東臺中學(xué)高二月學(xué)情調(diào)研試數(shù)學(xué)試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省東臺中學(xué)2013—2014學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)情調(diào)研試卷2013．10高二數(shù)學(xué)一、填空題：本大題共14小題,每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程,請把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上．1．設(shè)集合M＝{x｜0≤x≤1｝，函數(shù)f（x)＝eq\f(1,\r（1－x））的定義域?yàn)镹，則M∩N＝▲．[0，1）2．已知cosα＝eq\F（eq\R（，5），3），且α∈(－eq\F（π,2)，0），則sin（π－α）＝▲．－eq\F(2，3）3．平面直角坐標(biāo)系中，不等式組eq\b\lc\{(\a\al（x＋y－2≥0,,x－y＋2≥0，，x≤2))表示的平面區(qū)域的面積是▲．44.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{（\a\al（2－x,x≥3,,f(x＋1)，x＜3,）)則f(log23)＝▲．eq\f(1，12）5．從圓（x－1）2＋(y－1)2＝1外一點(diǎn)P(2，3）向這個(gè)圓引切線，則切線的方程為▲．3x－4y＋6＝0及x＝26．若a與b－c都是非零向量，則“a·b＝a·c"是“a⊥(b－c）"的▲條件．(填“充分不必要"、“必要不充分”、“充要”或者“既不充分又不必要”)充要7．等差數(shù)列｛an｝中，公差d≠0，且2a3－a72＋2a11＝0，數(shù)列｛bn}是等比數(shù)列,且b7＝a7，則b6b8＝▲．168.設(shè)x、y滿足約束條件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y≤x＋1,，y≥2x－1,,x≥0，,y≥0，）)則目標(biāo)函數(shù)z＝16x＋y的最大值為▲．359．①命題“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②命題“面積相等的三角形全等”的否命題；③命題“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實(shí)根"的逆否命題；④命題“若A∩B＝B,則AB”的逆否命題．其中是真命題的序號是___▲___．＝1\＊GB3①，＝2\*GB3②，＝3\*GB3③10．如果兩條直線l1:x＋a2y＋6＝0與l2：(a－2）x＋3ay＋2a＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值是▲．0或－111．過點(diǎn)A（3,2）,圓心在直線y＝2x上,與直線y＝2x＋5相切的圓的方程為▲．（x－2)2＋（y－4）2＝5，或（x－eq\f(4，5))2＋(y－eq\f(8,5）)2＝512．過點(diǎn)P(eq\F(1,2),1）的直線l與圓C：（x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線l的方程為▲．2x－4y＋3＝013．已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f(2，x)－1)）(x＞0），若a＜b時(shí)，f（a)＝f(b)，則a＋b的取值范圍為▲．(4，＋∞)．14．若對于給定的正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）＝eq\f(k，x)的圖像上總存在點(diǎn)C，使得以C為圓心，1為半徑的圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為2，則k的取值范圍是▲．(0，eq\f（9,2)）．二、解答題：本大題共6小題，共90分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）已知m＞0,p：x2－4x－12≤0，q：2－m≤x≤2＋m．（Ⅰ)若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（Ⅱ）若m＝5，“p或q"為真命題，“p且q"為假命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．解(Ⅰ）A＝［－2，6］，B＝[2－m，2＋m],實(shí)數(shù)m的取值范圍是（4，＋∞）．（Ⅱ)A＝［－2,6］,B＝[－3，7］，實(shí)數(shù)x的取值范圍是[－3，－2)∪（6，7]．16．（本小題滿分14分)已知直線l：x－2y－5＝0與圓O：x2＋y2＝50相交于點(diǎn)A,B，求:(1)交點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；（2)△AOB的面積；（3）圓心角AOB的余弦．解:(1)由方程組eq\b\lc\｛（\a\al(x－2y－5＝0，,x2＋y2＝50,)）消x得y2＋4y－5＝0，解得y1＝1，y2＝－5，所以eq\b\lc\{（\a\al(x1＝7,,y1＝1，))eq\b\lc\｛（\a\al（x2＝－5，,y2＝－5．)）所以點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(7，1)，（－5，－5）．（2）由(1）知直線AB的方程為x－2y－5＝0．因?yàn)閳AO的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為5eq\r(2），所以原點(diǎn)O到直線AB的距離為d＝eq\f(5,eq\r（，5))＝eq\r(,5）．又AB＝eq\r(，[7－(－5）]2＋［1－(－5)］2）＝6eq\r（,5)，所以△AOB的面積為S＝eq\f（1,2)×6eq\r(，5)×eq\f(5，eq\r(,5)）＝15．(3）方法一因?yàn)镺A＝5eq\r（,2)，OB＝5eq\r（,2)，AB＝6eq\r（，5），所以cos∠AOB＝eq\f（OA2＋OB2－AB2，2OAOB）＝－eq\f（4，5)．方法二由(1)得eq\o(\s\up6(→），OA)＝(7，1），eq\o（\s\up6（→),OB）＝(－5，－5），∠AOB＝＜eq\o（\s\up6(→）,OA），eq\o（\s\up6（→)，OB)＞,ABCC1A1B1FED所以cos∠AOB＝eq\f（eq\o（\s\up6（→），OA)·eq\o(\s\up6（→），OB)，｜eq\o(\s\up6（→），OA）｜|eq\o（\s\up6（→),OB)|）＝eq\f(7×（－5）＋1×(－5)，eq\r（72＋12)×eq\r（（－5)2＋(－5）2）)＝－eq\f(4,5)ABCC1A1B1FED17．(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝AC,點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC1上，且AC1＝4AF。(1)求證:平面ADF⊥平面BCC1B1；(2）求證：EF//平面ABB1A1。證明：(1）因?yàn)橹比庵鵄BC－A1B1C1，所以CC1平面ABC，而AD平面ABC，所以CC1AD。又AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，所以ADBC，ABCC1A1B1FEDG因?yàn)锽CCC1＝C,BC平面BCC1ABCC1A1B1FEDG所以AD平面BCC1B1，因?yàn)锳D平面ADF，所以平面ADF⊥平面BCC1B1。（2)連結(jié)CF延長交AA1于點(diǎn)G,連結(jié)GB.因?yàn)锳C1＝4AF,AA1//CC1，所以CF＝3FG,又因?yàn)镈為BC中點(diǎn),點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，所以CE＝3EB,所以EF//GB，而EF平面ABBA1，GB平面ABBA1,所以EF//平面ABBA1.18．（本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．（1）求圓C的方程；（2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點(diǎn),且OA⊥OB,求a的值．解：法一：(1）曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點(diǎn)為（0，1），與x軸的交點(diǎn)為（3＋2eq\r（2),0），（3－2eq\r（2)，0)．故可設(shè)C的圓心為(3，t），則有32＋(t－1）2＝（2eq\r（2））2＋t2，解得t＝1。則圓C的半徑為eq\r（32＋t－12)＝3。所以圓C的方程為（x－3）2＋（y－1)2＝9.法二：設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，這與x2－6x＋1＝0是同一個(gè)方程，故D＝－6，F(xiàn)＝1．令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一個(gè)根為1，代入得出E＝－2．∴圓C的方程為x2＋y2－6x－2y＋1＝0．（2)設(shè)A(x1，y1）,B（x2，y2）,其坐標(biāo)滿足方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋a＝0,，x－32＋y－12＝9.））消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2＞0。從而x1＋x2＝4－a,x1x2＝eq\f（a2－2a＋1，2)。①由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0。又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a（x1＋x2)＋a2＝0.②由①②得a＝－1,滿足Δ＞0,故a＝－1.BCADP(第19題圖)19BCADP(第19題圖)同一個(gè)水平面上，且均與水平面垂直,它們的高度分別是9m和15m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD＝45°．（1)求BC的長度；(2)在線段BC上取一點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)B,C不重合），從點(diǎn)P看這兩座建筑物的張角分別為∠APB＝α，∠DPC＝β，問點(diǎn)P在何處時(shí),tan（α＋β）最小?解：（1)如圖作AN⊥CD于N．∵AB∥CD，AB＝9,CD＝15,∴DN＝6,EC＝9．設(shè)AN＝x,∠DAN＝θ，∵∠CAD＝45°，∴∠CAN＝45°－θ．在Rt△ANC和Rt△AND中，∵tanθ＝eq\s\do1（\f(6，x）），tan(45°－θ）＝eq\s\do1（\f(9,x)）∴eq\s\do1（\f(9，x）)＝tan(45°－θ）＝eq\s\do1（\f（1－tanα，1+tanα）)化簡整理得x2－15x－54＝0,解得x1＝18，x2＝－3（舍去)．BC的長度是18m．(2)設(shè)BP＝t，所以PC＝18－t，tanα＝eq\s\do1(\f(9，t)），tanβ＝eq\s\do1(\f（15，18－t))，所以tan(α＋β）＝eq\s\do1(\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）)＝eq\s\do1(\f(eq\s\do1（\f（9,t))＋eq\s\do1(\f（15,18－t)）,1－eq\s\do1(\f（9,t))eq\s\do1(\f（15，18－t))))＝－eq\s\do1(\f（6，t－45＋eq\s\do1（\f(1350,t+27））））＝－eq\s\do1(\f（6，t＋27＋eq\s\do1(\f(1350，t+27））－72)) ≥－eq\s\do1（\f（6，2eq\r（1350）－72））當(dāng)且僅當(dāng)t＋27＝eq\s\do1(\f(1350,t+27))，即t＝15eq\r（6）－27時(shí),tan(α＋β)最?。穑篜在距離B15eq\r（6)－27時(shí)，tan(α＋β)最?。畑OyBCPM20。（本小題滿分16分)已知圓M:(x－1）2＋y2＝1,A（eq\f(1,2）,eq\f(5,2））,xOyBCPMB（0，t),C（0，t－4)（其中0＜t＜4）．(1）過點(diǎn)A的直線l被圓M截得的弦長為eq\r（，3），求直線l的方程；(2）若直線PB，PC都是圓M的切線，且點(diǎn)P在y軸右側(cè)，求△PBC面積的最小值．解：(1)①當(dāng)l⊥x軸時(shí)，l的方程為x＝eq\f（1,2)，滿足題意．②當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l:y－eq\f(5,2)＝k（x－eq\f（1,2）)，即kx－y＋eq\f（5－k,2)＝0．所以圓心M到l的距離d＝eq\f（｜k＋eq\f（5－k,2）|,eq\r（，k2＋1)），又直線被圓所截弦長為eq\r(，3），則d＝eq\r(，12－（eq\f(eq\r(,3），2））2)＝eq\f（1,2），所以eq\f（|k＋eq\f（5－k,2）｜，eq\r(，k2＋1））＝eq\f（1,2），解得：k＝－eq\f（12,5）,所以l：12x＋5y－eq\f（37，2）＝0．綜上，直線l的方程為x＝eq\f(1,2），或24x＋10y－37＝0．（2）方法一：設(shè)PB的斜率為k,則PB：y＝kx＋t，即kx－y＋t＝0．因?yàn)镻B與圓M相切,所以eq\f(｜k＋t｜，eq\r（,k2＋1））＝1，得k＝eq\f（1－t2，2t)．所以PB：y＝eq\f(1－t2,2t）x＋t．同理可得PA：y＝eq\f（1－(t－4）2,2（t－4）)x＋t－4．由eq\b\lc\｛(\a\al（y＝eq\f（1－t2，2t)x＋t,,y＝eq\f(1－(t－4)2,2(t－4))x＋t－4．）)解得xP＝eq\f(2t2－8t，t2－4t＋1）．由eq\f（2，xP）＝eq\f(t2－4t＋1，t2－4t）＝1＋eq\f(1，t2－4t）．因?yàn)?＜t＜4，所以0＞t2－4t≥－4,所以eq\f(2，xP）≤eq\f（3，4），xP≥eq\f(8,3）．當(dāng)t＝2時(shí)，xP＝eq\f(8,3)，此時(shí)S△ABC＝eq\f(16,3）．方法二：設(shè)圓M與直線CP，BP分別切與G,H，連結(jié)MO，CM，設(shè)∠OBM＝α,∠OCM＝β則∠MPC＝eq\s\do1(\f（π，2）)－α－β由BC＝4，得eq\f(1,tanα）＋eq\f（1,tanβ）＝4,所以4＝eq\f（1,tanα)＋eq\f(1,tanβ）≥2eq\r(eq\f（1,tanαtanβ））得tanαtanβ≥eq\s\do1(\f（1,4)），當(dāng)且僅當(dāng)α=β時(shí)取等號又PH＝tan(α＋β)＝eq\s\do1（\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ)）＝eq\s\do1（\f（4tanαtanβ，1－tanαtanβ))＝eq\s\do1(\f（4，eq\s\do1(\f（1，tanαtanβ）)－1))≥eq\s\do1(\f(4,3）)所以S△ABC＝eq\s\do1（\f(1,2））（BC＋PC＋BP）r＝4＋PH≥eq\s\do1（\f（4，3))＋4＝eq\f（16,3)，所以△PBC面積的最小值eq\f（16,3）。附加題：(本題滿分20分，以160＋20的形式計(jì)分）21．設(shè)集合A＝｛（x，y）|eq\f（m，2）≤（x－2）2＋y2≤m2,x,yR｝,B＝｛（x,y）｜2m≤x＋y≤2m＋1，x，yR}，若A∩B≠，求實(shí)數(shù)m的取值．解因?yàn)閷θ我鈓∈R，都有2m≤2m＋1，所以B≠，集合B表示在直