專題10 相似三角形的判定-原卷版

專題10相似三角形的判定★知識(shí)點(diǎn)1：相似三角形的判定-平行法平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．典例分析【例1】1（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，、分別是、邊上的高．求證：．【例2】（2023秋·遼寧鐵嶺·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）求t為何值時(shí)，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時(shí)，求t值．即學(xué)即練1．（2023秋·廣東河源·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，，與交于點(diǎn)E.(1)(2)若，，，求的長；2．（2023秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，與相交于點(diǎn)，且，，．(1)求證：；(2)已知，求．★知識(shí)點(diǎn)2：相似三角形的判定-三邊對(duì)應(yīng)成比例如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．AABCA1B1C1【例1】（2023秋·九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）如圖，已知，，，，且，求證：．【例2】（2021秋·北京昌平·九年級(jí)期中）如圖，在由邊長均為1的小正方形組成的網(wǎng)格中有△ABC和△DEF．求證：△ABC∽△DEF．【即學(xué)即練】1．（2021秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由．2．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在7×6的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，從點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)中任取三點(diǎn)，兩兩連接，得到一個(gè)三角形，請(qǐng)?jiān)谒玫乃腥切沃?，寫出互為相似的兩個(gè)三角形及它們的相似比．★知識(shí)點(diǎn)3：判定定理-兩角對(duì)應(yīng)相等如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．AABCA1B1C1要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.典例分析【例1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊BC、邊AB上，且∠ADE＝∠B，求證：△ADC∽△DEB．【例2】（2022秋·湖南衡陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，DCAB，E是DC延長線上的點(diǎn)，連接AE，交BC于點(diǎn)F．(1)求證：△ABF∽△ECF；(2)若AB＝8，，求CE的長．即學(xué)即練1．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的動(dòng)點(diǎn)，若∠DCE=90°．求證：△ACD∽△BEC2．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且滿足．(1)證明：；(2)若，，求AB的長．★知識(shí)點(diǎn)4判定定理-兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，，，那么．AABCA1B1C1此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.典例分析【例1】（2023秋·甘肅天水·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在和中，，且．求證：．【例2】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：如圖所示，相交于點(diǎn)O，連接，且，求證：．即學(xué)即練1．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，與中，，；證明：．

2．（2023秋·吉林白山·九年級(jí)?？计谀窘滩脑}】如圖①，在中，，且，，圖中的相似三角形是__________，它們的相似比為__________；【改編】將圖①中的繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，連接、．求證：；【應(yīng)用】如圖③，在和中，，，點(diǎn)D在邊上，連接，則與的面積比為__________．1．（2022秋·湖南株洲·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，下列條件不能判定的是（

）A． B．C． D．2．（2023春·吉林長春·八年級(jí)長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，下列四個(gè)三角形中，與相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

3．（2023秋·九年級(jí)課前預(yù)習(xí)）如圖是老師畫出的，已標(biāo)出三邊的長度．下面四位同學(xué)畫出的三角形與老師畫出的不一定相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

4．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，下列條件：①；②；③；④；其中單獨(dú)能夠判定的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2022秋·河北·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，下列條件不能判定的是（

）

A． B． C． D．6．（2022秋·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P在的邊上，要判斷，添加下列一個(gè)條件，不正確的是（

）

A． B． C． D．7．（2023秋·廣東梅州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在下列四個(gè)條件：①；②；③；④中，能使的條件有（

）個(gè)

A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，，那么添加一個(gè)條件后，仍不能判定與相似的是（

）

A． B． C． D．9．（2023春·安徽滁州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定的是（

）

A． B． C． D．10．（2022秋·山東泰安·九年級(jí)?？计谀┲?，D是上的一點(diǎn)，再在上取一點(diǎn)E，使得與相似，則滿足這樣條件的E點(diǎn)共有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)11．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）正方形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交射線于點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)用含的式子表示；(2)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值若變化，請(qǐng)說明理由；(3)若，求的值．12．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長．13．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段，連接，，.(1)觀察猜想如圖①，當(dāng)時(shí)，的值是_______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________．(2)類比探究如圖②，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．14．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）問題如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，若，求的長．15．（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)