人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修一)同步培優(yōu)講義專題3.7 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)-重難點題型精講（原卷版）

專題3.7雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)-重難點題型精講1．雙曲線的定義雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點SKIPIF1<0的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于SKIPIF1<0)的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：3．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的一些幾何性質(zhì)：4．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實軸長的比SKIPIF1<0，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，所以e越大，SKIPIF1<0越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=SKIPIF1<0.5．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【題型1曲線方程與雙曲線】【方法點撥】根據(jù)所給曲線方程表示雙曲線，結(jié)合雙曲線的標(biāo)椎方程進(jìn)行求解，即可得出所求.【例1】（2022·四川南充·三模（理））設(shè)θ∈0,2π，則“方程x2A．θ∈0,πC．θ∈π,【變式1-1】（2021·山東·高三開學(xué)考試）命題p：“3<m<5”是命題q：“曲線x2m?3?A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若方程x22+m?y2A．?2<m<2 B．m>?2 C．m≥0 D．m≥2【變式1-3】（2021·安徽滁州·高二階段練習(xí)）已知曲線C的方程為x2k+1+y25?k=1k∈R，若曲線A．?1<k<5 B．k>5 C．k<?1 D．k≠?1或5【題型2利用雙曲線的定義解題】【方法點撥】理解雙曲線的定義要緊扣“到兩定點的距離的差的絕對值為定值，且該定值小于兩定點間的距離”.雙曲線的定義的應(yīng)用主要有以下幾種類型：一是求解動點的軌跡方程問題；二是求解最值問題；三是求解焦點三角形問題.【例2】（2022·新疆高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線C:x29?y27=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線A．13 B．11 C．1或11 D．11或13【變式2-1】（2022·河南·一模（理））已知P為圓C：(x?5)2+y2=36上任意一點，A(?5,0)，若線段PA的垂直平分線交直線PCA．x29C．x29?y216=1【變式2-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知F為雙曲線C:x24?y29=1的左焦點，P,Q為雙曲線C同一支上的兩點．若|PQ|=12，點A．25 B．16 C．32 D．40【變式2-3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）P是雙曲線x29?y216=1的右支上一點，M、N分別是圓(x+5)2A．6 B．7 C．8 D．9【題型3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解及應(yīng)用】【方法點撥】(1)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，通常要先定型(焦點在哪個軸上)，再定量(確定SKIPIF1<0的值).要特別注意SKIPIF1<0的應(yīng)用，并注意不要與橢圓中的關(guān)系相混滑.(2)求雙曲線方程中參數(shù)的值或取值范圍時，先要確定焦點的位置，再根據(jù)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程確定SKIPIF1<0的值，然后求解，有必要時，要注意分焦點在x軸、y軸上進(jìn)行分類討論，不要漏解.【例3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的兩個焦點分別為F10,?5，F(xiàn)20,5，雙曲線上一點P與F1A．x29?y216【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線C：y2a2?x2b2=1（A．y264C．y29【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1（a>0，A．x29?y2=1【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點F1,F2分別是等軸雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0A．x22?y22【題型4雙曲線的漸近線方程】【方法點撥】根據(jù)已知條件，求漸近線方程時，先要確定焦點的位置，再根據(jù)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程確定SKIPIF1<0的值，然后利用漸近線方程的公式求解.【例4】（2022·江西·高三開學(xué)考試（文））雙曲線y2a2A．x±4y=0 B．4x±y=0C．x±2y=0 D．2x±y=0【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））若雙曲線x2a2?yA．y=±12x B．y=±3【變式4-2】（2022·海南高三階段練習(xí)）若雙曲線x2a2?y2bA．y=±3x B．y=±3x C．y=±【變式4-3】（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））若直線y=12x?1與雙曲線C:ax2A．14 B．4 C．1【題型5求雙曲線的離心率的值或取值范圍】【方法點撥】求雙曲線的離心率的方法通常有以下兩種：①定義法：設(shè)法求出a，c的值，由定義確定離心率的大?。虎诜匠谭ǎ合扔梢阎獥l件構(gòu)造關(guān)于離心率的方程，然后解方程確定離心率的大小，注意e>1.【例5】（2022·浙江·高二期中）已知雙曲線x2a2?y2b2=1，過左焦點FA．5?1 B．3 C．2【變式5-1】（2022·安徽省高二期末）中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4,2)，則它的離心率為（

）A．6 B．5 C．62 D．【變式5-2】（2022·內(nèi)蒙古包頭·高三開學(xué)考試（文））雙曲線x2a2?yA．3 B．3 C．5 D．5【變式5-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)F1,F2是橢圓C1:x2a12+yA．1,2 B．1,3 C．3【題型6雙曲線中的最值問題】【方法點撥】求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的一條漸近線為直線3x?y=0，C的右頂點坐標(biāo)為1,0，右焦點為F.若點M是雙曲線C右支上的動點，點A的坐標(biāo)為3,5，則MA+MFA．26?1 B．26 C．26+1【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C