黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)2023-2024學(xué)年九年級（上）九月月考數(shù)學(xué)試卷 （含解析）

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（五四學(xué)制）考試注意事項：1、考生須誠信考試,遵守考場規(guī)則和考試紀律，并自覺服從監(jiān)考教師和其他考試工作人員

管理；

2、監(jiān)考教師發(fā)卷后，在試卷指定的地方填寫本人準考證號、姓名等信息；考試中途考生不準以任何理由離開考場；

3、考生答卷用筆必須使用同一規(guī)格同一顏色的筆作答(作圖可使用鉛筆)，不準用規(guī)定以外的筆答卷，不準在答卷上作任何標記。考生書寫在答題卡規(guī)定區(qū)域外的答案無效。4、考試開始信號發(fā)出后,考生方可開始作答。一、選擇題（每小題3分，共計30分）1．下面關(guān)于x的方程中，是一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B．2x2﹣＝4 C．2x2﹣3xy+4＝0 D．x2＝12．下面的圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．已知點A（1，a）、點B（b，2）關(guān)于原點對稱，則a+b的值為（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．14．拋物線y＝﹣（x﹣2）2+3的頂點坐標是（）A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）5．如圖，△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到△AB′C′，且C′在邊BC上，則∠B′C′B的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．46° D．60°6．下列關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根的是（）A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣x﹣1＝07．將二次函數(shù)y＝2x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，結(jié)果為（）A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x﹣4）2+32 C．y＝2（x﹣2）2﹣9 D．y＝2（x﹣4）2﹣338．在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝ax+c和二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象大致為（）A． B． C． D．9．某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元．已知兩次降價的百分率都為x，那么x滿足的方程是（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81 C．100（1﹣x%）2＝81 D．100x2＝8110．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，其對稱軸為x＝1．下列結(jié)論中：①ac＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0；⑤a+b＞am2+bm．上述結(jié)論正確的有（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（每小題3分，共24分）11．方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是．12．如果將拋物線y＝x2﹣3向左平移2個單位，再向上平移4個單位，那么平移后的拋物線解析式是．13．若關(guān)于x的方程ax2﹣4x+3＝0有兩個相等的實數(shù)根，則常數(shù)a的值是．14．已知2是關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一個根，則該方程的另一個根是．15．如圖所示，邊長為2的正三角形ABO的邊OB在x軸上，將△ABO繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到三角形OA1B1，則點A1的坐標為．16．一個等腰三角形的兩條不相等的邊長分別是方程x2﹣7x+12＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是．17．如圖，點A，B的坐標分別為（1，4）和（4，4），拋物線y＝a（x﹣m）2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側(cè)），點C的橫坐標最小值為﹣3，則點D的橫坐標最大值為．18．如圖，一段拋物線：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），記為C1，它與x軸交于點O，A1；將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點A2；將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x軸于點A3；…如此進行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段拋物線C13上，則m＝．三、解答題（19～24題每題6分，25～27題每題10分，共66分）19．（6分）解方程：（1）x2﹣6x+8＝0；（2）x2﹣8x+1＝0．20．（6分）圖①是電子屏幕的局部示意圖，4×4網(wǎng)格的每個小正方形邊長均為1，每個小正方形頂點叫做格點，點A，B，C，D在格點上，光點P從AD的中點出發(fā)，按圖②的程序移動（1）請在圖①中用圓規(guī)畫出光點P經(jīng)過的路徑；（2）在圖①中，所畫圖形是圖形（填“軸對稱”或“中心對稱”），所畫圖形的周長是（結(jié)果保留π）．21．（6分）如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是．求他將鉛球推出的水平距離和最大高度．22．（6分）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，連接OD．（1）求證：△COD是等邊三角形；（2）當(dāng)∠AOC＝105°，∠BOC＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由．23．（6分）如圖，拋物線經(jīng)過點A、B、C．（1）求此拋物線的解析式；（2）若拋物線和x軸的另一個交點為D，求△ODC的面積．24．（6分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2﹣（m+2）x+2（m≠0，m≠2）．（1）求證：此拋物線與x軸總有兩個交點；（2）若此拋物線與x軸總有兩個交點的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．25．某商場將每件進價為80元的某種商品原來按每件100元出售，一天可售出100件．后來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件．（1）求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤元．（2）設(shè)后來該商品每件降價x元，商場一天可獲利潤y元．①若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應(yīng)降價多少元？②求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x取何值時，商場獲利潤最大？26．已知：△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，連接BD，取DE、BD、AB的中點分別為G、F、H，連接FG、GH、HF．（1）當(dāng)點D在AC邊上，點E在BC邊上時，如圖1，判斷△FGH的形狀為；（2）把圖1中△DCE繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)得到圖2，判斷△FGH的形狀是否改變？請說明理由；（3）把△DCE繞點C在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，若AC＝10，DC＝6，求線段GH的最大值與最小值．27．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（1，0）．（1）求此拋物線的解析式；（2）點P在直線AC下方的拋物線上，連接PA、PC，設(shè)點P的橫坐標為t，△PAC的面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量t的取值范圍；（3）在（2）的條件下，過點P作y軸的平行線與AC相交于點Q，當(dāng)線段PQ的長度最大時，求s的值．

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（五四學(xué)制）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共計30分）1．下面關(guān)于x的方程中，是一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B．2x2﹣＝4 C．2x2﹣3xy+4＝0 D．x2＝1解：A、ax2+bx+c＝0中，a＝0時，不是一元二次方程，故本選項錯誤；B、分母中含有字母，不是一元二次方程，故本選項錯誤；C、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項錯誤；D、符合一元二次方程的定義，故本選項錯誤．故選：D．2．下面的圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故A選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故B選項錯誤；C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故C選項正確；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項錯誤．故選：C．3．已知點A（1，a）、點B（b，2）關(guān)于原點對稱，則a+b的值為（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1解：∵點A（1，a）、點B（b，2）關(guān)于原點對稱，∴a＝﹣2，b＝﹣1，∴a+b＝﹣3．故選：B．4．拋物線y＝﹣（x﹣2）2+3的頂點坐標是（）A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）解：∵拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣2）2+3，∴其頂點坐標為（2，3）．故選：B．5．如圖，△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到△AB′C′，且C′在邊BC上，則∠B′C′B的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．46° D．60°解：∵根據(jù)題意得：AC＝AC′，∠AC′B′＝∠C＝70°，∴∠AC′C＝∠C＝70°，∴∠AC′B＝180°﹣∠AC′C＝110°，∴∠B′C′B＝∠AC′B﹣∠AC′B′＝40°．故選：B．6．下列關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根的是（）A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣x﹣1＝0解：A、這里a＝1，b＝0，c＝1，∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，∴方程沒有實數(shù)根，本選項不合題意；B、這里a＝1，b＝1，c＝1，∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程沒有實數(shù)根，本選項不合題意；C、這里a＝1，b＝﹣1，c＝1，∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程沒有實數(shù)根，本選項不合題意；D、這里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程有兩個不相等實數(shù)根，本選項符合題意；故選：D．7．將二次函數(shù)y＝2x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，結(jié)果為（）A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x﹣4）2+32 C．y＝2（x﹣2）2﹣9 D．y＝2（x﹣4）2﹣33解：y＝2x2﹣8x﹣1，＝2（x2﹣4x+4）﹣8﹣1，＝2（x﹣2）2﹣9，即y＝2（x﹣2）2﹣9．故選：C．8．在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝ax+c和二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象大致為（）A． B． C． D．解：∵一次函數(shù)和二次函數(shù)都經(jīng)過y軸上的（0，c），∴兩個函數(shù)圖象交于y軸上的同一點，故B選項錯誤；當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)經(jīng)過一、三象限，故C選項錯誤；當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)經(jīng)過二、四象限，故A選項錯誤；故選：D．9．某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元．已知兩次降價的百分率都為x，那么x滿足的方程是（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81 C．100（1﹣x%）2＝81 D．100x2＝81解：設(shè)兩次降價的百分率均是x，由題意得：x滿足方程為100（1﹣x）2＝81．故選：B．10．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，其對稱軸為x＝1．下列結(jié)論中：①ac＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0；⑤a+b＞am2+bm．上述結(jié)論正確的有（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸交點位于y軸正半軸，∴c＞0，∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，∴ac＜0，所以①錯誤；②正確；∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴b2﹣4ac＞0，所以③正確；∵x＝﹣1時，y＜0，∴a﹣b+c＝＜0，所以④錯誤，⑤∵拋物線開口向下，∴當(dāng)x＝1時，y有最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c（m為一切實數(shù)），∴a+b≥am2+bm，故⑤錯誤；故選：A．二、填空題（每小題3分，共24分）11．方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是x1＝2，x2＝﹣3．解：（x﹣2）（x+3）＝0，可得x﹣2＝0或x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3．故答案為：x1＝2，x2＝﹣312．如果將拋物線y＝x2﹣3向左平移2個單位，再向上平移4個單位，那么平移后的拋物線解析式是y＝（x+2）2+1．解：依題意，得y＝（x+2）2﹣3+4＝（x+2）2+1，故答案為：y＝（x+2）2+1．13．若關(guān)于x的方程ax2﹣4x+3＝0有兩個相等的實數(shù)根，則常數(shù)a的值是．解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣4）2﹣4a×3＝0，解得a＝．故答案為．14．已知2是關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一個根，則該方程的另一個根是﹣6．解：∵2是關(guān)于x的一元二次方程x2+4x﹣p＝0的一個根，∴2+x1＝﹣4，∴x1＝﹣6，∴該方程的另一個根是﹣6．15．如圖所示，邊長為2的正三角形ABO的邊OB在x軸上，將△ABO繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到三角形OA1B1，則點A1的坐標為（，﹣1）．解：如圖，設(shè)A1B1與x軸相交于C，∵△ABO是等邊三角形，旋轉(zhuǎn)角為30°，∴∠A1OC＝60°﹣30°＝30°，∴A1B1⊥x軸，∵等邊△ABO的邊長為2，∴OC＝×2＝，A1C＝×2＝1，又∵A1在第四象限，∴點A1的坐標為（，﹣1）．故答案為（，﹣1）．16．一個等腰三角形的兩條不相等的邊長分別是方程x2﹣7x+12＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是10或11．解：x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，x﹣3＝0，x﹣4＝0，x1＝3，x2＝4，①等腰三角形的三邊是3，3，4，符合三角形三邊關(guān)系定理，此時三角形的周長是3+3+4＝10；②等腰三角形的三邊是3，4，4，此時符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長是3+4+4＝11；即等腰三角形的周長是10或11．故答案為10或11．17．如圖，點A，B的坐標分別為（1，4）和（4，4），拋物線y＝a（x﹣m）2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側(cè)），點C的橫坐標最小值為﹣3，則點D的橫坐標最大值為8．解：當(dāng)點C橫坐標為﹣3時，拋物線頂點為A（1，4），對稱軸為x＝1，此時D點橫坐標為5，則CD＝8；當(dāng)拋物線頂點為B（4，4）時，拋物線對稱軸為x＝4，故C（0，0），D（8，0）；由于此時D點橫坐標最大，故點D的橫坐標最大值為8；故答案為：8．18．如圖，一段拋物線：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），記為C1，它與x軸交于點O，A1；將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點A2；將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x軸于點A3；…如此進行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段拋物線C13上，則m＝2．解：∵一段拋物線：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），∴圖象與x軸交點坐標為：（0，0），（3，0），∵將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得C2，交x軸于點A2；將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得C3，交x軸于點A3；…如此進行下去，直至得C13．∴C13與x軸的交點坐標為（36，0），（39，0），且圖象在x軸上方，∴C13的解析式為：y13＝﹣（x﹣36）（x﹣39），當(dāng)x＝37時，y＝﹣（37﹣36）×（37﹣39）＝2．故答案為：2．三、解答題（19～24題每題6分，25～27題每題10分，共66分）19．（6分）解方程：（1）x2﹣6x+8＝0；（2）x2﹣8x+1＝0．解：（1）x2﹣6x+8＝0，（x﹣2）（x﹣4）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝4；（2）x2﹣8x＝1，x2﹣8x+42＝﹣1+16（x﹣4）2＝15，，∴，．20．（6分）圖①是電子屏幕的局部示意圖，4×4網(wǎng)格的每個小正方形邊長均為1，每個小正方形頂點叫做格點，點A，B，C，D在格點上，光點P從AD的中點出發(fā)，按圖②的程序移動（1）請在圖①中用圓規(guī)畫出光點P經(jīng)過的路徑；（2）在圖①中，所畫圖形是軸對稱圖形（填“軸對稱”或“中心對稱”），所畫圖形的周長是4π（結(jié)果保留π）．解：（1）如圖所示；（2）所畫圖形是軸對稱圖形；旋轉(zhuǎn)的度數(shù)之和為270°+90°×2+270°＝720°，所畫圖形的周長＝＝4π．故答案為：4π．21．（6分）如圖，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是．求他將鉛球推出的水平距離和最大高度．解：∵＝﹣（x2﹣8x+16﹣16）+＝﹣（x2﹣8x+16）++＝﹣（x﹣4）2+3，∴他將鉛球推出的最大高度為3m．∵，解得x1＝﹣2（舍）x2＝10他將鉛球推出的水平距離為10m．22．（6分）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，連接OD．（1）求證：△COD是等邊三角形；（2）當(dāng)∠AOC＝105°，∠BOC＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由．【解答】（1）證明：∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC∴△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△COD是等邊三角形；（2）解：△AOD是等腰直角三角形，理由如下：∵△COD是等邊三角形∠COD＝∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°∵∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝105°﹣60°＝45°，∴∠OAD＝45°，∴∠OAD＝∠AOD，∴OD＝AD，∴△AOD是等腰直角三角形．23．（6分）如圖，拋物線經(jīng)過點A、B、C．（1）求此拋物線的解析式；（2）若拋物線和x軸的另一個交點為D，求△ODC的面積．解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得a?（﹣1﹣1）2﹣4＝0，解得a＝1，所以拋物線的解析式為y＝（x﹣1）2﹣4；（2）因為拋物線的對稱軸為直線x＝1，則點A（﹣1，0）關(guān)于直線x＝1的對稱點D的坐標為（3，0），所以△ODC的面積＝×3×4＝6．24．（6分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2﹣（m+2）x+2（m≠0，m≠2）．（1）求證：此拋物線與x軸總有兩個交點；（2）若此拋物線與x軸總有兩個交點的橫坐標都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．【解答】（1）證明：∵m≠0，∴△＝（m+2）2﹣4m×2＝m2+4m+4﹣8m＝（m﹣2）2．∵m≠0，m≠2，∴（m﹣2）2＞0，∴Δ＞0，∴此拋物線與x軸總有兩個交點；（2）解：令y＝0，則（x﹣1）（mx﹣2）＝0，所以x﹣1＝0或mx﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝，當(dāng)m為正整數(shù)1時，x2為整數(shù)，即拋物線與x軸總有兩個交點的橫坐標都是整數(shù)，所以正整數(shù)m的值為1．25．某商場將每件進價為80元的某種商品原來按每件100元出售，一天可售出100件．后來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件．（1）求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤2000元．（2）設(shè)后來該商品每件降價x元，商場一天可獲利潤y元．①若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應(yīng)降價多少元？②求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x取何值時，商場獲利潤最大？解：（1）（100﹣80）×100＝2000（元）；故答案為：2000．（2）①依題意得：（100﹣80﹣x）（100+10x）＝2160即x2﹣10x+16＝0解得：x1＝2，x2＝8經(jīng)檢驗：x1＝2，x2＝8都是方程的解，且符合題意．答：商店經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品應(yīng)降價2元或8元．②依題意得：y＝（100﹣80﹣x）（100+10x），∴y＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250，∵﹣10＜0，∴當(dāng)x＝5時，商店所獲利潤最大．26．已知：△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，連接BD，取DE、BD、AB的中點分別為G、F、H，連接FG、GH、HF．（1）當(dāng)點D在AC邊上，點E在BC邊上時，如圖1，判斷△FGH的形狀為等腰直角三角形；（2）把圖1中△DCE繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)得到圖2，判斷△FGH的形狀是否改變？請說明理由；（3）把△DCE繞點C在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，若AC＝10，DC＝6，求線段GH的最大值與最小值．解：（1）∵G、F是DE、BD的中點，∴GF∥BC，GF＝BE，∴∠DFG＝∠CBD，∵H是AB的中點，∴FH∥AD，F(xiàn)H＝AD，∴∠DFH＝∠CDB，∵AC＝BC，CD＝CE，∴AD＝BE，∴GF＝HF，∵∠CDB+∠CBD＝90°，∴∠GFH＝90°，∴△GFH是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（2）△FGH的形狀不改變，理由如下：連接AD、BE，∵∠ACD＝90°﹣∠BCD，∠BCE＝90°﹣∠BCD，∴