即e°-38/2=2e°-38,i,所以e°38c2-《）=2,即0.38也-a）=ln2,

.In20.69…

=038%038^-8,

故選B.

感悟升華1.求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn).

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

2.利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

【訓(xùn)練1】（2020?廣州模擬）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬(wàn)元，并且每

生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬(wàn)元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)。的函數(shù)，K（。）

=40。一加2,則總利潤(rùn)攻）的最大值是萬(wàn)元.

答案2500

解析總利潤(rùn)￡（0）=40。一如＞100—2000=-^+300-2000=一點(diǎn)（0

-300/+2500,則當(dāng)0=300時(shí)，￡（0）的最大值為2500萬(wàn)元.

考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

角度1構(gòu)建二次函數(shù)模型

【例2】某城市對(duì)一種售價(jià)為每件160元的商品征收附加稅，稅率為火％（即每銷

售100元征稅R元），若每年銷售量為（30一（勾萬(wàn)件，要使附加稅不少于128萬(wàn)

元，則R的取值范圍是（）

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,10%]

答案A

解析根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬(wàn)元，

需（30一|火卜160XR%2128,

整理得火2—12R+32W0,解得4WHW8,即火G[4,8].

角度2構(gòu)建指數(shù)（對(duì)數(shù)）型函數(shù)模型

[例3]（1）（2021?青島檢測(cè)）一個(gè)放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年

就有加勺質(zhì)量發(fā)生衰變.若該物質(zhì)余下質(zhì)量不超過(guò)原有的1%，則至少需要的年數(shù)

是（）

A.6B.5C.4D.3

答案C

解析設(shè)這種放射性物質(zhì)最初的質(zhì)量為1,經(jīng)過(guò)x（xdN）年后，剩余量是八則有

T）?

依題意得w志.

則2Z<2100,解得x24.

所以至少需要的年數(shù)是4.

（2）（2021?唐山聯(lián)考）盡管目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，

已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震釋放出的能量￡（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)

M之間的關(guān)系為lg￡=4.8+1.5".

①已知地震等級(jí)劃分為里氏12級(jí)，根據(jù)等級(jí)范圍又分為三種類型，其中小于2.5

級(jí)的為“小地震”，介于2.5級(jí)到4.7級(jí)之間的為“有感地震”，大于4.7級(jí)的為

“破壞性地震”，若某次地震釋放能量約ion焦耳，試確定該次地震的類型；

②2008年汶川地震為里氏8級(jí)，2011年日本地震為里氏9級(jí)，問(wèn)：2011年日本

地震所釋放的能量是2008年汶川地震所釋放的能量的多少倍？（取也=3.2）

解①該次地震釋放能量約10口焦耳，即￡=1012代入lg￡=4.8+L5M,化簡(jiǎn)得

lgIO」-4.812-4.8

M=1.5=1.5=4區(qū)

因?yàn)?.8>4.7,所以該次地震為“破壞性地震”.

②設(shè)汶川地震、日本地震所釋放的能量分別為為，歷.

由題意知,1g￡1=4.8+1.5X8=16.8,lg￡2=4.8+1.5X9=18.3,

183

即昂=1016.8,￡2=10-,

所以占=10。5=取45=3.2,得告=32.

故2011年日本地震所釋放的能量是2008年汶川地震所釋放的能量的32倍.

感悟升華1.數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)

學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程.主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角

發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論.

2.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型解題，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，將有關(guān)數(shù)

據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，求解時(shí)要準(zhǔn)確進(jìn)行指、對(duì)數(shù)運(yùn)算，靈活進(jìn)行指數(shù)與對(duì)數(shù)

的互化.

【訓(xùn)練2】（1）某汽車銷售公司在/,8兩地銷售同一種品牌的汽車，在〃地的

銷售利潤(rùn)（單位:萬(wàn)元）為川=4.1一0.1f,在8地的銷售利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為H

=2x,其中x為銷售量（單位:輛），若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，

則能獲得的最大利潤(rùn)是（）

A.10.5萬(wàn)元B.11萬(wàn)元

C.43萬(wàn)元D.43.025萬(wàn)元

答案C

解析設(shè)在4地銷售該品牌的汽車x輛，則在8地銷售該品牌的汽車（16—x）輛，

所以可得利潤(rùn)

y=4.lx—0.lx2+2（16—x）=-0.1x2+2.lx+32

=-0.1(X-10.5)2+0.1X10.52+32.

因?yàn)閤￡[0,16]且xCN,所以當(dāng)x=10或11時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值43萬(wàn)元.

(2)(2021?貴陽(yáng)調(diào)研)一片森林原來(lái)面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面

積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，

森林面積至少要保留原面積的;，已知到今年為止，森林剩余面積為原來(lái)的學(xué).

①求每年砍伐面積的百分比；

②到今年為止，該森林已砍伐了多少年？

解①設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<l),

則a(l—x)io=1a,即(1—x)io=；,

1

解得x=i-(wy°.

1

故每年砍伐面積的百分比為1—

②設(shè)經(jīng)過(guò)m年剩余面積為原來(lái)的竽，

1

貝。(1一幻"'=乎。，把x=l—代入，

即缶=看解得w=5.

故到今年為止，該森林已砍伐了5年.

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一'選擇題

1.在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列

四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y=2x—2B.J；=2（X2-1）

C.y=logMD/=log[X

答案B

解析由題中表格可知函數(shù)在（0,+8）上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增

大得越來(lái)越快，分析選項(xiàng)可知B符合，故選B.

2.（2020?武漢聯(lián)考）如圖，矩形花園Z8CD的邊N8靠在墻P0上，j

A___________,D

另外三邊是由籬笆圍成的.若該矩形花園的面積為4平方米，墻r

足夠長(zhǎng)，則圍成該花園所需要籬笆的（）

A.最大長(zhǎng)度為8米8-------------1c

B.最大長(zhǎng)度為4啦米

C.最小長(zhǎng)度為8米

D.最小長(zhǎng)度為4啦米

答案D

解析設(shè)8C=a米，米，則而=4,

所以圍成矩形花園所需要的籬笆長(zhǎng)度為2a+b=2a+522y2〃弓=4啦，

當(dāng)且僅當(dāng)2。=今即。=啦時(shí)取等號(hào).

故籬笆最小長(zhǎng)度為4啦米.

3.（多選題）（2021?濟(jì)南質(zhì)檢）甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一方

向運(yùn)動(dòng)，它們的路程/（x）（i=l,2,3,4）關(guān)于時(shí)間x（x》0）的函數(shù)關(guān)系式分別為力⑴

=2'—1,fl（x）=x2,力（x）=x,74（x）=log2（x+l）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)x>l時(shí)，甲走在最前面

B.當(dāng)x>l時(shí)，乙走在最前面

C.當(dāng)0<x<l時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>l時(shí)，丁走在最后面

D.如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲

答案CD

解析甲、乙、丙、丁的路程/（x）（i=l,2,3,4）關(guān)于時(shí)間x（xN0）的函數(shù)關(guān)系式

分別為f\（x）=2￥—1,./2（x）=x2,fi（x）=x,,/4（X）=log2（X+1）,它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型

分別為指數(shù)型函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、一次函數(shù)模型、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型.

當(dāng)x=2時(shí)，力(2)=3,/(2)=4,所以A不正確；

當(dāng)x=5時(shí)，力(5)=31,力(5)=25,所以B不正確；

根據(jù)四種函數(shù)的變化特點(diǎn)，對(duì)數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)速度是先快后慢，又當(dāng)x=l時(shí)，

甲、乙、丙、丁四個(gè)物體走過(guò)的路程相等，從而可知，當(dāng)0<x<l時(shí)，丁走在最前

面，當(dāng)x>l時(shí)，丁走在最后面，所以C正確；

指數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)速度是先慢后快，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，最前面的物體一定

是按照指數(shù)型函數(shù)模型運(yùn)動(dòng)的物體，即一定是甲物體，所以D正確.

4.(2020?青島模擬)某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料,

如圖I,為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形

鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形

的兩邊長(zhǎng)x,y應(yīng)分別為()

A.x=15,y=12B.x=12,y=15

C.x=14,y=10D.x=10,y=14

答案A

解析由三角形相似得萬(wàn)丁=而

〃5

付x=4（24—y）,

所以S=xy=—12）2+180,

所以當(dāng)y=12時(shí)，S有最大值，此時(shí)x=15.檢驗(yàn)符合題意.

5.(2021?武漢檢測(cè))人們用分貝(dB)來(lái)劃分聲音的等級(jí)，聲音的等級(jí)d(x)(單位：dB)

X

與聲音強(qiáng)度x(單位：W/m2)滿足d(x)=91g?；n.13一般兩人小聲交談時(shí)，聲音的

等級(jí)約為54dB,在有50人的課堂上講課時(shí)，老師聲音的等級(jí)約為63dB,那么

老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的()

A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍

答案B

解析設(shè)老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度，一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度分別為陽(yáng)W/n?,

X2W/m2,

根據(jù)題意得d(xi)=91g［、［仆13=63,解得xi=106,

1入iu

d(X2)=9島x?-13=54,

解得X2=10-7,所以尸'=10,

X2

因此，老師上課時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的10倍.

6.(2019?全國(guó)II卷)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球

背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的

一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通信聯(lián)系.為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四

號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日上點(diǎn)的軌道運(yùn)行心點(diǎn)是平衡點(diǎn)，

位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為Mi,月球質(zhì)量為%,地月距離為七七

點(diǎn)到月球的距離為心根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，尸滿足方程：

M\M2

(R+r)2+r-(R+〃)R3.

設(shè)a=/由于a的值很小，因此在近似計(jì)算中一?裂3a3,則尸的近似值

R(1+a)

為()

A幫RD.^J^R

答案D

解析由a=,得r=aR,

ZK、MM2.M\

代入與+1產(chǎn)'工+了=(火+')/'

36c3+3a4+a5M2

整理得一(1+a)2=痂

又為(：妥；*即3a3心聾，所以a心

故2底離艮

二'填空題

7.“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過(guò)廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)者視線的.已知某

品牌商品廣告銷售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿足關(guān)系R=ay[A（a為常數(shù)），廣告

效應(yīng)為。那么精明的商人為了取得最大的廣告效應(yīng)，投入的廣告費(fèi)應(yīng)

為.（用常數(shù)a表示）.

答案（"2

解析令/=爪（。0）,則〃=戶,

.'.D=at—t2=—

.,.當(dāng)即/=宗時(shí)，0取得最大值.

8.（2020?遼寧協(xié)作校模擬）考古學(xué)家經(jīng)常利用碳14的含量來(lái)推斷古生物死亡的大

致時(shí)間.當(dāng)有機(jī)體生存時(shí)，會(huì)持續(xù)不斷地吸收碳14,從而其體內(nèi)的碳14含量會(huì)保

持在一定的水平；但當(dāng)有機(jī)體死亡后，就會(huì)停止吸收碳14,其體內(nèi)的碳14含量

就會(huì)逐漸減少，而且每經(jīng)過(guò)大約5730年后會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的一半.假設(shè)有機(jī)體生存時(shí)

碳14的含量為1,如果用y表示該有機(jī)體死亡x年后體內(nèi)碳14的含量，則y與

x的關(guān)系可以表示為.

答案嬴

解析依題意，設(shè)，

小5730a

當(dāng)x=5730時(shí)，y=T，即3=（1），

因此。=丁*,故y=（，5730.

9.（2021?重慶調(diào)研）為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司研『/（mg/m，）

究出一種消毒劑，據(jù)實(shí)驗(yàn)表明，該藥物釋放量興mg/m3）與時(shí)間'7k

[kt,0</<|,0||九

/（h）的函數(shù)關(guān)系式為]]（如圖所示），實(shí)驗(yàn)表明，

II?與

當(dāng)藥物釋放量產(chǎn)0.75（mg/m3）時(shí)對(duì)人體無(wú)害.求：⑴仁；（2）為了不使人

身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過(guò)

分鐘人方可進(jìn)入房間.

答案（1）2⑵40

解析（1）由題圖可知，當(dāng)時(shí)，N=l，

即-號(hào)=1=＞左=2.

左X]

產(chǎn)2

（2）由題意可得〈]解得信，

片＜0.75,

故為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒，則在消毒后

2

至少經(jīng)過(guò)1X60=40（分鐘）人方可進(jìn)入房間.

三'解答題

10.候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模的遷徙，研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),

該種鳥類的飛行速度。（單位：m/s）與其耗氧量Q之間的關(guān)系為o=a+blog3m（其

中a,b是實(shí)數(shù)）.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥類在靜止時(shí)其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量

為90個(gè)單位時(shí)，其飛行速度為1m/s.

⑴求出a,b的值；

（2）若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s,則其耗氧量至少要多少個(gè)

單位？

解（1）由題意可知，當(dāng)這種鳥類靜止時(shí)，它的速度為0m/s,此時(shí)耗氧量為30

個(gè)單位，

30

故有a+610g3而=0,即a+b=0.

當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，速度為1m/s,

90

故有a+Z40g3m=1，即a+2b=l.

a+h=0,1,

解方程組得

a^rlb—1,b=l.

即a,b的值分別為和1.

(2)由⑴知,0=-l+log3告.

所以要使飛行速度不低于2m/s,則有

故一1+10都含22,解得0N27O.

所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s時(shí)，其耗氧量至少要270

個(gè)單位.

11.近年來(lái)，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享

單車公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資240萬(wàn)元.根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個(gè)城市至少

要投資80萬(wàn)元，由前期市場(chǎng)調(diào)研可知：甲城市收益尸與投入單位：萬(wàn)元）滿足

fl

l,_〃+2，80WaW120,

2=中伍一6,乙城市收益。與投入a（單位:萬(wàn)兀）滿足Q=y

、32,120<a<160,

設(shè)甲城市的投入為x（單位：萬(wàn)元），兩個(gè)城市的總收益為外）（單位：萬(wàn)元）.

（1）當(dāng)投資甲城市128萬(wàn)元時(shí)，求此時(shí)公司的總收益；

（2）試問(wèn)：如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資，才能使公司總收益最大？

解（1）當(dāng)x=128,即甲城市投資128萬(wàn)元時(shí)，乙城市投資112萬(wàn)元，

所以/（128）=4X=2X128-6+；X112+2=88（萬(wàn)元）.

因此，此時(shí)公司的總收益為88萬(wàn)元.

（2）由題意知，甲城市投資x萬(wàn)元，則乙城市投資（240—乃萬(wàn)元，

|%280,

依題意得“八、。八解之得80Wx<160,

[240-x280,

當(dāng)80Wx<120,即120<240-x^l60時(shí)，

危）=4/-6+32=4叵+26<26+16VB.

當(dāng)120WxW160,即80W240—xW120時(shí),

/（x）=4y[2x—6+1（240—x）+2

=-^x+4"^2x+56.

令尸正，則出[2而，45],

所以y=—（P+4啦f+56=—8啦>+88.

當(dāng)尸8&,即x=128時(shí)，y取最大值88.

因?yàn)?8-(26+16V15)=2X(31-8V15)>0,

故小)的最大值為88.

因此，當(dāng)甲城市投資128萬(wàn)元，乙城市投資112萬(wàn)元時(shí)，總收益最大，且最大收

益為88萬(wàn)元.

B級(jí)能力提升

12.(多選題)(2021?威海調(diào)研)小菲在學(xué)校選修課中了解到