人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修二)同步培優(yōu)講義專題4.9 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重難點(diǎn)題型精講）（原卷版）

專題4.9等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（重難點(diǎn)題型精講）1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若等比數(shù)列{SKIPIF1<0}的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為q，則等比數(shù)列{SKIPIF1<0}的前n項(xiàng)和公式為

SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)q=1時(shí)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0是關(guān)于n的正比例函數(shù)，點(diǎn)(n,SKIPIF1<0)是直線y=SKIPIF1<0x上的一群孤立的點(diǎn).(2)當(dāng)q≠1時(shí)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.記A=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+A是一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和.當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，y=SKIPIF1<0是指數(shù)函數(shù)，此時(shí)，點(diǎn)(n,SKIPIF1<0)是指數(shù)型函數(shù)y=SKIPIF1<0+A圖象上的一群孤立的點(diǎn).3．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)已知等比數(shù)列{SKIPIF1<0}的公比為q，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則有如下性質(zhì)：

(1)SKIPIF1<0.

(2)若SKIPIF1<0(kSKIPIF1<0)均不為0，則SKIPIF1<0成等比數(shù)列，且公比為SKIPIF1<0.

(3)若{SKIPIF1<0}共有2n(nSKIPIF1<0)項(xiàng)，則SKIPIF1<0=q；

若{SKIPIF1<0}共有(2n+1)(nSKIPIF1<0)項(xiàng)，則SKIPIF1<0=q.4．?dāng)?shù)列求和的常用方法(1)公式法求和

①直接用等差、等比數(shù)列的求和公式.

②掌握一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.(2)倒序相加法求和

如果一個(gè)數(shù)列{SKIPIF1<0}中，與首、末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng),的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.(3)錯(cuò)位相減法求和

錯(cuò)位相減法求和適用于SKIPIF1<0型數(shù)列，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(4)裂項(xiàng)相消法求和

利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面剩兩項(xiàng)，再就是通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂項(xiàng)前后保持相等.【題型1求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給條件，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，求解等比數(shù)列的基本量，即可得解.【例1】（2022·湖北·高二期中）已知在等比數(shù)列an中，a3=4，前三項(xiàng)之和S3=12A．a(chǎn)n=16?C．a(chǎn)n=4 D．a(chǎn)【變式1-1】（2022·安徽銅陵·高一期末）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn.若a2?a5=?78，SA．2n B．2n?1 C．3【變式1-2】（2022·湖南·高三階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若2S3=3A．4 B．3 C．2 D．1【變式1-3】（2022·陜西·高二階段練習(xí)）等比數(shù)列{an}中,若公比A．4n?1 B．4n C．3【題型2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目條件，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，即可得解.【例2】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3A．488

B．508

C．511

D．567【變式2-1】（2022·全國(guó)·高二）已知等比數(shù)列an共有32項(xiàng)，其公比q=3，且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60，則數(shù)列an的所有項(xiàng)之和是（A．30 B．60 C．90 D．120【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列{an}A．5 B．7 C．9 D．11【變式2-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若存在m∈N*，滿足S2mA．?2 B．2 C．?3 D．3【題型3求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)條件，求出等比數(shù)列的基本量，得到首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，進(jìn)行求解即可.【例3】（2022·北京·高三期中）已知等比數(shù)列an中，a1=1，且a5+A．15 B．31 C．63 D．64【變式3-1】（2022·天津·高二期末）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an>0，公比q>1，a3+A．31 B．36 C．48 D．63【變式3-2】（2022·河北高三階段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若8a1=2A．510 B．511 C．1022 D．1023【變式3-3】（2022·四川·高三期中（理））已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a3＝16，且a2與a4的等差中項(xiàng)為20A．2n?2C．4n＋【題型4等比數(shù)列的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化、實(shí)際問(wèn)題，讀懂其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立合適的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式進(jìn)行求解.【例4】（2022·河南濮陽(yáng)·高二期末（理））5G是第五代移動(dòng)通信技術(shù)的簡(jiǎn)稱，其意義在于萬(wàn)物互聯(lián)，即所有人和物都將存在于有機(jī)的數(shù)字生態(tài)系統(tǒng)中，它把以人為中心的通信擴(kuò)展到同時(shí)以人與物為中心的通信，將會(huì)為社會(huì)生活與生產(chǎn)方式帶來(lái)巨大的變化．目前我國(guó)最高的5G基站海拔6500米．從全國(guó)范圍看，中國(guó)5G發(fā)展進(jìn)入了全面加速階段，基站建設(shè)進(jìn)度超過(guò)預(yù)期．現(xiàn)有8個(gè)工程隊(duì)共承建10萬(wàn)個(gè)基站，從第二個(gè)工程隊(duì)開始，每個(gè)工程隊(duì)所建的基站數(shù)都比前一個(gè)工程隊(duì)少16，則第一個(gè)工程隊(duì)承建的基站數(shù)（單位：萬(wàn)）約為（

A．10×68C．80×67【變式4-1】（2022·四川省高三階段練習(xí)（文））中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔仔細(xì)算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為14里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里【變式4-2】（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（文））我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”意思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人最后一天走的路程是（

）A．192里 B．96里 C．12里 D．6里【變式4-3】（2022·山東青島·高二期中）集合論是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾于十九世紀(jì)末創(chuàng)立的，希爾伯特贊譽(yù)其為“數(shù)學(xué)思想的驚人產(chǎn)物，在純粹理性范疇中人類活動(dòng)的最美表現(xiàn)之一”.取一條長(zhǎng)度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下的兩段分割三等分，各去掉中間一段，留下更短的四段，……，將這樣操作一直繼續(xù)下去，直至無(wú)窮.由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線段的數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極限情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱為康托爾三分集.若在前n次操作中共去掉的線段長(zhǎng)度之和不小于2930，則n的最小值為（

（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010，lgA．9 B．8 C．7 D．6【題型5等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】根據(jù)具體條件，借助等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)、求和公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（2022·四川·高三期中）已知等差數(shù)列an?和等比數(shù)列bn?滿足a1=b1(1)求an(2)求和：b1【變式5-1】（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知在等比數(shù)列an中，a1+a2=4，且a1,a2+2,a(1)求an(2)設(shè)cn=2bn?a【變式5-2】（2022·山西·高三期中）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q(q>0)，已知a1=(1)求an，b(2)將an，bn中相同的項(xiàng)剔除后，兩個(gè)數(shù)列中余下的項(xiàng)按從小到大的順序排列，構(gòu)成數(shù)列cn【變式5-3】（2022·黑龍江·高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1+a3=6，a(1)求數(shù)列an與b(2)設(shè)cn=3an+54?b【題型6數(shù)列的求和】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于具體的數(shù)列求和問(wèn)題，選擇合適的數(shù)列求和方法，進(jìn)行求解.【例6】已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1(1)求證：an(2)求數(shù)列