非線性方程的數(shù)值求法牛頓迭代法和弦截法

用迭代法可逐步精確方程根的近似值，但必須要找到的等價(jià)方程,如果選得不適宜,不僅影響收斂速度,而且有可能造成迭代格式發(fā)散。能否找到一種迭代方法,既結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,收斂速度快,又不存在發(fā)散的問(wèn)題。這就是本節(jié)要介紹的牛頓迭代法7.4.1牛頓迭代法的根本思想牛頓迭代法一種重要和常用的迭代法,它的根本思想是將非線性函數(shù)f(x)逐步線性化,從而將非線性方程f(x)=0近似地轉(zhuǎn)化為線性方程求解。7.4

牛頓迭代法

●算法推導(dǎo)

設(shè)存在的某一鄰域,使得非線性函數(shù)

取迭代初值,滿足1.建立從的迭代公式將在點(diǎn)一階Taylor展開(kāi)：考慮是的單根由（因?yàn)椋?.建立從的迭代公式將在點(diǎn)一階Taylor展開(kāi)：依此類推，可得一般的迭代格式：上述迭代格式稱為求的解的牛頓迭代法?！駧缀我饬x在點(diǎn)處作的切線，切線方程為：求該切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，正是的值，即●依次類推，在點(diǎn)處作的切線，切線方程為：求該切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，正是的值，即∴牛頓迭代法又稱為切線求根法。

●牛頓迭代法的收斂條件與收斂速度〔針對(duì)單根而言〕定理設(shè)則由牛頓迭代法產(chǎn)生的迭代序列局部收斂于，且為平方收斂。證明：在牛頓迭代法的迭代格式中，迭代函數(shù)為：∵在的鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，∴又牛頓迭代法局部收斂于又即有：牛頓迭代法具有二階〔平方〕收斂速度。注.定理要求充分接近(局部收斂)，充分的程度沒(méi)有具體的描述，而且若的值沒(méi)有取好，有可能得不到收斂的結(jié)果。以下定理，給出了滿足一定的條件時(shí)，要使得牛頓迭代法收斂，應(yīng)滿足什么條件。又牛頓迭代法局部收斂于又即有：牛頓迭代法具有二階〔平方〕收斂速度。注.定理要求充分接近(局部收斂)，充分的程度沒(méi)有具體的描述，而且若的值沒(méi)有取好，有可能得不到收斂的結(jié)果。以下定理，給出了滿足一定的條件時(shí)，要使得牛頓迭代法收斂，應(yīng)滿足什么條件。定理設(shè)在區(qū)間上的二階導(dǎo)數(shù)存在，且滿足：①（保證中至少存在一個(gè)根）②（保證牛頓迭代法能做下去及方程在上只有一個(gè)根）③保持符號(hào)不變。（保證在上是上凸或下凸的）④初始值（保證從出發(fā)的）則牛頓迭代法產(chǎn)生的迭代序列收斂于在區(qū)間的唯一根。yx0B=x0f′′(x)>0xn+1X*ayx0Bf′′(x)>0a=x0yx0B=x0f′′(x)<0ayx0Bf′′(x)<0a=x0yx10x0X*0x0X*x2不滿足迭代條件時(shí)，可能導(dǎo)致迭代值遠(yuǎn)離根的情況而找不到根或死循環(huán)的情況7.4.4牛頓迭代法的算法實(shí)現(xiàn)例.

用Newton迭代法建立求的迭代公式.解：第一步，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某一非線性方程的根的問(wèn)題方程1

有根號(hào)不方便計(jì)算方程2

其正根為關(guān)于方程2

的Newton迭代公式如下：利用上述保證條件，令取區(qū)間注意：當(dāng)時(shí)，可以驗(yàn)證，條件①②③成立取作初始值，則條件④成立那么有：例用簡(jiǎn)單迭代法和牛頓迭代法求方程在附近的根，取解法一：用簡(jiǎn)單迭代法對(duì)方程建立迭代格式：取，計(jì)算可得：（在第26步才達(dá)到要求）解法二：用牛頓迭代法對(duì)方程建立牛頓迭代格式：取，計(jì)算可得：〔在第三步就到達(dá)要求〕比較：后者(收斂階為2)比前者(收斂階為1)的收斂快。

重根的處理

設(shè)的重根（），即●

直接利用牛頓迭代法求解

迭代格式為：

收斂階為1.即直接用牛頓迭代法求解，效果并不理想.推導(dǎo)過(guò)程如下：顯然，即上述迭代格式確實(shí)可構(gòu)造求方程的根的迭代格式。迭代格式：又令(*)兩邊同時(shí)減去若收斂，即當(dāng)時(shí)，∴對(duì)重根用牛頓迭代方法只是線性收斂。20精選ppt●用改進(jìn)的牛頓迭代法來(lái)求解改進(jìn)的牛頓迭代法I:其收斂階為2.〔推導(dǎo)過(guò)程：若收斂，即∴此種改進(jìn)的牛頓迭代方法是平方收斂。改進(jìn)的牛頓迭代法II:〔將重根情形化為單根情形〕迭代格式為：其中，其收斂速度為平方收斂.（令說(shuō)明是的單根。用牛頓迭代法求的根求的重根）〔2〕改進(jìn)的牛頓迭代法I:〔1〕牛頓迭代法:〔3〕改進(jìn)的牛頓迭代法II:24精選pptkxk(1)(2)(3)0123x0x1x2x31.51.4583333331.4366071431.4254976191.51.4166666671.4142156861.4142135621.51.4117647061.4142114381.41421356225精選pptNewton下山法

原理：若由xk

得到的xk+1不能使|f|減小，則在xk和xk+1之間找一個(gè)更好的點(diǎn)，使得。xkxk+1注：

=1時(shí)就是Newton迭代公式。當(dāng)

=1代入效果不好時(shí)，將

減半計(jì)算。7.5弦截法牛頓迭代法雖然具有收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，但每迭代一次都要計(jì)算導(dǎo)數(shù),當(dāng)比較復(fù)雜時(shí),不僅每次計(jì)算帶來(lái)很多不便，而且還可能十分麻煩，如果用不計(jì)算導(dǎo)數(shù)的迭代方法，往往只有線性收斂的速度。本節(jié)介紹的弦截法便是一種不必進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的求根方法。弦截法在迭代過(guò)程中不僅用到前一步處的函數(shù)值，而且還使用處的函數(shù)值來(lái)構(gòu)造迭代函數(shù)，這樣做能提高迭代的收斂速度。7.5.1弦截法的根本思想為防止計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，使用差商替代牛頓公式中的導(dǎo)數(shù),便得到迭代公式

稱為弦截迭代公式，相應(yīng)的迭代法稱為弦截法。7.5.2弦截法幾何意義弦截法也稱割線法,其幾何意義是用過(guò)曲線上兩點(diǎn)、的割線來(lái)代替曲線,用割線與x軸交點(diǎn)的橫座標(biāo)作為方程的近似根再過(guò)P1點(diǎn)和點(diǎn)作割線求出,再過(guò)P2點(diǎn)和點(diǎn)作割線求出,余此類推，當(dāng)收斂時(shí)可求出滿足精度要求的可以證明，弦截法具有超線性收斂，收斂的階約為1.618，它與前面介紹的一般迭代法一樣都是線性化方法，但也有區(qū)別。即一般迭代法在計(jì)算時(shí)只用到前一步的值，故稱之為單點(diǎn)迭代法；而弦截法在求時(shí)要用到前兩步的結(jié)果和，使用這種方法必須給出兩個(gè)初始近似根，這種方法稱為多點(diǎn)迭代法。

例12用弦截法求方程在初始值鄰近的一個(gè)根。要求解：取,,令利用弦截迭代公式計(jì)算結(jié)果，易見(jiàn)取近似根那么可滿足精度要求。7.5.3

弦截法算法實(shí)現(xiàn)

非線性方程的解通常叫做方程的根,也叫做函數(shù)的零點(diǎn),本章討論了求解非線性方程近似根常用的一些數(shù)值方法。先