初中數(shù)學(xué)平行線壓軸題集錦【中考真題】

1.已知，∠AOB=90°,點(diǎn)C在射線OA上，CD/IOE.(1)如圖1,若∠OCD=120°,求∠BOE的度數(shù)；(2)把∠AOB=90°改為∠AOB=120°,射線OE沿射線OB平移，的OE,其他條件不變，(如圖2所示)探究∠OCD、∠BOE的數(shù)量關(guān)系；(3)在(2)的條件下，作PO⊥OB垂足為O,與∠OCD的平分線CP交于點(diǎn)P,若∠BOE=α,請用含α的式子表示∠CPO(請直接寫出答案).2.已知一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，請結(jié)合圖，探索這兩個(gè)角之間的關(guān)系，并說明理由.(1)如圖①,AB//CD,BE//DF,∠1與Z2的關(guān)系(2)如圖②,AB//CD,BE//DF,∠1與Z2的關(guān)系時(shí)(3)經(jīng)過上述證明，我們可得出結(jié)論，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角(4)若這兩個(gè)角的兩邊分別平行，且一個(gè)角比另一個(gè)角的3倍少60°,則這兩個(gè)角分別是多少度?圖②記作∠1,∠BDP記作∠2,∠CPD記作∠3.點(diǎn)P在線段AB上.(1)若∠1=20°,∠2=30°,請求出∠3的度數(shù).(2)請你根據(jù)上述問題，請你找出圖1中∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論.(3)應(yīng)用(2)中的結(jié)論解答下列問題：如圖2,點(diǎn)A在B的北偏東40°的方向上，在C的北偏西45°的方向上，請你根據(jù)上述結(jié)論直接寫出∠BAC的度數(shù).(點(diǎn)P和A、B兩點(diǎn)不重合),寫出你的結(jié)論并說明理由.(1)試說明FG⊥AB.(2)若把條件改為FG⊥AB,∠1=∠3,CD⊥AB,(3)若把條件改為DE//BC、CD⊥BC,FG⊥AB,則DE//BC嗎?說明理由.則∠1=∠3嗎?(不需說明理由，只答相等或不相如圖①,AB//CD,Z1+Z3與/2的關(guān)系時(shí)如圖②,AB//CD,∠1+Z3+Z5與∠2+Z4的關(guān)系時(shí)_,證明你的結(jié)論.如圖③,AB//CD,Z1+Z3+∠5+Z7與Z2+∠4+Z6的關(guān)系時(shí)如圖④,AB//CD,∠1+∠3+∠5+…+∠(2n+1)與∠2+∠4+∠6+…+∠2n的關(guān)系.圖①DD圖②圖③圖④※6.如圖，已知BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且BE⊥DE.備用圖(2)射線BF、DF分別在∠EBD、∠BDE內(nèi)部交于點(diǎn)F,且∠BFD=150°,當(dāng)∠ABE:∠EBF=3:2時(shí)試探究∠BDF與∠EDC的數(shù)量關(guān)系；(補(bǔ)全圖形，并說明理由)(3)H為射線BA上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),DK平分∠BDH,直接寫出∠EDK與∠DHB的數(shù)量關(guān)系：※7.“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖1所示，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即PQ//MN,且∠BAM:∠BAN=2:1.(1)填空：∠BAN=0;(3)如圖2,若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前.若射出的光束交于點(diǎn)C,過C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D,且∠ACD=120°,則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由.(圖1)M(圖2)(1)求∠CBD的度數(shù)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，∠ACB=∠ABD,求此時(shí)∠ABC的度數(shù).9.如圖(1)所示：已知MN//PQ,點(diǎn)B在MN上，點(diǎn)C在PQ上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在點(diǎn)C的(1)若∠ADQ=140°,則∠BED的度數(shù)為(直接寫出結(jié)果即可);(2)若∠ADQ=m°,將線段AD沿DC方向平移，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C的左側(cè)，其他條件不變，如圖(2)所示，求∠BED的度數(shù)(用含m的式子表示).(1)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠a、∠β、∠y之間有何數(shù)量關(guān)系請說明理由；(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠a、∠β、∠y有何數(shù)量關(guān)系(只需寫出結(jié)論).※11.(1)①如圖1,AB//CD,則∠B、∠P、ZD之間的關(guān)系時(shí)②如圖2,AB//CD, (2)①將圖1中BA繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度交CD于如圖3).②將圖2中AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度交CD于如圖4)(3)利用(2)中的結(jié)論求圖5中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).A的情況.如圖，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是3°秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1/秒，假定這一帶長江兩(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的(3)如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前.若射出的光束交于點(diǎn)C,過C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D,則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請求出其取值范圍.※13.一副三角板按如圖所示疊放在一起，其中點(diǎn)B、D重合，若固定三角形AOB,改變△ACD的位置(其中A點(diǎn)位置始終不變),使三角形ACD的一邊與三角形AOB的某一邊平行時(shí)，求出∠BAD的所有可能的值.※14.如圖所示，直線EF//GH,點(diǎn)B,A分別在直線EF,GH上連接AB,在AB左側(cè)作三角形ABC,(2)將A點(diǎn)向左移動(dòng)，其他條件不變，如圖2所示，則(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，說明你的理由.(3)若將題目條件“∠ACB=90°”改為“∠ACB=120°”,其他條件不變，那么∠DBA= .(直接寫出結(jié)果，不必證明)HH※15.實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等.如圖1,一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n,則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1=∠2.知光線經(jīng)過平面鏡反射時(shí)，有∠1=∠2,∠3=∠4,請解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線n是平行的?(請把證明過程補(bǔ)充完整)∵∠1=∠2,∠3=∠4(已知)∴∠1=∠2=∠3=∠4(等量代換)∴180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4(等量減等量，差相等)(2)顯然，改變兩面平面鏡AB、CD之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會(huì)隨之改變，請你猜想；圖3中，當(dāng)兩平面鏡AB、CD的夾角∠ABC=時(shí)，仍可以使入射光線m與反射光線n平行但方向相反.(直接寫出結(jié)果)A-A-C※16.直線AB//CD,EF分別交AB,CD于點(diǎn)M、N,NP平分∠MND;(1)如圖1,若MR平分∠EMB,則MR//NP.請你把下面的解答過程補(bǔ)充完整：解：∵AB//CD(已知)/EMB=/END()(2)如圖2,若MR平分∠AMN,則MR與NP有怎樣的位置關(guān)系?請?jiān)跈M線上寫出你的猜想結(jié)論： :(3)如圖3,若MR平分∠BMN,則MR與NP有怎樣的位置關(guān)系?請說明理由.-B-B※17.如圖，已知AB//CD,點(diǎn)C在點(diǎn)D的右側(cè)，BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在直線交于點(diǎn)E,∠ADC=60°.(1)求∠EDC的度數(shù)；(2)若∠ABC=n°,求∠BED的度數(shù)(用含n的代數(shù)式表示).(3)將線段BC沿DC方向平移，使B在A的右側(cè)，若∠ABC=n°,直接寫出∠BED的度數(shù)(用含n的代※18.(1)已知：如圖1,AE//CF,易知∠APC=∠A+∠C,請補(bǔ)充完整證明過程：證明：過點(diǎn)P作MN//AE∵M(jìn)N//AE(已作)(2)變式：如圖2-4,AE//CF,P?,P?是直線EF上的兩點(diǎn)，猜想∠A,∠AP?P?,∠P?P?C,∠C這四個(gè)角之間的關(guān)系，并直接寫出以下三種情況下這四個(gè)角之間的關(guān)系.EE※19.如圖所示，已知AB//CD,分別探索下列四個(gè)圖形中∠P與∠A,∠C的關(guān)系，并對第(4)個(gè)圖形※20.直線AC//BD,連AB,直線AC,直線BD,線段AB把平面分成①,②,③,④四個(gè)部分.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA,PB,構(gòu)成∠PAC,∠APB,∠PBD三個(gè)部分，(規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0°)(1)如圖1,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD;(2)如圖2,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?若成立，請證明，若不成立(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③④部分時(shí)，請全面探究三角之間的關(guān)系，請直接寫出三個(gè)角之間的關(guān)系.※21.如圖，已知直線l?//l?,點(diǎn)A在直線l?上，點(diǎn)B在直線l?上，l?和直線l?、l?交于點(diǎn)C和D,在直(1)探究規(guī)律：①當(dāng)P點(diǎn)在C,D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1,說明∠PAC,∠APB,∠PBD之間的關(guān)系；②若點(diǎn)P在C,D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)C、D不重合),根據(jù)圖2和圖3說明∠PAC,∠APB∠PBD之間的關(guān)系；(補(bǔ)全圖形)(2)拓展延伸①0個(gè)；②1個(gè)；③2個(gè)；④以上都有可能；※22.如圖1,直線AC//BD,連接AB,點(diǎn)P是平面內(nèi)任一點(diǎn)，連接PA,PB,構(gòu)成∠PAC,∠APB∠PBD三個(gè)角.(1)當(dāng)點(diǎn)P位置如圖1所示時(shí)，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD;(2)當(dāng)點(diǎn)P位置如圖2所示時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立)?(3)當(dāng)點(diǎn)P落在位置如圖3所示時(shí)，探究∠PAC,∠APB,∠PBD之間的關(guān)系，并進(jìn)行簡單證明.※23.如圖，直線AC//BD,連AB,直線AC,BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分，動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連PA,PB,構(gòu)成∠PAC,∠APB,∠PBD三個(gè)角(提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線所組成的角是0°角)(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD;(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)落在第②部分時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立)?(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之間的關(guān)系，并寫出動(dòng)點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論.選擇其中一種結(jié)論加以證明.※24.已知AB//CD,∠ABE和∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F,∠E=140°,求∠BFD的度數(shù).※25.如圖：已知AB//EF,∠B=40°,∠E=30°,※26.如圖，已知AB//CD,∠A=∠C=100°,E,F求∠C-∠D的結(jié)果是多少?在CD上，滿足∠DBF=∠ABD,BE平分∠CBF.(1)求∠DBE的度數(shù)；(2)若平行移動(dòng)AD,那么∠BFC:∠BDC的比值是否隨之發(fā)生變化?若變化，找出變化規(guī)律；若不變(3)在平行移動(dòng)AD的過程中，是否存在某種情況，使得∠BEC=∠ADB?若存在，直接寫出其度數(shù)，若不存在，請簡要說明理由.1.解：(1)∵CD//OE(2)如圖2,過O點(diǎn)作OF//CD∴∠AOF=180?-∠OCD,∠BOF=∠EOO2.解：(1)∠1=∠2.BE//DF(3)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；(4)設(shè)一個(gè)角的度數(shù)為x,則另一個(gè)角的度數(shù)為3x-60°當(dāng)x=3x-60°,解得x=30°,則這兩個(gè)角的度數(shù)分別為30°,30°;當(dāng)x+3x-60°=180°,解得x=60°,則這兩個(gè)角的度數(shù)分別為60°,120°.故答案為：相等，互補(bǔ)，相等或互補(bǔ).3.解：(1)∵l//l理由：∵l//l(3)如圖2,過A點(diǎn)作AF//BD,則AF//BD/ICE(4)當(dāng)P點(diǎn)在A的外側(cè)時(shí)，如圖3,過P作PF/L,交1于F∴∠CPD=∠2-∠1當(dāng)P點(diǎn)在B的外側(cè)時(shí)，如圖4,過P作PG//?,交l?于G4.解：(1)∵DE//BC(3)相等.理由：又CD⊥BC,FG⊥AB5.解：如圖①,AB//CD,∠1+∠3與∠2的關(guān)系時(shí)∠2=∠1+∠3;如圖②,AB//CD,∠I+∠3+∠5與∠2+∠4的關(guān)系是∠2+∠4=∠l+∠3+∠5證明：作EF//AB,GH//AB,MNIIAB如圖③,AB//CD,∠l+∠3+∠5+∠7與∠2+∠4+∠6的關(guān)系時(shí)∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7;如圖④,AB//CD,∠1+∠3+∠5+…+∠(2n+1)與∠2+∠4+∠6+…+∠2n的關(guān)系為：∠2+∠4+∠6+…+∠2n=∠1+∠故答案為：∠2=∠1+∠3;∠2+∠4=∠1+∠3+∠5;∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7;BB圖①圖②圖③圖②圖④6.解：(1)∵BE⊥DE又BE平分∠ABD,DE平分∠BDC∴AB//CD;則∠EBF=2a,∠DBF=a(3)如圖，∵DK平分∠BDH,DE平分∠BDC又…AB//CD7.解：(1)∵∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:∠BAN=2:1(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行(圖1)①當(dāng)0<t<90時(shí)，如圖1②當(dāng)90<t<150時(shí)，如圖2解的t=110綜上所述，當(dāng)t=30秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；(3)∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化.理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒而∠ACD=120°即∠BAC=2∠BCD∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化.8.解：(1)∵AM//BN又∵BC,BD分別平分∠ABP和∠PBN(2)不變.理由如下：又BD平分∠PBN,即∠APB:∠ADB=2:1.(3)∵AM//BN9.解：(1)如圖(1),過點(diǎn)E作EF//PQ.故答案為：55°..10.解：(1)如圖，過點(diǎn)P做AC的平行線PO∵AC//PO又AC//BD(2)①P在A點(diǎn)左邊時(shí)，∠a-∠β=∠y;②P在B點(diǎn)右邊時(shí)，∠β-∠a=∠y.(提示：兩小題都過P作AC的平行線).11.解：(1)①如圖1中，作PE//AB∴∠B=∠1,∠D=∠2②作EH//ABAB//CD故答案為∠B+∠D=∠P,∠A+∠E+∠C=360°.(2)①如圖3中，作BE//CD②如圖4中，過A作AF//CD由(1)②可知，∠C+∠E+∠EAH+∠HAF=360°.(3)如圖5中，設(shè)AE交DF于H.由(2)①可知∠EHF=∠B+∠F+ZE在四邊形ACDH中，由(2)②可知12.解：(1)如圖1,當(dāng)90秒時(shí)，燈A射線旋轉(zhuǎn)的角度=90×3°=270°,270°-180°=90°此時(shí)燈A射線位于AM'處，∠NAM'=90°燈B射線旋轉(zhuǎn)的角度=90×1=90°(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束互相平行①當(dāng)0<t<60時(shí)，3t=(20+t)×1,解得t=10;②當(dāng)60<t<120時(shí)，3t-3×60+(20+t)×1=180°,解得t=85;③當(dāng)120<t<160時(shí)，3t—360=t+20,解得t=190>160,(不合題意)綜上所述，當(dāng)t=10秒或85秒時(shí)，兩燈的光束互相平行.理由如下：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，即2∠BAC=3∠BCD;13.解：分8種情況討論：(1)如圖1,AD邊與OB邊平行時(shí)，∠BAD=45;(2)如圖2,當(dāng)AC邊與OB平行時(shí)，∠BAD=90°+45°=135°;(5)如圖5,DC邊與OB邊平行時(shí)，∠BAD=45°-30°=15°;故答案為：15°,30°,45°,75°,105°,135°,150°,165°.2(2)解：如圖，設(shè)∠DAB=∠BAC=x,即∠1=∠2=x在△ABC內(nèi)，∠4=180°-∠ACB-∠1-∠3=180°-∠ACB-2x∴∠DBA=180°-∠3-∠4-∠5(3)由(2)可知，∠ACB=120°時(shí)∴∠2=∠3(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∵∠1=∠2,∠3=∠4(已知)∴∠1=∠2=∠3=∠4(等量代換)∴180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4(等量減等量，差相等)即：∠5=∠6(等量代換)∴m//n(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，∠5=∠6,m//n,內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；(2)∠ABC=90°,理由是：如圖3,∵∠ABC=90°∵∠1=∠2,∠3=∠4(已知)∴AE//CF.故答案為：90.16.解：(1)∵AB//CD(已知)∴∠EMB=∠END(兩直線平行，同位角∠EMB,∴MR//NP(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)17.解：(1)∵DE平分∠ADC,∠ADC=60°(3)如圖，∵BE平分∠