2021年中考一輪復習數(shù)學 《圓錐平面展開最短路徑問題》小專題突破訓練(附答案)

2021年九年級數(shù)學中考復習《圓錐平面展開最短路徑問題》小專題突破訓練（附答案）1．如圖，已知圓錐的底面半徑是2，母線長是6．如果A是底面圓周上一點，從點A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點，則這根繩子的長度可能是（）A．8 B．11 C．10 D．92．如圖所示是一個幾何體的三視圖，如果一只螞蟻從這個幾何體的點B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點D處，則最短路線長為（）A． B． C． D．23．如圖，有一圓錐形糧堆，其側(cè)面展開圖是半徑為6m的半圓，糧堆母線AC的中點P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達P處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程長為（）A．3m B．m C．m D．4m4．如圖所示，圓錐底面的半徑為5，母線長為20，一只蜘蛛從底面圓周上一點A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點A的最短路程是()A． B． C． D．5．如圖，已知O為圓錐的頂點，MN為圓錐底面的直徑，一只蝸牛從M點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行到N點時，所爬過的最短路線的痕跡（虛線）在側(cè)面展開圖中的位置是（）A． B．C． D．6．如圖，有一個圓錐，高為8cm，直徑為12cm．在圓錐的底邊B點處有一只螞蟻，它想吃掉圓錐頂部A處的食物，則它需要爬行的最短路程是（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm7．如圖，圓錐的母線長是3，底面半徑是1，A是底面圓周上一點，從A點出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到A點的最短的路線長是_____．8．如圖，圓錐的軸截面是邊長為6cm的正三角形ABC，P是母線AC的中點．則在圓錐的側(cè)面上從B點到P點的最短路線的長為_____．9．已知圓錐底面半徑為1，母線長為4，地面圓周上有一點A，一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓錐側(cè)面運動一周后到達母線PA中點B，則螞蟻爬行的最短路程為（結(jié)果保留根號）10．圓錐的底面周長為，母線長為2，點P是母線OA的中點，一根細繩（無彈性）從點P繞圓錐側(cè)面一周回到點P，則細繩的最短長度為______．11．如圖，圓錐的軸截面（過圓錐頂點和底面圓心的截面）是邊長為4cm的等邊三角形，點是母線的中點，一只螞蟻從點出發(fā)沿圓錐的表面爬行到點處，則這只螞蟻爬行的最短距離是_______cm．12．如圖,已知圓錐的底面半徑是2,母線長是6，如果A是底面圓周上一點,從點A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點,則這根繩子的最短長度是________.13．如圖是一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑長為，母線長為.在母線上的點處有一塊爆米花殘渣，且，一只螞蟻從杯口的點處沿圓錐表面爬行到點，則此螞蟻爬行的最短距離為____．14．如圖,一個圓柱形水杯深20cm,杯口周長為36cm,在杯子外側(cè)底面A點有一只螞蟻,它想吃到杯子相對的內(nèi)壁上點B處的蜂蜜,已知點B距離杯子口4cm,不考慮杯子的厚度,螞蟻爬行的最短距離為________。15．已知圓錐的底面半徑為r＝20cm，高h=cm,現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點A出發(fā)．在側(cè)面上爬行一周又回到A點，求螞蟻爬行的最短距離．16．請閱讀下列材料：問題：如圖（1），一圓柱的高為5dm，底面半徑為5dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線．小明設計了兩條路線：路線1：側(cè)面展開圖中的AC．如下圖（2）所示：設路線1的長度為，則，路線2：高線AB+底面直徑BC．如上圖（1）所示：設路線2的長度為，則，∵，∴∴，所以要選擇路線2較短．（1）小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1dm，高AB為5dm”繼續(xù)按前面的路線進行計算．請你幫小明完成下面的計算：路線1：___________________；路線2：__________∵，∴(填>或<)所以應選擇路線_________(填1或2)較短.(2)請你幫小明繼續(xù)研究:在一般情況下,當圓柱的底面半徑為r,高為h時，應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的路線最短．17．如圖,已知圓錐的底面半徑是2,母線長是6.（1）求這個圓錐的高和其側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)；（2）如果A是底面圓周上一點,從點A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點,求這根繩子的最短長度.18．如圖，圓錐母線的長l等于底面半徑r的4倍，（1）求它的側(cè)面展開圖的圓心角．（2）當圓錐的底面半徑r＝4cm時，求從B點出發(fā)沿圓錐側(cè)面繞一圈回到B點的最短路徑的長19．一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（π取3）是多少？20．圓錐的底面半徑為1,母線長為6,一只螞蟻要從底面圓周上一點B出發(fā),沿圓錐側(cè)面爬行一圈再回到點B,問它爬行的最短路線是多少?21．如圖1，圓錐底面圓半徑為1，母線長為4，圖2為其側(cè)面展開圖．（1）求陰影部分面積（π可作為最后結(jié)果）；（2）母線SC是一條蜜糖線，一只螞蟻從A沿著圓錐表面最少需要爬多遠才能吃到蜜糖？22．已知：如圖，觀察圖形回答下面的問題：(1)此圖形的名稱為________．(2)請你與同伴一起做一個這樣的物體，并把它沿AS剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個________．(3)如果點C是SA的中點，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長為10，側(cè)面展開圖的圓心角為90°，請你求出蝸牛爬行的最短路程．參考答案1．解：設圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n．底面圓的周長等于：解得：n=120°；連結(jié)AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD=60°．AB=6，BD=3，∴AC=2AD=，即這根繩子的最短長度是，故這根繩子的長度可能是11，故選：B．2．解：如圖將圓錐側(cè)面展開，得到扇形，則線段為所求的最短路程．設．，即．為弧中點，，，，最短路線長為．故選：A．3．解：如圖，由題意得：AP=3，AB=6，∴在圓錐側(cè)面展開圖中故小貓經(jīng)過的最短距離是故選C.4．解：圓錐的底面周長=2π×5=10π，設側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為n．∴，解得n=90，圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示：∴最短路程為：=20，故選D．5．:解：因為MN為圓錐底面的直徑，展開后D圖中MN即為直徑，也為所爬過的最短路線的痕跡，故選D．6．解：如圖，設圓錐底面圓的圓心為點O，連接AO、BO、AB，則由題意可知∠AOB=90°，OB=6cm，AO=8cm，∴在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB=（cm），即螞蟻需爬行的最短距離為10cm.故選C.7．解：如下圖，將圓錐側(cè)面展開，A點對應的點為點，連接即為最短路線，過P點作PO⊥,則AO=．∵圖中扇形的弧長是2π，根據(jù)弧長公式得到2π＝，∴n＝120°即扇形的圓心角是120°，∴∠APO=60°，∴AO=AP×sin60°=，∴弧所對的弦長=2AO＝3．故答案為：38.解：圓錐底面是以BC為直徑的圓，圓的周長是BCπ＝6π，以AB為一邊，將圓錐展開，就得到一個以A為圓心，以AB為半徑的扇形，弧長是l＝6π，設展開后的圓心角是n°，則，解得：n＝180，即展開后∠BAC＝×180°＝90°，AP＝AC＝3，AB＝6，則在圓錐的側(cè)面上從B點到P點的最短路線的長就是展開后線段BP的長，由勾股定理得：BP＝，故答案為：．9．解：根據(jù)題意，將該圓錐展開如下圖所示的扇形，則線段AB就是螞蟻爬行的最短距離．因為圓錐的底面圓的周長=扇形的弧長，所以扇形的弧長l=2πr=2π，扇形的半徑=母線長=4，由公式：l===2π得，圓心角n==90o，在Rt△APB中，AB==2，所以螞蟻爬行的最短路程為2，故答案為2.10．解：如圖，連接AA′，∵底面周長為，∴弧長==，∴n=60°即∠AOA′=60°，∴∠A=60°，∵OA=OA′，∴△AOA′是等邊三角形，∴AA′=2，∵PP′是△OAA′的中位線，∴PP′=AA′=1，故答案為1．11．解：∵圓錐的底面周長是4π，則4π=，∴n=180°即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是180°，∴在圓錐側(cè)面展開圖中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，∴在圓錐側(cè)面展開圖中BD=，∴這只螞蟻爬行的最短距離是2cm．故答案為：2．12．解:設圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n．底面圓的周長等于：2π×2=，解得：n=120°；連結(jié)AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD=60°．由AB=6，可求得BD=3，∴AD═3，AC=2AD=6，即這根繩子的長度最少為6．故答案為：6．13．解：，底面周長，將圓錐側(cè)面沿剪開展平得一扇形，此扇形的半徑，弧長等于圓錐底面圓的周長設扇形圓心角度數(shù)為，則根據(jù)弧長公式得：，，即展開圖是一個半圓，點是展開圖弧的中點，，連接，則就是螞蟻爬行的最短距離，在中由勾股定理得，，，即螞蟻爬行的最短距離是．故答案為：．14．解：如圖，AC=36÷2=18cm，作B關于EF的對稱點D，連接AD，則PB=PD螞蟻走的最短路程是AP+PB=AP+PD=AD，由圖可知，CD=20+4=24（cm）．根據(jù)勾股定理可得：AD==30螞蟻爬行的最短距離為30cm故答案為：30cm.15．解：設扇形的圓心角為n，圓錐的

在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=cm，

∴由勾股定理可得母線l==80cm，

而圓錐側(cè)面展開后的扇形的弧長為2×20π=.

∴n=90°

即△SAA′是等腰直角三角形，

∴由勾股定理得：AA'==80cm．

∴螞蟻爬行的最短距離為80cm．16．解：（1）路線1：l12=AC2=25+π2；路線2：l22=(AB+BC)2=49．∵l12＜l22，∴l(xiāng)1＜l2，∴選擇路線1較短．故答案為：25+π2；49；＜；＜；1；（2）l12=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2，l22=(AB+BC)2=(h+2r)2，∴l(xiāng)12-l22=h2+(πr)2-(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h]，當r[(π2-4)r-4h]＜0時，r＜，此時l12＜l22，即l1＜l2；當r[(π2-4)r-4h]=0時，r=，此時l12=l22，即l1=l2；當r[(π2-4)r-4h]＞0時，r＞，此時l12＞l22，即l1＞l2；綜上可知：當r＜，l1＜l2；當r=，l1=l2；當r＞，l1＞l2．17．解：(1)圓錐的高=底面圓的周長等于：2π×2=，解得：n=120°；

(2)連結(jié)AC,過B作BD⊥AC于D,則∠ABD=60°.由AB=6，可求得BD=3，∴AD═，AC=2AD=，即這根繩子的最短長度是.18．解：（1）設它的側(cè)面展開圖的圓心角為n°，根據(jù)題意得2πr＝，而l＝2r，所以2πr＝，解得n＝90，所以它的側(cè)面展開圖的圓心角為90°；（2）連接BB′，如圖，此時BB′為從B點出發(fā)沿圓錐側(cè)面繞一圈回到B點的最短路徑，∵r＝4，∴l(xiāng)＝2r＝8，∵∠BAB′＝90°，∴△ABB′為等腰直角三角形，∴BB′＝AB＝8．19．解：（1）∵4（x+1）2﹣169=0，∴（x+1）2，∴x+1=±6.5，∴x=5.5或x=﹣7.5．（2）將圓柱體的側(cè)面展開得到如圖所示的矩形，連接AB．∵圓柱的底面半徑為2cm，∴AC2?π?2=2π．∵π取3，∴AC=6cm．在Rt△ACB中，AB2=AC2+CB2=36+64=100，AB=10cm．所以螞蟻要爬行的最短距離為10cm．20．解：∵圓錐的底面半徑為1，∴底面周長等于2π．設圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2π=,解得n=60，所以展開圖中的圓心角為60°．所以它爬行的最短路線長為6．21．解：（1）如圖2中，作SE⊥AF交弧AF于C，設圖2中的扇形的圓