中考數(shù)壓軸題之費(fèi)馬點(diǎn)模型詳解全套

中考數(shù)壓軸題之費(fèi)馬點(diǎn)模型詳解這期這道題并不是中考真題，我也沒(méi)找到是哪里的?？碱}，但是不影響這道題的重要性，這種類(lèi)型的題目，同學(xué)們?nèi)绻鲞^(guò)總結(jié)，會(huì)發(fā)現(xiàn)很簡(jiǎn)單，如果不做總結(jié)，考試時(shí)間都給你想你也想不出來(lái)，下面我們就來(lái)看看這道題吧第一問(wèn)，求∠A+∠C的度數(shù)，這個(gè)很簡(jiǎn)單，就是270°。第二問(wèn)讓我們連接BD，探究一下三條邊之間的關(guān)系這關(guān)系看不出來(lái)，我們可以拿尺子量一下，發(fā)現(xiàn)不是加和關(guān)系，那么考慮勾股定理關(guān)系，發(fā)現(xiàn)就是它。這里要注意一下，有的題目會(huì)讓我們猜測(cè)關(guān)系，但是關(guān)系往往不是那么容易看出來(lái)的，所以我們有必要借助一些工具，比如刻度尺，量角器這些來(lái)進(jìn)行輔助猜測(cè)。既然判斷出是勾股定理關(guān)系，那么我們?cè)撛趺醋C明呢？首先想到是要把它們放到一個(gè)三角形當(dāng)中去，可是這個(gè)三角形在哪里呢？這邊就需要同學(xué)們積累一下了，遇到這種邊相等，且存在勾股定理關(guān)系的，我們要想到旋轉(zhuǎn)。我們將紅色的三角形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到藍(lán)色的三角形的位置，因?yàn)锽A=BC，所以旋轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)剛好能重合，我去居然這么巧！其實(shí)就是因?yàn)橄嗟炔畔氲叫D(zhuǎn)的，這種技巧需要大家記憶，否則你考試很難考自己想出來(lái)的。之后我們就發(fā)現(xiàn)，AD=CD’,BD=BD’，可是好像還是沒(méi)有把這三條邊放到一個(gè)三角形當(dāng)中去，不急，我們還要連接DD’，這樣△BDD’就是等邊三角形，怎么突然它就是等邊三角形了？因?yàn)槲倚D(zhuǎn)了60°，而且BD=BD’，所以它自然是等邊三角形。那么后面就簡(jiǎn)單了，BD與DD’是相等的，所以三條邊都轉(zhuǎn)化到了△CDD’當(dāng)中，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證明∠DCD’=90°了。根據(jù)第一問(wèn)，我們知道∠A+∠C=270°，而∠A經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)應(yīng)該等于∠BCD’。所以用周角360°減去270°，就得到∠DCD’=90°，此題得解。第三問(wèn)有一點(diǎn)E在四邊形內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，然后滿(mǎn)足一個(gè)勾股關(guān)系，讓我們求出E的路徑長(zhǎng)度。我相信大部分同學(xué)讀到這道題內(nèi)心已經(jīng)放棄了，這都是什么玩意兒內(nèi)部運(yùn)動(dòng)？路徑長(zhǎng)度？怎么動(dòng)我都不知道，還求路徑，還要找直角三角形，太難了??！確實(shí)，這道題很難，但是難者不會(huì)，會(huì)者不難。做好積累很重要。這道題第二問(wèn)和第三問(wèn)其實(shí)都類(lèi)屬于費(fèi)馬點(diǎn)模型嗯，數(shù)學(xué)家都搬出來(lái)了，知道這道題為啥那么難了吧不同的是費(fèi)馬點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)后要拉成直線(xiàn)，這種問(wèn)題是要放到一個(gè)三角形當(dāng)中去。費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題解決的關(guān)鍵就在于旋轉(zhuǎn)，你說(shuō)這種旋轉(zhuǎn)輔助線(xiàn)怎么可能不做積累你就能想到呢？回到這道題，我們?cè)趺葱D(zhuǎn)呢？在解決這個(gè)問(wèn)題之前，我們還要解決一個(gè)小問(wèn)題，題目說(shuō)點(diǎn)E是在四邊形內(nèi)部的，其實(shí)點(diǎn)E是在△ABC內(nèi)部的因?yàn)槿绻c(diǎn)E在△ABC外部，那么BE就是最長(zhǎng)邊，顯然不能滿(mǎn)足題目所給的等式，題目給的等式要求我們AE是最長(zhǎng)邊。之后，開(kāi)始旋轉(zhuǎn)將褐色三角形旋轉(zhuǎn)60°到變?yōu)榫G色三角形，并且連接EE’，同樣的方法能證明△BEE’是等邊三角形，這樣我們要求的三條邊又都放到了△EE’C當(dāng)中去了，根據(jù)題意，三邊滿(mǎn)足勾股關(guān)系，因此△EE’C為直角三角形非常高興，領(lǐng)悟到了出題人的意思，但是接下來(lái)，又傻眼了，這點(diǎn)E的軌跡又是啥？先捋一捋，我們現(xiàn)在知道了∠E’EC=90°,再觀(guān)察一下，發(fā)現(xiàn)，∠BEE’=60°，原因是等邊三角形，這樣就有線(xiàn)索了，∠BEC恒等于150°，到這就要想到圓周角了。這就是定弦定角的隱圓模型了，當(dāng)我們知道一條定長(zhǎng)線(xiàn)段，且有一個(gè)點(diǎn)與線(xiàn)段組成的角是固定的，我們就要立馬想到，所有的點(diǎn)是在一個(gè)圓弧上的因此點(diǎn)E一定在一個(gè)圓上面，我們只要把這個(gè)圓的圓心找出來(lái)就行了。我們知道∠BEC恒等于150°，因此∠F=30°這邊是用圓的內(nèi)接四邊形定理，那么圓心角BC’C=60°，所以△BCC’是等邊三角形，所以BC=BC’=1，圓C’的半徑為1，且點(diǎn)E在弧BC上運(yùn)動(dòng)，自然能求出軌跡長(zhǎng)度為π/3，這道題就解完了。下面開(kāi)始進(jìn)行技術(shù)總結(jié)1.要能認(rèn)出是費(fèi)馬點(diǎn)模型，并且記住旋轉(zhuǎn)這個(gè)輔助