陜西省2015年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課件：第4講-分式及分式方程

陜西省數(shù)學(xué)第一章數(shù)與式第4講分式及分式方程要點(diǎn)梳理

1．分式的基本概念

(1)形如

的式子叫分式；

(2)當(dāng)____時(shí)，分式AB有意義；當(dāng)____時(shí)，分式AB無意義；當(dāng)

時(shí)，分式AB的值為零．

B≠0

B＝0

A＝0且B≠0

要點(diǎn)梳理

2．分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘(或除以)

，

分式的值不變，用式子表示為

。

．

同一個(gè)不等于零的整式

要點(diǎn)梳理

3．分式的運(yùn)算法則

(1)符號(hào)法則：分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變．

用式子表示：ab＝－a－b＝－a－b＝－－ab；－ab＝a－b＝－ab.

(2)分式的加減法：

同分母加減法：

；

異分母加減法：

．

ac±bc＝a±bc

要點(diǎn)梳理

(3)分式的乘除法：

ab·cd＝

；ab÷cd＝

．

(4)分式的乘方：

(ab)n＝

．

要點(diǎn)梳理

4．最簡(jiǎn)分式如果一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式，那么這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式．5．分式的約分、通分把分式中分子與分母的公因式約去，這種變形叫做約分，約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．把幾個(gè)異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，這種變形叫做分式的通分，通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母．要點(diǎn)梳理

6．分式的混合運(yùn)算在分式的混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘方，再將除法化為乘法，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．若有括號(hào)，先算括號(hào)里面的．靈活運(yùn)用運(yùn)算律，運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式．7．解分式方程，其思路是去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，要特別注意驗(yàn)根．使分母為0的未知數(shù)的值是增根，需舍去．一個(gè)思想類比是一種在不同對(duì)象之間，或者在事物與事物之間，根據(jù)它們某些相似之處進(jìn)行比較，通過聯(lián)想和預(yù)測(cè)，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨?，從而去建立猜想和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法．通過類比可以發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的相同點(diǎn)，利用已有的知識(shí)來認(rèn)識(shí)新知識(shí)，分式與分?jǐn)?shù)有許多類似的地方，因此在分式的學(xué)習(xí)中，要注意與分?jǐn)?shù)進(jìn)行類比學(xué)習(xí)理解．兩個(gè)技巧(1)分式運(yùn)算中的常用技巧分式運(yùn)算題型多，方法活，要根據(jù)特點(diǎn)靈活求解．如：①分組通分；②分步通分；③先“分”后“通”；④重新排序；⑤整體通分；⑥化積為差，裂項(xiàng)相消．(2)分式求值中的常用技巧分式求值可根據(jù)所給條件和求值式的特征進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化．主要有以下技巧：①整體代入法；②參數(shù)法；③平方法；④代入法；⑤倒數(shù)法．三個(gè)防范(1)“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判斷一個(gè)方程是否為分式方程的依據(jù)．

(2)去分母時(shí)，不要漏乘沒有分母的項(xiàng)；解分式方程的重要步驟是檢驗(yàn)．(3)分式方程的增根與無解并非同一個(gè)概念，分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母為0的根．

分式的概念，求字母的取值范圍【例1】

(1)(2014·賀州)分式2x－1有意義，則x的取值范圍是(

)

A．x≠1

B．x＝1

C．x≠－1

D．x＝－1

(2)(2014·畢節(jié))若分式x2－1x－1的值為零，則x的值為(

)

A．0

B．1

C．－1

D．±1

A

C

【點(diǎn)評(píng)】

(1)分式有意義就是使分母不為0，解不等式即可求出，有時(shí)還要考慮二次根式有意義；(2)首先求出使分子為0的字母的值，再檢驗(yàn)這個(gè)字母的值是否使分母的值為0，當(dāng)它使分母的值不為0時(shí)，這就是所要求的字母的值．1．(1)(2013·廣州)若代數(shù)式xx－1有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(

)

A．x≠1

B．x≥0

C．x＞0

D．x≥0且x≠1

(2)當(dāng)x＝____時(shí)，分式|x|－3x－3的值為0.

D

-3

分式的性質(zhì)

【例2】

(1)(2014·賀州)先化簡(jiǎn)，再求值：

(a2b＋ab)÷a2＋2a＋1a＋1，其中a＝3＋1，b＝3－1.

(2)(2014·濟(jì)寧)已知x＋y＝xy，求代數(shù)式

1x＋1y－(1－x)(1－y)的值．

【點(diǎn)評(píng)】

(1)分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論依據(jù)，所有分式變形都不得與此相違背，否則分式的值改變；(2)將分式化簡(jiǎn)，即約分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多項(xiàng)式，要先將它們分別分解因式，然后再約分，約分應(yīng)徹底；(3)巧用分式的性質(zhì)，可以解決某些較復(fù)雜的計(jì)算題，可應(yīng)用逆向思維，把要求的算式和已知條件由兩頭向中間湊的方式來求代數(shù)式的值．2．(1)(2012·義烏)下列計(jì)算錯(cuò)誤的是(

)

A.0.2a＋b0.7a－b＝2a＋b7a－b

B.x3y2x2y3＝xy

C.a－bb－a＝－1

D.1c＋2c＝3c

(2)(2014·廣安)化簡(jiǎn)(1－1x－1)÷x－2x2－2x＋1的結(jié)果是

____．

A

x－1

分式的四則混合運(yùn)算【例3】

(2014·深圳)先化簡(jiǎn)，再求值：(3xx－2－xx＋2)

÷xx2－4，在－2，0，1，2四個(gè)數(shù)中選一個(gè)合適的代入求值．

【點(diǎn)評(píng)】準(zhǔn)確、靈活、簡(jiǎn)便地運(yùn)用法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意在取x的值時(shí)，要考慮分式有意義，不能取使分式無意義的0與±2.3．(1)(2014·十堰)已知a2－3a＋1＝0，則a＋1a－2的值為(

)

A.5＋1

B．1

C．－1

D．－5

B

(2)(2014·婁底)先化簡(jiǎn)x2－4x2－9÷(1－1x－3)，再?gòu)牟坏仁?x－3＜7的正整數(shù)解中選一個(gè)使原式有意義的數(shù)代入求值．

分式方程的解法【例4】

(2014·舟山)解方程：xx＋1－4x2－1＝1.

解：去分母，得x(x－1)－4＝x2－1，去括號(hào)，得x2－x－4＝x2－1，解得x＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)x＝－3是分式方程的解【點(diǎn)評(píng)】

(1)按照基本步驟解分式方程，其關(guān)鍵是確定各分式的最簡(jiǎn)公分母．若分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)首先進(jìn)行分解因式．將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，乘最簡(jiǎn)公分母時(shí)，應(yīng)乘原分式方程的每一項(xiàng)，不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；(2)檢驗(yàn)是否產(chǎn)生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某個(gè)根，但因?yàn)樗狗质椒匠痰哪承┓帜笧榱?，故?yīng)是原方程的增根，須舍去．4．(1)(2014·德州)分式方程xx－1－1＝3（x－1）（x＋2）的解是(

)

A．x＝1

B．x＝－1＋5

C．x＝2

D．無解

D

(2)(2014·巴中)若分式方程xx－1－m1－x＝2有增根，則這個(gè)增根是____．

(3)(2014·新疆)解分式方程：3x2－9＋xx－3＝1.

x＝1

剖析(1)分式中的分母不能為零，這是同學(xué)們熟知的，但在解題時(shí)，往往忽略題目中的這一隱含條件，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤；(2)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行恒等變形時(shí)，應(yīng)注意分子與分母同乘或