期中真題必刷?？?0題（19個(gè)考點(diǎn)專練）（解析版）

期中真題必刷?？?0題（19個(gè)考點(diǎn)專練）一．全等圖形（共2小題）1．（2022秋?銅山區(qū)期中）下列各組中是全等形的是（）A．兩個(gè)周長(zhǎng)相等的等腰三角形 B．兩個(gè)面積相等的長(zhǎng)方形 C．兩個(gè)面積相等的直角三角形 D．兩個(gè)周長(zhǎng)相等的圓【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、不一定是全等形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不一定是全等形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不一定是全等形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是全等形，故此選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等圖形的概念．2．（2022秋?泗洪縣期中）全等圖形是指兩個(gè)圖形（）A．面積相等 B．形狀一樣 C．能完全重合 D．周長(zhǎng)相同【分析】利用全等圖形的定義可得答案．【解答】解：全等圖形是指兩個(gè)圖形能完全重合，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．二．全等三角形的性質(zhì)（共6小題）3．（2022秋?溧陽(yáng)市期中）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3，5，7，△DEF的三邊長(zhǎng)分別為3，3x﹣2，2x﹣1，若這兩個(gè)三角形全等，則x為（）A． B．4 C．3 D．不能確定【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的周長(zhǎng)相等可得出等式方程求出答案．【解答】解：∵△ABC與△DEF全等，∴3+5+7＝3+3x﹣2+2x﹣1，解得：x＝3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握性質(zhì)定理．4．（2022秋?海州區(qū)校級(jí)期中）若△ABC≌△DEF，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出x的值為（）A．30 B．27 C．35 D．40【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出對(duì)應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．5．（2022秋?漣水縣期中）如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，且CE＝1，CD＝3，則BD的長(zhǎng)是（）A．1.5 B．2 C．4 D．6【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，CE＝1，CD＝3，∴BC＝CE＝1，∴BD＝BC+CD＝3+1＝4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等解答．6．（2022秋?錫山區(qū)期中）已知△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠E＝30°，則∠F的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．30° D．100°【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠D，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝70°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝80°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?南京期中）如圖，△ABC≌△ADE，若∠AED＝100°，∠B＝25°，則∠A的度數(shù)為（）A．25° B．45° C．50° D．55°【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED＝∠ACB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠AED＝100°，∴∠AED＝∠ACB＝100°，∵∠B＝25°，∴∠A＝180°﹣100°﹣25°＝55°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．8．（2022秋?濱?？h期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠DEB＝∠DEC，∠ADB＝∠BDE＝∠EDC，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義求出∠DEC、∠EDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可．【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A＝∠DEB＝∠DEC，∠ADB＝∠BDE＝∠EDC，∵∠DEB+∠DEC＝180°，∠ADB+∠BDE+EDC＝180°，∴∠DEC＝90°，∠EDC＝60°，∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣90°﹣60°＝30°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角的定義等知識(shí)，判斷△DEC的直角三角形是解此題的關(guān)鍵．三．全等三角形的判定（共9小題）9．（2022秋?江都區(qū)校級(jí)期中）根據(jù)下列條件能畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝2，BC＝6，AC＝9 B．AB＝7，BC＝5，∠A＝30° C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70° D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°【分析】根據(jù)全等三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系一一判斷即可．【解答】解：A、2+6＝8＜9，不滿足三邊關(guān)系，本選項(xiàng)不符合題意；B、邊邊角三角形不能唯一確定．本選項(xiàng)不符合題意，C、沒(méi)有邊的條件，三角形不能唯一確定，本選項(xiàng)不符合題意；D、邊角邊，能確定唯一三角形．本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．10．（2022秋?江都區(qū)校級(jí)期中）如圖，在∠AOB的兩邊上，分別取OM＝ON，再分別過(guò)點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP．可判定△OMP≌△ONP，依據(jù)是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．HL【分析】由垂線的定義可知△OMP和△ONP都是直角三角形，已知條件滿足斜邊相等和一組直角邊相等，因此依據(jù)HL判定△OMP≌△ONP．【解答】解：由題意可知，△OMP和△ONP都是直角三角形，在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是能夠依據(jù)HL判定兩個(gè)直角三角形全等．11．（2022秋?沭陽(yáng)縣期中）在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，補(bǔ)充條件后，仍不一定能保證△ABC≌△A'B'C'，這個(gè)補(bǔ)充條件是（）A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A' C．∠C＝∠C' D．AC＝A'C'【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵AB＝A'B'，∠B＝∠B'，∴當(dāng)BC＝B′C′時(shí)，根據(jù)“SAS”可判斷△ABC≌△A'B'C'，所以A選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)∠A＝∠A′時(shí)，根據(jù)“ASA”可判斷△ABC≌△A'B'C'，所以B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)∠C＝∠C′時(shí)，根據(jù)“AAS”可判斷△ABC≌△A'B'C'，所以C選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)AC＝A′C′時(shí)，不一定能保證△ABC≌△A'B'C'．所以D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．12．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，以△ABC的頂點(diǎn)A為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑作??；再以頂點(diǎn)C為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；連接AD，CD，則△ABC≌△CDA，理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根據(jù)已知條件得出BC＝AD，CD＝AB，根據(jù)全等三角形的判定定理SSS推出即可．【解答】解：∵以△ABC的頂點(diǎn)A為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑作?。辉僖皂旤c(diǎn)C為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，∴BC＝AD，CD＝AB，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．13．（2022秋?江都區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形中，與△ABC全等的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】利用全等三角形的判定方法，即可解答．【解答】解：如圖，已知△ABC，上面甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形中，與△ABC全等的是乙，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?惠山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，還需要補(bǔ)充一個(gè)條件，則下列錯(cuò)誤的條件是（）A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE【分析】分別判斷選項(xiàng)所添加的條件，根據(jù)三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、添加BF＝CE，可得，BC＝EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合題意；B、添加AC∥DF，可得，∠ACB＝∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合題意；C、添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合題意；D、添加AB＝DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，熟練地運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵，是一個(gè)開放型的題目，比較典型．15．（2022秋?江都區(qū)期中）根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的△ABC的是（）A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8【分析】根據(jù)全等三角形的三邊關(guān)系理逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．如圖Rt△ACB和Rt△ADB的斜邊都是AB，但是兩三角形不一定全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能畫出唯一的三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能畫出唯一的三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D．3+4＜8，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，不能畫出三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理和三角形三邊關(guān)系定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．16．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期中）在如圖所示的3×3網(wǎng)格中，△ABC是格點(diǎn)三角形（即頂點(diǎn)恰好是網(wǎng)格線的交點(diǎn)），則與△ABC有一條公共邊且全等（不含△ABC）的所有格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【分析】根據(jù)全等三角形的定義畫出圖形，即可判斷．【解答】解：如圖，觀察圖象可知滿足條件的三角形有4個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．17．（2022秋?天寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，補(bǔ)充下列一個(gè)條件后，不能判斷△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法一一判斷即可．【解答】解：A、根據(jù)ASA即可證明三角形全等，本選項(xiàng)不符合題意．B、根據(jù)SAS即可證明三角形全等，本選項(xiàng)不符合題意．C、根據(jù)AAS或ASA即可證明三角形全等，本選項(xiàng)不符合題意．D、SSA不能判定三角形全等，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．四．全等三角形的判定與性質(zhì)（共11小題）18．（2022秋?梁溪區(qū)期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 B．面積相等的兩個(gè)三角形全等 C．全等三角形的面積相等 D．兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【分析】根據(jù)三角形全等條件可以得出全等從形狀和大小兩個(gè)方面同時(shí)滿足就可以從備選答案中得出結(jié)論．【解答】解：A、說(shuō)明兩三角形的形狀相同，不能確定大小，故錯(cuò)誤；B、強(qiáng)調(diào)了兩三角形的大小，沒(méi)有確定形狀，故錯(cuò)誤；C、由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；D、兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故錯(cuò)誤．∴正確答案為為C．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題時(shí)弄清全等三角形的了兩個(gè)必備條件是關(guān)鍵．19．（2022?中山市一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝40°，則∠DEF的度數(shù)是（）A．75° B．70° C．65° D．60°【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C＝70°，再證明△BDE≌△CEF，得出∠BDE＝∠CEF，運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)得出∠CEF+∠DEF＝∠B+∠BDE，即可得出∠DEF＝∠B＝70°．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，在△BDE和△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴∠BDE＝∠CEF，∵∠CED＝∠B+∠BDE，即∠CEF+∠DEF＝∠B+∠BDE，∴∠DEF＝∠B＝70°；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等得出對(duì)應(yīng)角相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．（2022秋?灌云縣期中）已知：如圖，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，AF⊥CD．求證：點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)．【分析】連接AC、AD，利用“邊角邊”證明△ABC和△AED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AC＝AD，根據(jù)AF⊥CD，最后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可．【解答】證明：如圖，連接AC、AD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∵AF⊥CD，∴CF＝FD（等腰三角形三線合一）．∴點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?淮陰區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求證：DE＝BC．【分析】利用平行線的性質(zhì)得∠EDC＝∠B，再利用ASA證明△CDE≌△ABC，可得結(jié)論．【解答】證明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?天寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：∠A＝∠D．【分析】利用SAS證明△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．【解答】證明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用SAS證明△ABC≌△DEF是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋?海安市期中）如圖，已知∠C＝∠D＝90°，BC與AD交于點(diǎn)E，AC＝BD，求證：AE＝BE．【分析】由HL證明Rt△ACB≌Rt△BDA得出∠ABC＝∠BAD，由等腰三角形的判定定理即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），∴∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握等腰三角形的判定定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?溧陽(yáng)市期中）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）找出圖中與∠1、∠2相等的角（直接寫出結(jié)論，不需證明）．【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DAE，然后利用SAS判定△ABC≌△ADE；（2）利用三角形內(nèi)角和定理可得∠1＝∠MFD，再由對(duì)頂角相等可得∠1＝∠NFC．【解答】（1）證明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∵∠AMB＝∠DMF，∴∠1＝∠MFD，∵∠MFD＝∠NFC，∴∠1＝∠NFC，∴與∠1、∠2相等的角有∠NFC，∠MFD．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．25．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，AE＝AF，點(diǎn)D在AF的延長(zhǎng)線上，AD＝AC．（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE＝30°，求∠ADC的度數(shù)．【分析】（1）要證明△ABE≌△ACF，由題意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEB＝∠AFC，從而可以證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰三角形的性質(zhì)可以求得∠ADC的度數(shù)．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF+∠AEB＝∠AFE+∠AFC＝180°，∴∠AEB＝∠AFC，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△ACF，∠BAE＝30°，∴∠BAE＝∠CAF＝30°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠ADC＝＝75°．答：∠ADC的度數(shù)為75°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．26．（2022秋?濱湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB，DE交于點(diǎn)F，AD∥BE，點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，連結(jié)CD，CE．（1）求證：CD＝CE；（2）若∠A＝40°，∠BCD＝60°，求∠CDE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)AD∥BE，可得∠A＝∠B，即可得證△ADC≌△BCE（SAS）；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得CD＝CE，∠BCE＝∠ADC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠BCD＝∠A+∠ADC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出∠CDE的度數(shù)【解答】（1）證明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠B，在△ADC和△BCE中，，∴△ADC≌△BCE（SAS），∴CD＝CE；（2）解：∵△ADC≌△BCE，∴CD＝CE，∠BCE＝∠ADC，∵∠BCD＝∠A+∠ADC＝60°，∴∠ADC＝20°＝∠BCE，∴∠ECD＝60°+20°＝80°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣80°）÷2＝50°，∴∠CDE＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋?通州區(qū)期中）如圖，點(diǎn)C、E、F、B在同一直線上，點(diǎn)A、D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求證：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B＝∠C，根據(jù)AAS推出△ABE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD；（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD＝（180°﹣40°）＝70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF是解此題的關(guān)鍵．28．（2022秋?昆山市校級(jí)期中）問(wèn)題情境：如圖1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)E、F，PE與PF相等嗎？請(qǐng)你給出證明；變式拓展：如圖2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，∠EPF＝60°，PE邊與OA邊相交于點(diǎn)E，PF邊與射線OB的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．試解決下列問(wèn)題：①PE與PF還相等嗎？為什么？②試判斷OE、OF、OP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】問(wèn)題情境：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．證明△PMF≌△PNE（ASA），可得結(jié)論；變式拓展：①過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．證明△PMF≌△PNE（ASA），可得結(jié)論；②結(jié)論：OE﹣OF＝OP．證明△POM≌△PON（AAS），推出OM＝ON，再由△PMF≌△PNE（ASA），推出FM＝EN，可得結(jié)論．【解答】問(wèn)題情境：證明：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；變式拓展：①解：結(jié)論：PE＝PF．理由：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；②解：結(jié)論：OE﹣OF＝OP．理由：在△OPM和△OPN中，，∴△POM≌△PON（AAS），∴OM＝ON，∵△PMF≌△PNE（ASA），∴FM＝EN，∴OE﹣OF＝EN+ON﹣（FM﹣OM）＝2OM，在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，，∴∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，∴OE﹣OF＝OP．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．五．角平分線的性質(zhì)（共2小題）29．（2022秋?興化市期中）如圖所示，已知△ABC的周長(zhǎng)是15，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，則△ABC的面積是30．【分析】過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到OE＝OD＝4，OF＝OD＝4，利用三角形面積公式得到S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝2（AB+BC+AC），然后利用△ABC的周長(zhǎng)是15得到△ABC的面積．【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，如圖，∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE＝OD＝4，OF＝OD＝4，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×4×AB+×4×BC+×4×AC＝2（AB+BC+AC）＝2×15＝30．故答案為30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形面積公式．30．（2022秋?江陰市期中）如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，則BE的長(zhǎng)為3．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CD＝DE＝4，則BD＝BC﹣CD＝5，根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴CD⊥AC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴CD＝DE＝4，∵BC＝9，∴BD＝BC﹣CD＝5，∴BE＝＝＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．六．線段垂直平分線的性質(zhì)（共3小題）31．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB邊上的垂直平分線分別交邊AC于點(diǎn)E，交邊AB于點(diǎn)D，若AC長(zhǎng)為8cm，BE長(zhǎng)為6cm，則EC的長(zhǎng)為（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解決此題．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE＝6（cm）．∴EC＝AC﹣AE＝8﹣6＝2（cm）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）是解決本題的關(guān)鍵．32．（2022秋?靖江市校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE．（1）判斷DE與DP的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求線段DE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠PDA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝ED，于是得到結(jié)論；（2）連接PE，設(shè)DE＝x，則EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分線，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）連接PE，設(shè)DE＝x，則EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，則DE＝4.75．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線解題的關(guān)鍵．33．（2022秋?揚(yáng)州期中）如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）若AB＝10，則△CDE的周長(zhǎng)是多少？為什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．【分析】（1）依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到△CDE的周長(zhǎng)＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；（2）依據(jù)AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，進(jìn)而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根據(jù)∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）△CDE的周長(zhǎng)為10．∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周長(zhǎng)＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．七．等腰三角形的性質(zhì)（共4小題）34．（2022秋?東臺(tái)市期中）等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為2和4，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．6 B．8 C．10 D．8或10【分析】分2是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解．【解答】解：①2是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、4，∵2+2＝4，∴不能組成三角形；②2是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為2、4、4，能組成三角形，周長(zhǎng)＝2+4+4＝10，綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為10．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能組成三角形．35．（2022秋?宿城區(qū)校級(jí)期中）已知等腰三角形兩條邊長(zhǎng)分別是3和6，則此三角形的周長(zhǎng)是15．【分析】分兩種情考慮：腰長(zhǎng)為3，底邊為6；腰長(zhǎng)為6，底邊為3，根據(jù)這兩種情況即可求得三角形的周長(zhǎng)．【解答】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為3，底邊為6時(shí)，因3+3＝6，則不符合構(gòu)成三角形的條件，此種情況不存在；當(dāng)腰長(zhǎng)為6，底邊為3時(shí)，則三角形的周長(zhǎng)為：6+6+3＝15．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的定義以及構(gòu)成三角形的條件，解題的關(guān)鍵是注意分類討論．36．（2022秋?江都區(qū)期中）若等腰三角形的一個(gè)角等于120°，則它的底角的度數(shù)為30°．【分析】因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°，所以120°只能為頂角，從而可求出底角．【解答】解：∵等腰三角形的兩底角相等，∴120°只能是等腰三角形的頂角，∴底角為：（180°﹣120°）÷2＝30°．故答案為：30°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是熟記定理，掌握定理的應(yīng)用，注意分類討論思想的應(yīng)用．37．（2022秋?邗江區(qū)期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D．若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積為6．【分析】先根據(jù)等腰三角形的三線合一可得BD＝CD，再根據(jù)三角形的面積公式即可得．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴，S△CEF＝S△BEF，∵S△ABC＝12，∴，即圖中陰影部分的面積為6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的三線合一、三角形的面積公式，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．八．等腰三角形的判定（共1小題）38．（2022秋?淮安區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）BP＝（16﹣t）cm（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)11秒或12秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？【分析】（1）根據(jù)題意即可用t可分別表示出BP；（2）結(jié)合（1），根據(jù)題意再表示出BQ，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP＝BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分CQ＝BC和BQ＝CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）由題意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案為：（16﹣t）cm；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)，△PQB為等腰三角形時(shí)，則有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出發(fā)秒后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①當(dāng)△BCQ是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)：CQ＝BQ，如圖1所示，則∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②當(dāng)△BCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時(shí)：CQ＝BC，如圖2所示，則BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12，綜上所述：當(dāng)t為11或12時(shí)，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形．故答案為：11秒或12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問(wèn)題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．九．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）39．（2022秋?淮安期中）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線與AB，AC分別相交于點(diǎn)M，N．若AB＝5，AC＝7．（1）求∠BOC的度數(shù)；（2）求∠AMN的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°及角平分線的定義即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△MBO和△CNO都是等腰三角形，從而可得MB＝MO，NO＝NC，進(jìn)而可得C△AMN＝AB+AC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣∠A，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A＝90°+40°＝130°；（2）∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠CBO，∴∠ABO＝∠MOB，∴MO＝BM，同理可得，NO＝NC，∴AM+MN+AN＝AM+MO+ON+AN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC，∵AB＝5，AC＝7，∴AB+AC＝12，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AB+AC＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．一十．等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）40．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）如圖，等邊△ABC中，BD是邊AC上的高，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝CD，求證：BD＝DE．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，證出∠CDE＝∠CED＝30°，則可得出結(jié)論．【解答】證明：∵等邊△ABC中，BD是邊AC上的高，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠DBC＝∠CED，∴BD＝DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一十一．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）41．（2022秋?沭陽(yáng)縣期中）已知：如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN都是等邊三角形，AN交MC于點(diǎn)E，BM交CN于點(diǎn)F．（1）求證：AN＝BM；（2）求證：△CEF為等邊三角形．【分析】（1）由等邊三角形可得其對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而可由SAS得到△ACN≌△MCB，結(jié)論得證；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，進(jìn)而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF為等邊三角形．【解答】證明：（1）∵△ACM，△CBN是等邊三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF為等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF為等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問(wèn)題，能夠掌握并熟練運(yùn)用．一十二．直角三角形斜邊上的中線（共1小題）42．（2022秋?阜寧縣期中）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，連接AC、BD．M是AC的中點(diǎn)，連接BM、DM．若AC＝12，則△BMD的面積為18．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM＝DM＝AC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠MBD＝∠MDB，∠CAB＝∠ABM，∠DAC＝∠ADM，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BMD＝2∠BAD，即可得△BDM是等腰直角三角形，即可求解．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM＝DM＝AC＝AM＝6，∴∠MBD＝∠MDB，∠CAB＝∠ABM，∠DAC＝∠ADM，由三角形的外角性質(zhì)得，∠BMC＝∠ABM+∠CAB＝2∠BAC，∠CMD＝∠ADM+∠DAC＝2∠DAC，∴∠BMD＝∠BMC+∠CMD＝2（∠BAC+∠DAC）＝2∠BAD，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，∴∠BAD＝45°，∴∠BMD＝2∠BAD＝90°，∴S△BMD＝BM?DM＝×6×6＝18．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．一十三．勾股定理（共6小題）43．（2022秋?昆山市校級(jí)期中）如圖，數(shù)字代表所在正方形的面積，則A所代表的正方形的面積為（）A．10 B．28 C．100 D．不能確定【分析】由勾股定理即可求出答案．【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理，本題屬于基礎(chǔ)題型．44．（2022秋?新北區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，則點(diǎn)C到直線AB的距離是（）A． B．3 C． D．2【分析】作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理可以求得AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)面積法，可以求得CD的長(zhǎng)．【解答】解：作CD⊥AB于點(diǎn)D，如圖所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵，∴，解得CD＝2.4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用勾股定理和面積法解答．45．（2022秋?泗陽(yáng)縣期中）如圖，Rt△ABC中，分別以這個(gè)三角形的三邊為邊長(zhǎng)作正方形，面積分別記為S1、S2、S2．如果S2+S1﹣S3＝18，則陰影部分的面積為．【分析】由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，再根據(jù)S2+S1﹣S3＝18即可得出S1的值，即為圖中陰影部分的面積．【解答】解：由勾股定理得，BC2﹣AC2＝AB2，即S2﹣S3＝S1，∵S2+S1﹣S3＝18，∴S1＝9，由圖形可知，陰影部分的面積＝S1，∴陰影部分的面積＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，由勾股定理得出S2﹣S3＝S1，是解題的關(guān)鍵．46．（2022秋?阜寧縣期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，則BD的長(zhǎng)是2.5．【分析】過(guò)D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理可得BC，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得DE＝DC，根據(jù)三角形面積公式求出CD，即可求出BD．【解答】解：過(guò)D作DE⊥AB于E，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝＝4，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DC，∵AC?BC＝AC?CD+AB?DE，即×3×4＝×3CD+×5CD，解得CD＝1.5，∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．故答案為：2.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形的面積，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．47．（2022秋?天寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求BC邊的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值．【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)∠APB為直角時(shí)，②當(dāng)∠BAP為直角時(shí)，分別求出此時(shí)的t值即可；（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)AB＝BP時(shí)；②當(dāng)AB＝AP時(shí)；③當(dāng)BP＝AP時(shí)，分別求出BP的長(zhǎng)度，繼而可求得t值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm）；（2）由題意知BP＝2tcm，①當(dāng)∠APB為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②當(dāng)∠BAP為直角時(shí)，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，故當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，t＝4或t＝；（3）①當(dāng)AB＝BP時(shí)，t＝5；②當(dāng)AB＝AP時(shí)，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③當(dāng)BP＝AP時(shí)，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，綜上所述：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t＝5或t＝8或t＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解．48．（2022秋?廣陵區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，點(diǎn)E、F分別是BD和AC的中點(diǎn)，連接EF．（1）試判斷EF與AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若BD＝26，EF＝5，求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）連接AE，CE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE＝BD，CE＝BD，那么AE＝CE，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明EF⊥AC．（2）求出CE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出CF的長(zhǎng)，則可得出答案．【解答】（1）解：EF⊥AC．理由：連接AE，CE．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中點(diǎn)，∴AE＝BD，CE＝BD，∴AE＝CE，又∵F是AC的中點(diǎn)，∴EF⊥AC．（2）∵BD＝26，∴CE＝BD＝13，∴CF＝＝＝12，∴AC＝2CF＝24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一十四．勾股定理的逆定理（共2小題）49．（2022秋?常州期中）下列條件中，不能判斷△ABC為直角三角形的是（）A．a(chǎn)2＝1，b2＝2，c2＝3 B．a(chǎn)：b：c＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，以及勾股定理逆定理分別進(jìn)行分析可得答案．【解答】解：A、可利用勾股定理逆定理判定△ABC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；B、根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△ABC是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；C、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計(jì)算出∠A＝90°，△ABC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；D、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計(jì)算出∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理逆定理，判斷三角形是否為直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．50．（2022秋?江都區(qū)期中）如圖，小明爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計(jì)算這塊土地的面積，以便估算產(chǎn)量．小明測(cè)得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求這塊土地的面積．【分析】先把解四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解三角形的問(wèn)題，再用勾股定理解答．【解答】解：連接BD，∵∠A＝90°，∴BD2＝AD2+AB2＝25，∵BD2+CD2＝132＝BC2，∴∠CDB＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ADB+S△CBD＝+＝36（平方米），答：這塊土地的面積為36平方米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．一十五．勾股數(shù)（共1小題）51．（2022秋?盱眙縣期中）在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6【分析】判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【解答】解：A、12+22＝5≠32，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．B、22+32＝13≠42，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．C、32+42＝52，是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意．D、42+52＝41≠62，不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)的知識(shí)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．一十六．勾股定理的應(yīng)用（共6小題）52．（2022秋?宿城區(qū)期中）在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問(wèn)題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【分析】畫出圖形，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如圖，由題意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折斷處離地面4.55尺．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．53．（2022秋?泗陽(yáng)縣期中）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問(wèn)小鳥至少飛行10米．【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為AB＝10米，小樹高為CD＝4米，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形，連接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6米，在Rt△AEC中，AC＝＝10米，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．54．（2022秋?昆山市校級(jí)期中）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為17米，幾分鐘后船到達(dá)點(diǎn)D的位置，此時(shí)繩子CD的長(zhǎng)為10米，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了9米．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AB長(zhǎng)，再根據(jù)題意可得CD長(zhǎng)，然后再次利用勾股定理計(jì)算出AD長(zhǎng)，再利用BD＝AB﹣AD可得BD長(zhǎng)．【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸邊移動(dòng)了9米，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．55．（2022秋?江陰市期中）如圖1，蕩秋千是中國(guó)古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運(yùn)動(dòng)．有一天，小明在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送6m（水平距離BC＝6m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長(zhǎng)度？【分析】設(shè)繩索AD的長(zhǎng)度為xm，則AC＝（x﹣2）m，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由題意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，設(shè)繩索AD的長(zhǎng)度為xm，則AC＝（x﹣2）m，∴x2＝62+（x﹣2）2，解得：x＝10，答：繩索AD的長(zhǎng)度是10m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．56．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）“兒童散學(xué)歸來(lái)早，忙趁東風(fēng)放紙鳶”．又到了放風(fēng)箏的最佳時(shí)節(jié)．某校八年級(jí)（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度CE，他們進(jìn)行了如下操作